AULA030405ESTATISTICA 20150308225006

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MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Recolhidos os dados de uma amostra, é necessário obter um conjunto de números que nos 
permita, com a maior facilidade, fazer os estudos e comparações necessárias. Dessa forma, 
poderemos localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se esses 
valores concentram-se no início, no meio ou no final da distribuição ou ainda se há uma 
distribuição por igual. 
As medidas de posição mais importantes são as Medidas de Tendência Central, que recebem tal 
denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos 
valores centrais. 
 Dentre as medidas de tendência central, destacamos. 
 a) Média Aritmética; 
 b) Moda; 
 c) Mediana. 
 
 As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: 
 a) A própria mediana; 
 b) Os quartis; 
 c) Os decis; 
 d) Os percentis. 
 
MÉDIA (
x
) 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (
x
) 
 Dados não agrupados 
 
 
 
É a divisão da soma de todas as variáveis pelo número total de 
variáveis. 
Sendo: 
x
 a média aritmética 
 
 ix
 o somatório das variáveis 
 
n
 o número que representa a quantidade de variáveis. 
 
 
 
 
Curso: Engenharia:____________________________ 
Disciplina: Estatística e Probabilidade 
Professora Rubiana Santana de Souza 
Aluno (a):________________________________ 
 
Data: ____/____/____ 
Período: _________ 
 
 
 
Aula 03/04/05 
 
Ex: Sabendo-se que a produção leiteira diária de certa vaca, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 18 e 
12 litros, calcule a média diária em litros dessa produção. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (
x
) 
 
 
 
 Dados agrupados sem intervalos de classe 
Ex: 
Consideremos a distribuição de uma amostra de 34 casais pesquisados, em relação à quantidade de filhos, 
tomando xi para variável número de filhos do sexo masculino. Calcule a média de filhos entre os 34 casais. 
 
nº meninos (xi) fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Total 34 
 
 Dados agrupados com intervalos de classe 
Ex: 
Em uma academia educacional registrou-se a altura de uma turma de 40 alunas de engenharia entre 20 e 26 
anos, como mostram os dados em intervalo de classe a seguir, em centímetros. Calcule a média entre as 
alturas. 
 
l |― L 
(altura em cm) 
fi Xi Xifi 
150 |― 154 4 
154 |― 158 9 
158 |― 162 11 
162 |― 166 8 
166 |―170 5 
170 |― 174 3 
Total 40 
 
 
 
A média é utilizada quando desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade, 
ou quando houver necessidade de um tratamento algébrico anterior. 
 
MODA (M
O
) 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Deste 
modo, por exemplo, o salário modal dos empregados de uma indústria, é o salário mais comum, 
isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. 
 Dados não agrupados 
Quando lidamos com valores não agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de 
acordo com a definição, procurar o valor que mais de repete. 
Na série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15, temos a moda igual a 10 (MO =10) pois é o valor 
que mais se repete em toda a série. 
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, não tem valores 
repetidos entre as variáveis. Neste caso dizemos que a série não apresenta moda isto é, ela é 
AMODAL. 
Exemplo1: 
Na série: 2, 5, 1, 4, 7, 16, 12 ⇒ MO = 
Em outros casos, pode ocorrer ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração 
entre as variáveis. Dizemos então que a série tem dois ou mais valores modais. 
Exemplo2: 
Na série 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. ⇒ Temos duas modas: MO=4 e MO =7. 
A série é dita bimodal. 
 
Na série 3, 6, 7, 6, 4, 5, 4, 3, 1 ⇒ Temos três modas: MO=4; MO =7 e MO=6 
A série é dita multimodal (quando três ou mais valores se 
repetem) 
 
 Dados agrupados sem intervalo de classe 
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da 
variável de maior frequência. Exemplo: 
 
 Mo=3 pois é o número de filhos de maior frequência entre os casais 
pesquisados. 
 
 Dados agrupados com intervalo de classe 
A linha que apresenta a maior freqüência é denominada Linha de Classe Modal. Pela definição, 
podemos afirmar que a Moda (Mo), neste caso é o valor dominante que está compreendido entre 
os limites da classe modal. 
nº de meninos (xi) fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal 
 
 
 
l* : limite inferior da linha de classe modal; 
L* : limite superior da linha de classe modal. 
Damos a esse valor a denominação de Moda Bruta 
 
Ex: 
A estatura de 40 alunas de Engenharia. 
 O maior fi é ....... Vem que: 
 
.............. 
22
**




 oo M
Ll
M
 
 
 
 
Emprego da Moda 
Empregamos a Moda quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada da posição, ou 
quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. 
 
MEDIANA (M
d 
) 
A mediana é outra medida de posição, definida como número que se encontra no centro de uma série de 
números, estando estes dispostos segundo uma ordem. 
 Dados não agrupados 
Ex: Dada uma série de valores 
5 13 10 2 18 15 6 16 9 
De acordo com a definição, o primeiro passo é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos 
valores: 
Nesse caso, temos, em ordem crescente: 
2 5 6 9 10 13 15 16 18 
 
Observe que o valor central é o 10 (O mesmo número de elementos são descartados à esquerda e à 
direita. No caso, quatro elementos à esquerda e quatro elementos à direita são descartados) ⇒ Md 
=10 
Ex: Dada a série, calcule a mediana: 
Altura fi 
150  154 4 
154  158 9 
158  162 11 
162  166 8 
166  170 5 
170  174 3 
 
7 10 21 2 6 13 12 18 
Observe que aqui o número de elementos da série é par. Ordenando em ordem crescente, temos: 
2 6 7 10 12 13 18 21 
 
 
É descartado o mesmo número de elementos das extremidades da série, deixando permanecer os 
dois elementos centrais. Assim, para obter-se a mediana, toma-se a média aritmética entre esses 
dois valores xi centrais: 
 
 
 
 
⇒ 
.11M 11
2
22
2
1210
d 

dM
 
 
 
 Dados agrupados 
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da mediana se processa de 
modo muito semelhante àquele dos dados não agrupados, implicando, porém, a determinação 
prévia das frequências acumuladas. Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a 
distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos. 
 Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é 
dada por: 
 
 
 Dados agrupados sem intervalo de classe 
Ex: Dada a tabela a seguir, calcule a quantidade mediana de filhos entre os 34 casais: 
 O cálculo da mediana passo a passo: Md=? 
1º) Completar a coluna de dados referente a frequência simples 
parcialmente acumulada (Fi). 
2º) Calcular 
17
2
34
2

 if
. 
3º) Buscar, de cima para baixo, na coluna de Fi, o primeiro valor, maior 
que o resultado de 
2
 if
 (no caso, vamos verificar o primeiro valor em Fi 
maior que 17); A linha que contiver esse valor chamaremos de linha de mediana). Apontamos a mediana 
na coluna de xi correspondente. Então: 
nº meninos(xi) fi Fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Total 34 ― 
 
 
Md=.............. meninos.Observação: No caso de existir a freqüência acumulada na coluna de Fi, tal que Fi
2


if
, então 
M
x x
d
i i
 1
2
. Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa 
frequência acumulada e a seguinte. 
 
 
 
Ex: 
Dada a tabela a seguir, das idades de um grupo de adolescentes , calcule a idade mediana entre eles 
 
2

 if
 




 dd M
xx
M 
22
 
 
 
 
 Dados agrupados com intervalo de classe 
Neste caso o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. 
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana – classe mediana. Tal 
classe será também aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a 
2
 if
. 
 
 
 ................................................. 
 
 
 
 
RESUMO DO CÁLCULO DA MEDIANA COM INTERVALO DE CLASSE: 
1º) Determinamos as freqüências acumuladas (coluna Fi); 
2º) Calculamos 
2
 if
; 
xi fi Fi 
12 1 
14 2 
15 1 
16 2 
 17 1 
20 1 
Total 8 
li— Li fi Fi 
150 — 154 4 
154 — 158 9 
158 — 162 11 
162 — 166 8 
166 — 170 5 
170 — 174 3 
Total 40 
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à 
2
 if
(linha de 
classe mediana) e, em seguida, empregamos a fórmula: 
 
 
 
l* é o limite inferior da classe mediana; 
F(ant) é a frequência acumulada da classe mais próxima, anterior à linha de classe mediana; 
f* é a freqüência absoluta simples da linha de classe mediana; 
h* é a amplitude do intervalo da linha de classe mediana; 
Na nossa tabela temos que: 
20
2
40
2

 if
. Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da 
distribuição e, como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20º lugar, a partir do início da 
série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i=3, ordem 3), supondo que as 
freqüências dessas classes estejam uniformemente distribuídas. 
Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe á igual a 4 devemos tomar, a partir do 
limite inferior, a distância de. Isto é, temos então: 
 













f
hantF
f i
)(
2 
4
11
7
 4
11
1320


 (distância do limite inferior). 
Na linha de mediana temos que: l*=158; F(ant)=13; f*=11 e h*=4 
 
 
54,16054,2158
11
28
1584
11
7
158 





dM
 
cmM d 5,160
 
 
 
Observação: Empregamos a mediana quando: 
 a) Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; 
 b) Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; 
 c) A variável em estudo é salário.