Limites 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
4
a
Lista de Cálculo I - Limite e Continuidade 2
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Dê o valor de L, caso exista, que a função deveria assumir para ser contínua:
a) f(x) =
{
x2−16
x−4 , se x 6= 4
L, se x = 4
b) f(x) =
{
x3−x
x , se x 6= 0
L, se x = 0
c) f(x) =
{ |x|
x , se x 6= 0
L, se x = 0
d) f(x) =
{
x2−81
x−9 , se x 6= 9
L, se x = 9
e) f(x) =
{ |x−5|
x−5 , se x 6= 5
L, se x = 5
f) f(x) =

x2, se x < 1
1
x2 , se x > 1
L, se x = 1
2) Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
a) lim
x→1
|x−1|
x−1 .
b) lim
x→1+
f(x)−f(1)
x−1 , onde f(x) =
{
x+ 1, se x ≥ 1
2x, se x < 1
.
c) lim
x→0
√
x.
d) lim
x→2+
x2−2x+1
x−1 .
e) lim
x→1
f(x)−f(1)
x−1 , onde f(x) =
{
x2, se x ≥ 1
2x− 1, se x < 1 .
f) lim
x→2+
g(x)−g(2)
x−2 , onde g(x) =
{
x2, se x ≥ 2
x2
2 , se x < 2
.
g) lim
x→2−
g(x)−g(2)
x−2 , onde g é a função do item acima.
h) lim
x→2
g(x)−g(2)
x−2 , onde g é a função do item f).
i) lim
x→−1
3
√
x3+1
x+1 .
j) lim
x→1
3
√
3x+5−2
x2−1 .
3) Dada a função f(x) = x
2−3x+2
x−1 , verifique que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x). Pergunta-se: f é contínua em 1?
Por quê?
4) Seja f definida em R. Suponha que lim
x→0
f(x)
x = 1. Calcule limx→0
f(3x)
x e limx→1
f(x2−1)
x2 .
5) Suponha que, para todo x, |g(x)| ≤ x4. Calcule lim
x→0
g(x)
x .
6) Suponha que a função f : R→ R satisfaz
|f(x)− f(1)| ≤ (x− 1)2, para todo x ∈ R.
Mostre que f é contínua no ponto x = 1.
1
7) Sejam f,g funções contínuas em R tais que f(3) = g(3). A função h : R→ R, dada por
h(x) =
{
f(x), se x ≤ 3
g(x), sex x > 3
é contínua em R? Explique sua resposta.
8) Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x ∈ R, [f(x)]4 + [g(x)]4 = 4. Calcule
(justificando) o limite lim
x→3
f(x) 3
√
x2 − 9.
9) Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
a) lim
x→0
x
sen x
b) lim
x→0
x2
sen x
c) lim
x→pi
sen x
x−pi
d) lim
x→2
x2−4x+4
x2−3x+4
e) lim
x→1
1−x2
sen (pix)
f) lim
x→pi
1−sen ( x2 )
pi−x
g) lim
x→p
tg (x−p)
x2−p2
h) lim
x→p
tg x−tg p
x−p
i) lim
x→p
sen x−sen p
x−p
j) lim
x→0
sen (x2+ 1x )−sen 1x
x
k) lim
x→0+
(
x+ x|x|
)
l) lim
x→0
[xcossec (x)]
m) lim
x→0
tg (x)
2x
n) lim
x→pi4
sen x−cos x
1−tg x
o) lim
x→0
x5+2x3
tg x−sen x
p) lim
x→0
√
1+sen x−√1−sen x
x
q) lim
x→4
√
3x−8−2√
x−2−√2
r) lim
x→a
x3−a3
x2−a2
s) lim
y→x0
[
sen (x0y) + cos(y
2 − x0)
]
t) lim
x→0
cos
(
x
sen (x)−2x
)
u) lim
x→0
[
cos(pi2 )−3x
x
]
2