LIsta 01 - Variáveis Complexas UFC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1.a Lista de exerc´ıcios de Introduc¸a˜o a`s Varia´veis Complexas
Data: 11/04/17
Aluno(a): Nota:
Prof.: Marcos Melo
Instruc¸a˜o:Esta lista de exerc´ıcios deve ser entregue ao professor ate´ o dia 18/04/17. Os pontos
dela sera˜o contabilizados na 1a avaliac¸a˜o da disciplina.
1. (1 ponto) Sejam x = a2 + b2 e y = c2 + d2, onde a, b, c e d sa˜o nu´meros inteiros.
a) Use mo´dulo de nu´mero complexo para encontrar inteiros u e v tais que
xy = u2 + v2.
b) Escreva 533 como soma de quadrados, sabendo que 533 = (22 + 32)(42 + 52).
2. (1 ponto) Seja C =
{(
a b
−b a
)
; a, b ∈ R
}
.
a) Verifique que, com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de matrizes, (C,+, ·) e´ um
corpo.
b) Mostre que C e C sa˜o corpos isomorfos.
3. (1 ponto) Sejam Pk = cos(2kpi/n) + i · sen(2kpi/n), k = 0, 1, · · · , n− 1, as ra´ızes da equac¸a˜o
zn − 1 = 0.
a) Mostre que 1 + z + · · ·+ zn−1 = (z − P1) · · · (z − Pn−1), para todo z ∈ C.
b) Use este resultado para concluir que se A1A2A3 · · ·An e´ um pol´ıgono regular convexo
inscrito no c´ırculo unita´rio, enta˜o
|A2 −A1| · |A3 −A1| · · · |An −A1| = n.
Licenciatura em Matema´tica -1- UFC
1a Lista de exerc´ıcios de Introduc¸a˜o a`s Varia´veis Complexas Prof. Marcos Melo
4. (1 ponto) Seja V um espac¸o vetorial real. A complexificac¸a˜o de V e´ o conjunto
VC = {u+ iv; u, v ∈ V }.
a) Mostre que, com as operac¸o˜es
(u1 + iv1) + (u2 + iv2) := u1 + u2 + i(v1 + v2), u1, u2, v1, v2 ∈ V
(x+ iy)(u+ iv) := xu− yv + i(xv + yu), x, y ∈ R, u, v ∈ V,
VC e´ um espac¸o vetorial complexo.
b) Prove que toda R-base {v1, · · · , vn} de V e´ tambe´m uma C-base de VC.
5. (1 ponto) Um conjunto aberto Ω ⊂ C e´ dito desconexo quando existem abertos na˜o-vazios e
disjuntos A1 e A2 tais que Ω = A1 ∪A2. Esta decomposic¸a˜o Ω = A1 ∪A2 e´ denominada uma
cisa˜o na˜o-trivial do aberto Ω. Por outro lado, um aberto U que so´ admite as ciso˜es triviais
U = U ∪ ∅ = ∅ ∪ U e´ dito conexo.
a) Exiba dois conjuntos abertos, um sendo desconexo e outro sendo conexo.
b) Prove que um conjunto aberto U e´ conexo se, e somente se, quaisquer dois de seus pontos
podem ser ligados por uma poligonal inteiramente contida em U .
Licenciatura em Matema´tica -2- UFC