AULA 10 Plano

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O PLANO
P
A Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano e = (a, b, c), 0, um vetor normal ( ortogonal) ao plano.
 
Como , é ortogonal a todo vetor representado em . Então um ponto P(x, y, z) pertence a se, e somente se, o vetor é ortogonal a , isto é, 
 . ( P – A ) = 0 , ou
(a, b, c) .(x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0 ou
a(x – x1) + b(y – y1 ) + c(z – z1 ) = 0 ou
ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 , Fazendo
– ax1 – by1 – cz1 = d, obtemos :
ax + by + cz + d = 0 Equação geral do plano .
Ex - 1: Obter uma equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem = (3, 2, -4) como um vetor normal.
Solução : Como é normal a , sua equação é do tipo
3x + 2y – 4z + d = 0 e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é: 
3(2) + 2(-1) – 4(3) + d = 0
6 – 2 – 12 + d = 0
d = 8
Logo, uma equação geral do plano é 
3x + 2y – 4z + 8 = 0
Ex – 2: A reta r: é ortogonal ao plano que passa pelo ponto A(2, 1, -2). Determine a equação geral do plano .
Solução : como , qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano.
 = (3, 2, 1) é um destes vetores, uma equação de é da forma :
3x + 2y + z + d = 0
3(2) +2(1) -2 + d = 0 d = -6
Logo: 3x + 2y + z -6 = 0
Equação Vetorial do Plano
Seja A(x0 , y0, z0) um ponto pertencente ao plano e (a1 , b1 , c1 ) e = (a2 , b2 , c2 ) dois vetores paralelos a , porém e não- paralelos .
h
t
 
P
A
Para todo ponto P do plano, os vetores , e são coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a se, e somente se, existem números reais h e t tais que :
P – A = h + t 
P = A + h + t EQUAÇÃO VETORIAL
(x, y, z) = (x0 , y0, z0) + (a1 , b1 , c1 ) + t(a2 , b2 , c2 ) 
Com h e t R
Equações Paramétricas do Plano
Da equação vetorial, temos que :
(x, y, z) = (x0 , y0, z0) + (a1 , b1 , c1 ) + t(a2 , b2 , c2 )
(x, y, z) = (x0 , y0, z0) + (a1h , b1h , c1h ) + (a2t , b2t , c2t )
(x, y, z) = (x0 + a1h + a2t ,y0 + b1h + b2t , z0 + c1h + c2t )
Pela condição de igualdade, temos então :
Ex 1: Seja o plano que passa pelo ponto A(2, 2, -1) é é paralelo aos vetores = (2, -3, 1) e (-1, 5, -3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de .
Solução:
Equação Vetorial 
(x, y, z) = (2, 2, -1) + h(2, -3, 1) + t(-1, 5, -3)
Equações Paramétricas
Se quisermos algum ponto desse plano, basta atribuir valores reais para h e t.
p/ h = 0 e t = 1 , temos , x = 1, y = 7 e z = -4
portanto B( 1, 7, -4) é outro ponto de 
Equação Geral
Achar o vetor x que é simultaneamente ortogonal a 
 e , ele é um vetor normal ao plano .
 x = = ( 4, 5, 7)
Uma equação geral de é da forma 
4x + 5y + 7z + d = 0
Como A pertence a , tem-se
4(2) + 5(2) + 7(-1) + d = 0 d = -11 , então
Uma equação geral de é 
4x + 5y + 7z – 11 = 0
Atenção :
Outra maneira achar uma equação geral do plano é fazer o produto misto ente os vetores , e , que são coplanares e onde P(x, y, z) é um outro ponto de .
P
A
 = P – A = (x-2, y-2, z+1)
( , ) = 
Que é equivalente a 4x + 5y + 7z – 11 = 0
Ex 2: Dado o plano determinado pelos pontos , B (2, 1, -3 ) e C (-1, -2, 6 ), obter um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de .
Solução : Existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta. Os vetores não-paralelos dados por = = (1, 2, -5) e = = (-2, -1, 4) são vetores diretores de .
Equações Paramétricas :
Equação geral de 
Devemos achar o vetor normal de calculando o produto vetorial de e .
 x = = (3, 6, 3)
Então uma equação geral é da forma
3x + 6y + 3z + d = 0
Como A pertence a , temos
3(1) + 6(-1) + 3(2) + d = 0 d = -3
3x +6y + 3z -3 = 0
Multiplicando ambos os membros da equação por 1/3 ou dividimos por 3, temos : x + 2y + z – 1 = 0
Ângulo de Dois Planos
Sejam os planos 1 e 2 com vetores normais 
1 e 2 , respectivamente.
Chama-se ângulo de dois planos 1 e 2 o menor ângulo que um vetor normal a 1 forma com um vetor normal a 2. Logo :
 , com 0 
 
 
 
Ex: Determine o ângulo entre os planos 
1: 2x + y – z + 3 = 0 e 2: x + y – 4 = 0
Solução : Sendo = (2, 1, -1) e =(1, 1, 0) vetores normais a 1 e 2 , temos:
 = 
Logo: = 30
Planos Perpendiculares
Consideremos dois planos 1 e 2 , e sejam 1 e 2 vetores normais a 1 e 2 , respectivamente.
2
2
 
1 
 
1
1
 
 
2
 
 
1 
 
 
2
 
 
1 
 . 
2
 = 0
Ex 1: Verificar se os planos são perpendiculares :
1 : 3x + y – 4z + 2 = 0 e 2 : 2x + 6y + 3z = 0
Solução: Sendo = (3, 1, -4) e 2 =(2, 6, 3) vetores normais a 1 e 2 , temos:
(3, 1, -4) . (2, 6, 3) = 0
Conclui-se que os planos são perpendiculares.
Ex 2 : Verificar se os planos são perpendiculares :
1 : x + y – 4 = 0 e 2 :
Solução: = (1, 1, 0) é vetor normal de 1. Teremos que achar um vetor 2 normal a 2 .
Como =(-1, 1, 0) e =(2, 1, 1) são vetores diretores de 2 , podemos ter ,
 2 = x = = ( 1, 1, -3)
Fazendo : 1 . 2 = 0
( 1, 1, 0) . ( 1, 1, -3) = 1 + 1 + 0 = 2 0
Os planos não são perpendiculares.
Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano
Seja uma reta r com a direção do vetor e um plano , sendo um vetor normal a . 
 
r
 
 
r
 
 (a)
 
 ( b )
r . = 0 ( a )
r = . ( b)
Ex: 	Diga se a reta r: é paralela ao 
plano 1 : 5x +2 y – 4z - 1 = 0 e perpendicular ao plano 2 : 4x -6 y + 2z - 5 = 0 .
Solução : Fazendo . = (2, -3, 1) . (5, 2, -4) = 0
 . = 10 -6 -4 = 0 É perpendicular
 = . 2 
(2,3,-1) = (4,- 6,2)
 = (2,- 3,1)
 (4,- 6,2)
 = 1
 2
Vemos que a reta é perpendicular ao plano , pois temos que .
Reta Contida em Plano
Uma reta r está contida em um plano se:
I – Dois pontos A e B de r forem também de ;
II - . = 0, onde é um vetor diretor de r e um vetor normal a e A , sendo A r.
B
A
Ex: Determinar os valores de m e n para que a reta 
r: esteja contida no plano .
Solução: Utilizando o 1º critério exposto acima, sejam A(3, -1, -2) e B(4, -2, -3) os pontos de r. Como r , as coordenadas de A e B devem satisfazer a equação de , isto é, 
 
 m = 3 e n = -1 .
Interseção de Dois Planos
Sejam os planos não – paralelos dados por
1 : 5x - y + z - 5 = 0 e 2 : x + y + 2z - 7 = 0 
A interseção de dois planos não – paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. 
Solução: Devemos achar um dos pontos de r e um vetor diretor.
Vamos achar o ponto A r que tem abscissa zero. Fazendo x = 0 nas equações do sistema temos :
 , temos y = -1 e z = 4 , logo A(0,-1,4) .
Como um vetor diretos de r é simultaneamente ortogonal a = (5, -1, 1) e = (1, 1, 2), normais aos planos 1 e 2 , respectivamente, o vetor pode ser dado por :
 I j k i j
 x = = 5 -1 1 5 -1 = (-3, -9, 6)
 1 1 2 1 1
ou também 
Escrevendo equações paramétricas da reta r, temos
r: 
Interseção de Reta com Plano
Se um ponto de r é comum ao plano , suas coordenadas verificam a equação de .
Ex. Determine o ponto de interseção da reta r com o plano , onde 
r: e 1 : 2x - y + 3z - 4 = 0 
Qualquer ponto de r é da forma 
(x, y, z) = ( -1 + 2t, 5 + 3t, 3 – t ). Substituindo em , temos:
2( -1 + 2t) – ( 5 + 3t) + 3(3 – t) – 4 = 0
Temos, então : t = -1
Substituindo esse valor nas equações de r obtém-se
X = 3 , y = 2 , z = 4
Logo a interseção de r e é o ponto ( -3, 2, 4 ).
Exercícios de Revisão
Dado o plano : 3x + y - z - 4 = 0, calcular :
O ponto de que tem abscissa 1 e ordenada3 ;
O ponto de que tem abscissa 0 e cota 2;
O valor de k para que o ponto P(k, 2, k-1) pertença a ;
O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
O valor de k para que o plano 
 , seja paralelo a .
Ache a equação geral do plano que é paralelo ao plano e que contenha o ponto A(4, -2, 1 ).
Ache a equação do plano que é perpendicular à reta r: e que contenha o ponto A(-1, 2, 3)
Sendo equações paramétricas de um plano , obter uma equação geral.
 Determine a equação do plano que contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos 1 : 2x + y - 3z = 0 e 2 : x + y -2z - 3 = 0 .
Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(2, 0, -2) e é paralelo aos vetores = i – j + k 
e = 2i + 3j .
Encontre uma equação geral do plano que contém as retas:
r1: e r2: 
Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
1 : x -2y +z -6 = 0 e 2 : 2x - y -z + 3 = 0 
Determine m de modo que os planos 1 e 2 sejam perpendiculares:
1 :m x +y -3z -1 = 0 e 2 : 2x – 3my +4z +1 = 0 .
 Verificar se os planos são perpendiculares:
1 : x + y – 4 = 0 e 2 :
Gabarito
 a) (1,3,2) b) ( 0,6,2) c) k = 1 
z = - 2 e) k = - 12 2
2x – 3y –z -13 = 0
2x – 3y + 4z – 4 = 0
2x – 2y – z + 4 = 0
x + y + z – 6 = 0
3x – 2y – 5z – 16 = 0
5x – 2y + 4z – 21 = 0
60º 9) m = - 12
10)Não são perpendiculares