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GEOMETRIA ANALÍTICA – 2017/1 Profª LUCIANA B. FIOROTTI LISTA 4 – PRODUTO ESCALAR(parte 1) 1. Dados os vetores 𝑢 = 2,−3,−1 e 𝑣 = 1,−1,4 , calcular: a) 2𝑢 ∙ −𝑣 b) 𝑢 + 3𝑣 ∙ 𝑣 − 2𝑢 c) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑢 − 𝑣 d) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 − 𝑢 2. Sejam os vetores 𝑢 = 2,𝑎,−1 , 𝑣 = 3,1,−2 e 𝑤 = 2𝑎 − 1,−2,4 . Determinar 𝑎 de modo que 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 + 𝑤 . 3. Dados os pontos 𝐴 4,0,−1 , 𝐵 2,−2,1 e 𝐶 1,3,2 e os vetores 𝑢 = 2,1,1 e 𝑣 = −1,−2,3 , obter o vetor 𝑥 tal que: a) 3𝑥 + 2𝑣 = 𝑥 + 𝐴𝐵 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 b) 𝐵𝐶 ∙ 𝑣 ∙ 𝑥 = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 − 3𝑥 4. Determinar o vetor 𝑣 , paralelo ao vetor 𝑢 = 2,−1,3 , tal que 𝑣 ∙ 𝑢 = −42. 5. Determinar o vetor 𝑣 do espaço, sabendo que 𝑣 = 5, 𝑣 é ortogonal ao eixo 𝑂𝑥, 𝑣 ∙ 𝑤 = 6 e 𝑤 = 𝑖 + 2𝑗 . 6. Determinar o vetor 𝑣 , ortogonal ao eixo 𝑂𝑦, 𝑣 ∙ 𝑣1 = 8 e 𝑣 ∙ 𝑣2 = −3, sendo 𝑣1 = 3,1,−2 e 𝑣2 = −1,1,1 . 7. Dados os vetores 𝑢 = 1,2,−3 , 𝑣 = 2,0,−1 e 𝑤 = 3,1,0 , determinar o vetor 𝑥 tal que 𝑥 ∙ 𝑢 = −16, 𝑥 ∙ 𝑣 = 0 e 𝑥 ∙ 𝑤 = 3. 8. Sabendo que 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e 𝑢 ∙ 𝑣 = −1, calcular: a) 𝑢 − 3𝑣 ∙ 𝑢 b) 2𝑣 − 𝑢 ∙ 2𝑣 c) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 − 4𝑢 d) 3𝑢 + 4𝑣 ∙ −2𝑢 − 5𝑣 9. Calcular 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝑣 ∙ 𝑤 , sabendo que 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 0 , 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e 𝑤 = 5. 10. Os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 20 cm. Calcular 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 e 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐴 . 11. O quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.16) é um losango de lado 2. Calcular: a) 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 b) 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 c) 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐶 d) 𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 e) 𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐶 f) 𝐵𝐶 ∙ 𝐷𝐴 12. Calcular 𝑢 + 𝑣 , 𝑢 − 𝑣 e 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑢 − 𝑣 , sabendo que 𝑢 = 4, 𝑣 = 3 e o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 é de 60°. 13. Sabendo que 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e que 𝑢 e 𝑣 formam ângulo de 3𝜋 4 𝑟𝑎𝑑, determinar: a) 2𝑢 − 𝑣 ∙ 𝑢 − 2𝑣 b) 𝑢 − 2𝑣 14. Verificar para os vetores 𝑢 = 4,−1,2 e 𝑣 = −3,2, −2 as desigualdades: a) 𝑢 ∙ 𝑣 ≤ 𝑢 ∙ 𝑣 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑐𝑤𝑎𝑟𝑧 b) 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 15. Qual deve ser o valor de 𝛼 para que os vetores 𝑎 = 𝛼𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 e 𝑏 = 2𝑖 + 1 − 2𝛼 𝑗 + 3𝑘 sejam ortogonais? 16. Dados os vetores 𝑎 = 2,1,𝛼 , 𝑏 = 𝛼 + 2,−5,2 e 𝑐 = 2𝛼, 8,𝛼 , determinar o valor de 𝛼 para que o vetor 𝑎 + 𝑏 seja ortogonal ao vetor 𝑐 − 𝑎 . 17. Dados os pontos 𝐴 −1,0,5 , 𝐵 2,−1,4 e 𝐶 1,1,1 , determinar 𝑥 tal que 𝐴𝐶 e 𝐵𝑃 sejam ortogonais, sendo 𝑃 𝑥, 0, 𝑥 − 3 . 18. Provar que os pontos 𝐴 −1,2,3 , 𝐵 −3,6,0 e 𝐶 −4,7,2 são vértices de um triângulo retângulo. 19. Dados os pontos 𝐴 𝑚, 1,0 , 𝐵 𝑚 − 1,2𝑚, 2 e 𝐶 1,3,−1 , determinar 𝑚 de modo que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 seja retângulo em 𝐴. Calcular a área do triângulo. 20. Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano 𝑦𝑂𝑧 e que são ortogonais ao vetor 𝑣 = 4,1,−2 . 21. Determinar o vetor 𝑢 tal que 𝑢 = 2, sendo o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 = 1,−1,0 igual a 45° e 𝑢 seja ortogonal a 𝑤 = 1,1,0 . 22. Seja o vetor 𝑣 = 2,−1,1 . Obter: a) um vetor ortogonal a 𝑣 ; b) um vetor unitário ortogonal a 𝑣 ; c) um vetor de módulo 4 ortogonal a 𝑣 . 23. Sendo 𝑎 𝑏 , 𝑎 = 6 e 𝑏 = 8, calcular 𝑎 + 𝑏 e 𝑎 − 𝑏 . 24. Determinar o ângulo entre os vetores: a) 𝑢 = 2,−1,−1 e 𝑣 = −1,−1,2 b) 𝑢 = 1,−2,1 e 𝑣 = −1,1,0 25. Seja o triângulo de vértices 𝐴 3,4,4 , 𝐵 2,−3,4 e 𝐶 6,0,4 . Determinar o ângulo interno ao vértice 𝐵. Qual o ângulo externo ao vértice 𝐵? 26. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices 𝐴 2,1,3 , 𝐵 1,0,−1 e 𝐶 −1,2,1 . 27. Calcular o valor de 𝑚 de modo que o ângulo entre os vetores 𝑢 = 1,−2,1 e 𝑣 = −2,1,𝑚 + 1 seja 120°. 28. Calcular 𝑛 para que o ângulo entre os vetores 𝑣 = −3,1,𝑛 e 𝑘 seja de 30°. 29. Se 𝑢 = 4, 𝑣 = 2 e 120° o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 , determinar o ângulo entre os vetores 𝑢 + 𝑣 e 𝑢 − 𝑣 e construir uma figura correspondente a esses dados. 30. Seja o cubo de aresta a representado na figura 2.17. Determinar: a) 𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶 b) 𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐷 c) 𝑂𝐸 ∙ 𝑂𝐵 d) 𝑂𝐵 e 𝑂𝐺 e) 𝐸𝐺 ∙ 𝐶𝐺 f) 𝐸𝐷 ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝑂𝐺 g) o ângulo entre a diagonal do cubo e uma aresta; h) o ângulo formado por duas diagonais do cubo. RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 1. a) – 2 b) 21 c) – 4 d) 4 2. 𝑎 = 5 8 3. a) 3,6,−9 b) − 1 3 ,− 2 3 , 1 4. 𝑣 = −6,3,−9 5. 𝑣 = 0,3,4 𝑜𝑢 𝑣 = 0,3,−4 6. 𝑣 = 2,0,−1 7. 𝑥 = 2,−3,4 8. a) 7 b) 38 c) – 4 d) – 181 9. – 19 10. 200 e – 200 11. a) 0 b) 2 c) – 2 d) 2 e) 4 f) – 4 12. 37, 13 e 7 13. a) 37 b) 50 15. 𝛼 = −5 16. 𝛼 = 3 ou 𝛼 = −6 17. 𝑥 = 25 2 18. 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐶 = 0 19. 𝑚 = 1, á𝑟𝑒𝑎 = 30 2 20. 0, 2 5 , 1 5 ou 0,− 2 5 ,− 1 5 21. 𝑢 = 1,−1, 2 ou 𝑢 = 1,−1,− 2 22. a) entre os infinitos possíveis: 1,1,−1 b) um deles: 1 3 , 1 3 ,− 1 3 c) um deles: 4 3 , 4 3 ,− 4 3 23. 10 e 10 24. a) 120° b) 150° 25. 45° e 135° 26. 𝐴 ≅ 50°57′, 𝐵 ≅ 50°1′ e 𝐶 ≅ 72°2′ 27. 𝑚 = 0 ou 𝑚 = −18 28. 𝑛 = 30 29. 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 3 21 ≅ 49°6′ 30. a) 0 b) 0 c) 0 d) 𝑎 2 e 𝑎 3 e) 𝑎2 f) 𝑎3,𝑎3,𝑎3 g) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 3 3 ≅ 54°44′ h) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 1 3 ≅ 70°31′
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