6a lista de cálculo ii 2017 1

Prévia do material em texto

IBMEC 
6a Lista de Cálculo II 2017/1 
 
1) Calcule a derivada de: 
a)  
x
dt
t
xf
0
21
1)( e)  
x
dt
t
xf
3
1
0
21
1)( 
b) 
 

1
2
2
4
2)(
x
dt
t
ttxf f)  1 2).()(
senx
t dtextgxf 
c)   x
x
dttxf
)ln(
41)( g)   x dttxxf 2
1
22 1.)( 
d) 
3
)cos(
2 )(ln
)(
x
x
dt
t
txf h)  x dttsenxxf
1
22 )()( 
 
2) Calcule os limites: 
a) 


 x
x
x
dttsen
dtt
0
0
3
0
)(
)cos(
lim
2
 d) 
x
dtttg
x
t
x
 

0
/1
0
)21(
lim 
b) 


 x
xsen
x
dttsen
dtttg
0
)(
0
0
)(
)(
lim e) 
x
dttt
x
x


0
0
)ln(.
lim 
c) 
x
dttsen
x
t
x
 

0
3
0
)]2(1[
lim f) 
x
dtt
x
t
x
 

4
0
1
0
)31(
lim 
 
3) Determine o domínio e a derivada de  
x t
dt
t
exf
1
2 1
)( 
 
4) Se f for uma função diferenciável tal que 2
0
)]([)( xfdttf
x
 , para todo x, ache f. 
 
5) Considere a função 
)2/(
0
2
)(
xsen
t dtexf . 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto )0,2(  . 
Respostas: 
 
1ª Questão: 
a) 21
1)('
x
xf  
b) 2
2
4
2)('
x
xxxf 
 
c) 
x
xxxf 1.)(ln11)(' 44  
d) ).(
)(cosln
)cos(3.
)(ln
)(' 2
2
32
3
senx
x
xx
x
xxf  
e) 22 3
1.
3
11
1)('
x
x
xf 



 
f) )cos(.).().(sec)('
22 )(
1
2 xextgdtexxf senx
senx
t   
g) xxdttxxf
x
41.1.2)(' 2
32
1
2   
h) )(.)(.2)(' 22
1
2 xsenxdttsenxxf
x
  
 
2ª Questão: 
a) 2 d) 2e 
b) 1 e) 0 
c) 6e f) 34e 
 
3ª Questão: 
Domínio: [,0[)( fD 
xx
exf
x
2
1.
1)(
)('
2  
 
4ª Questão: 
Derivando a equação, obtemos 
0)]('21)[()(').(2)(  xfxfxfxfxf 
Logo, 0)( xf ou 2/)(2/1)(' xxfxf  
 
5ª Questão: 

2
xy