Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
TRABALHO AVALIATIVO DE Cálculo 1
Engenharia Química
Prof: Rafael Antônio Rossato
Nome: Valor: 10,0 ptos
Matrícula: Obteve: .
1) Resolva as equações:
a) xy′ + 3y = sen xx2 , x > 0
b) x dydx + 2y = 1− 1x , x > 0
c) x dydx =
cos x
x − 2y, x > 0
d) xy′ − y = 2x lnx
2) Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que remunera o capital investido de acordo com
a equação
dC
dt = 0,08C.
a) Supondo que o capital investido no instante t = 0 seja C0, determine o valor do capital no instante t.
b) Qual o rendimento mensal que o investidor está auferindo? (suponha t dado em meses).
3) Um material radioativo se desintegra a uma taxa de
dm
dt proporcional a m, onde m = m(t) é a quantidade de
matéria no instante t. Supondo que a quantidade inicial (t = 0) de matéria seja m0 e que 10 anos após já tenha
se desintegrado
1
3 da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se
desintegre.
4) Um corpo de massa 70 kg cai do repouso e as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de
resistência proporcional ao quadrado da velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após o início da queda a sua
velocidade é de 8 m/s, determinar a velocidade no instante t. (Suponha aceleração da gravidade igual a 10
m/s
2
).
5) Um capital C = C(t) está crescendo a uma taxa dCdt proporcional a C. Sabe-se que o valor do capital no instante
t = 0 era de R$ 20.000,00 e 1 ano após, R$ 60.000,00. Determine o valor do capital no instante t. (Suponha t
dado em anos).
6) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional a velocidade. Admitindo-se que v(0) = 3,
v(1) = 2 e x(0) = 0, determine a posição da partícula no instante t.
7) Suponha que a quantidade de petróleo bombeada de um dos poços do canyon em Whittier, na Califórnia, tenha
diminuído a uma taxa contínua de 10 % ao ano. Quando a produção do poço atingirá um quinto de seu valor
atual?
8) Suponha que, após 10 minutos em uma sala cuja temperatura ambiente seja 20
◦
C, a temperatura de uma tigela
de sopa tenha passado de 90
◦
C para 60
◦
C. Use a lei do resfriamento de Newton para responder às seguintes
perguntas:
a) Quanto tempo mais levará para que a sopa chegue a 35
◦
C?
b) Em vez de ser deixada na sala, a tigela com a sopa de 90
◦
C é colocada em um freezer, cuja temperatura
é de −15◦C. Quanto tempo levará para a sopa esfriar de 90◦C a 35◦C?
OBS: Lei do resfriamento de Newton: ``A taxa de variação da temperatura de um objeto em qualquer tempo
é aproximadamente proporcional à diferença entre a própria temperatura e aquela do meio.�
9) Para todo a > 0, o gráfico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a curva xy = a, x > 0. Determine f , supondo
que f(2) = 3.