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AULA 08 PROBABILIDADE Os fenômenos estudados pela Estatística variam de resultados de uma observação para outra, dificultando assim a previsão de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo matemático probabilístico. EXPERIMENTO ALEATÓRIO Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: a) que o time perca; b) que o time ganhe; c) que o time empate. Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. ESPAÇO AMOSTRAL A cada experimento aleatório (A, B, C,..) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que chamamos de Espaço Amostral (E). Exemplo 1: A: jogar um dado e observar o nº da face de cima E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: B= Jogar uma moeda e observar o resultado E = {cara, coroa} EVENTOS É qualquer subconjunto do espaço amostral E de um experimento aleatório. Exemplo: No lançamento de um dado, onde E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face superior” temos: B = {2, 4, 6} PROBABILIDADE Dado um experimento aleatório, sendo E o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de E tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o nº real P(A) tal que: Desde que: n(A) = nº de elementos de A ; n(Ω) = nº de elementos de Ω. Exercícios 01. Uma urna contem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Descrever de forma explicita os seguintes conjuntos e dar o número de elementos de cada um: a) O espaço amostral U; b) O evento A: o número de bola é ímpar; c) O evento B: o número da bola é maior que 6. 02. Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes eventos: a) As três bolas têm a mesma cor; b) Duas bolas são brancas; c) As três bolas são vermelhas; 03. Considere o experimento: Lançamento de dois dados: um branco e outro verde, e a observação da face superior. Determine: a) O espaço amostral; b) O Evento A: ocorrência de dois números iguais nos dados; c) O evento B: Elementos cuja soma seja maior que 6; d) O número de elementos do item anterior. 04. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente e se observam as faces superiores. Determine: a) O espaço amostral desse experimento; b) O evento A: sai cara e um número ímpar; c) O evento B: sai coroa e um número par; A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(Ω) = 1 A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(Ø) = 0 A probabilidade de um evento A qualquer é um nº real P(A) tal que: )( )( )( de elementos de número A de elementos de número )( n An APAP 05. No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter: a) O número 2; b) Um número par; c) Um número múltiplo de 3; 06. No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter: a) O número 1; b) Um número primo; c) Um número divisível por 2; d) Um número menor que 5; e) Um número maior que 6; 07. Uma urna contém bola numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de seu número ser: a) Par; b) Ímpar; c) Par e menor que 15; 08. Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o seguinte resultado: HOMENS (H) MULHERES (M) TOTAL FUMANTES (F) 70 10 80 NÃO FUMANTES (NF) 30 90 120 TOTAL 100 100 200 Sorteia-se um funcionário ao acaso: a) Qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher? b) Se o sorteio for feito entre os não fumantes, qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher? EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: Exemplo 1: Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é 5 1 p , a probabilidade de que ele não ocorra é: 5 4 5 1 1q1q 5 1 , isto é, 80% de chance de não ocorrência. Exercício de Fixação 1: Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p(4) = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: Resolução EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que dois ou mais eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa, ou seja, então a probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou “marginais” : Exemplo 1: No lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é 6 1 1 P ; A probabilidade de obtermos 3 no segundo dado é: 6 1 3 P Qual a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é: Resolução: 36 1 6 1 6 1 P Isto é, em cada 36 vezes em que lançamos esses dois dados simultaneamente, 1 dessas 36 vezes ocorrerá a face 1 no primeiro dado e a face 5 no segundo dado. Exercício de Fixação 1: Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara? Resolução: É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. Além disso, para moedas equilibradas, 2 1 cara)(P . p + q = 1 ⇒ q = 1 – p P = P1 . P2 . P3 . P4 . …. Pn
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