Limites Aula 02

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1
Limites e Limites 
Laterais 
Adalberto Santos ( ) ( )
2 2
lim e lim .
x x
f x f x
+ −→ →
2
2
1, 2
( ) 2, 2 .
9, 2
x se x
Seja f x se x
x se x
 + <

= =

− + >
Calcule:
2
2
5
2
2
1, 2
( ) 2, 2 .
9, 2
x se x
Seja f x se x
x se x
 + <

= =

− + >
x 2
lim f(x) 5
−→
=
x 2
lim f(x) 5
+→
=
x 2
lim f(x) 5
→
=
f(2) 2=
( )
0
Calcular lim .
x
f x
→
| |
, 0( )
1, 0
x
se xSeja f x x
se x

≠
= 

=
| |
, 0( )
1, 0
x
se xSeja f x x
se x
 ≠
= 

=
1
x 0
lim f(x) 1
+→
=
x 0
lim f(x) 1
−→
= −
1−
0 0 0
| |lim lim lim 1 1
x x x
x x
x x+ + +→ → →
= = =
Utilizando a observação anterior, basta 
calcular os limites laterais correspondentes.
e
0 0 0
| |lim lim lim 1 1
x x x
x x
x x− − −→ → →
−
= = − = −
| |
, 0( )
1, 0
x
se xSeja f x x
se x
 ≠
= 

=
2
( )
0
lim
x
f x
→
Como os limites laterais não coincidem,
concluímos que
não existe.
( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x
+ −→ →
≠
( )lim
x a
f x
→
Se
não existe.
Então,
Considere a função
Nada podemos
afirmar sobre o limite
lateral a esquerda,
pois os valores de x a
esquerda do zero não
pertencem ao
domínio da função.
0
( ) , ( )f x x D f R+= =
0 0
lim lim 0
x x
x x
+→ →
= =
Se K é um número real qualquer, então:
O limite de uma constante é a 
própria constante.
→
→−
→
=
=
=
10
1
4
1) lim 3 3;
2) lim 15 15;
3) lim (ln8) ln8.
x
x
x
Seja p(x) uma função polinomial definida 
num intervalo real, com valores reais.
Então,
( ) ( )lim
x a
p x p a
→
=
3
( )S e lim ,
x a
f x L
→
=
e K é um número real qualquer, então:
=k.L=k.L=k.L=k.L
( )
1
1) lim 2 1
x
x
→
⋅ + =
2
7
2) lim 5
x
x
→−
⋅ =
( )
1
2 lim 1
x
x
→
⋅ +
2
7
5 lim
x
x
→−
⋅
( ) ( )S e lim e lim ,
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
então:
( )( ) ( ) ( )3) lim lim lim
x a x a x a
f g x f x g x L M
→ → →
± = ± = ±
( )3
1
1) lim 9
x
x x
→
+ =
( )2
3
2) lim 8 5
x
x x
→−
− =
3
1 1
lim lim9
x x
x x
→ →
+
2
3 3
lim 8 lim 5
x x
x x
→− →−
−
( ) ( )S e lim e lim ,
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
então:
( )( ) ( ) ( )4) lim lim lim
x ax a x a
f g x f x g x L M
→→ →
⋅ = ⋅ = ⋅
5
33
11) lim
x
x
x→
 
⋅ = 
 
( )
4
2) lim 4
x
x x
→
⋅ =
5
3 33
1lim lim
xx
x
x →→
⋅
44
lim 4 lim
xx
x x
→→
⋅
4
( ) ( )S e lim e lim ,
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
então:
( )
( )
( )
lim
5) lim , desde que M 0;
lim
x a
x a
x a
f xf L
x
g g x M
→
→
→
= = ≠
8
6
71) lim
3x
x
x→
=
→
+
=
1
5 92) lim
x
x
x
8
6
6
lim 7
lim 3
x
x
x
x
→
→
( )
→
→
+
1
1
lim 5 9
lim
x
x
x
x
( )S e lim ,
x a
f x L
→
= então:
( ) ( )6) lim lim
n
n n
x a x a
f x f x L
→ →
 
  = =   
 
para qualquer n real e não nulo.
[ ]7
1
1) lim 8
x
x
→
=
5122) lim 33 4
x a
x
→
 
− = 
7
1
lim 8
x
x
→
 
 
 
( )
51
2lim 33 4
x a
x
→
 
− 
 
( )S e lim ,
x a
f x L
→
= então:
( ) ( )7) lim lim nn n
x a x a
f x f x L
→ →
= =
n é um inteiro positivo. Se n é par 
então L >0.
3
13
1) lim 6 3
x
x
→
− =
→
=
5
2) lim 9
x
x
( )3
13
lim 6 3
x
x
→
−
→5
lim 9
x
x
5
Calcule o seguinte limite 
3 2
2
lim 2 4 4
x
x x
→
+ +
3 2
2
lim 2 4 4
x
x x
→
+ +
3 2
2
lim 2 4 4
x
x x
→
= + +
3 22(2) 4(2) 4= + +
2 8 4 4 4= ⋅ + ⋅ +
36=
6=
Considere a função abaixo:
Qual ? e ? 
1
lim ( )
x
f x
+→ 1
lim ( )
x
f x
−→
2; 1( )
3; 1
x xf x
x x
+ ≥
= 
− + <
X f(x)=-x+3
0,5 2,5
0,9 2,1
0,99 2,01
0,999 2,001
Notem que a
imagem tende a 2
2; 1( )
3; 1
x xf x
x x
+ ≥
= 
− + <
1
lim ( ) 2
x
f x
−→
=
2; 1( )
3; 1
x xf x
x x
+ ≥
= 
− + <
x f(x)=x+2
1,5 3,5
1,1 3,1
1,01 3,01
1,001 3,001
1
lim ( ) 3
x
f x
+→
= 1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
− +→ →
≠
6
�FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
�LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica. v. 1. Harbra, 1976.
�STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005.