Esboce e encontre a área da região delimitada por y = 3/(x−1), pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4. 26. Integral definida Teorema Fundame...

Para esboçar a região, podemos começar analisando o comportamento da função y = 3/(x-1). Observe que a função não está definida para x = 1, pois o denominador se torna zero. Além disso, a função é positiva para x < 1 e negativa para x > 1. Podemos traçar o gráfico da função utilizando alguns pontos notáveis, como x = -2, x = 0 e x = 2. Para x = -2, temos y = -1. Para x = 0, temos y = -3. Para x = 2, temos y = 1. Podemos então traçar o gráfico da função e identificar a região delimitada pelas curvas y = 3/(x-1), eixo x, eixo y e a reta x = -4.  Para encontrar a área da região delimitada, podemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Observe que a área é dada por: A = ∫[-4,1] 3/(x-1) dx - ∫[-4,-3] 3/(x-1) dx Podemos calcular as integrais separadamente. Para a primeira integral, podemos fazer a substituição u = x - 1, du = dx, e obter: ∫[-4,1] 3/(x-1) dx = ∫[-5,0] 3/u du = 3 ln|u|[-5,0] = 3 ln(5) Para a segunda integral, podemos fazer a substituição v = x - 1, dv = dx, e obter: ∫[-4,-3] 3/(x-1) dx = ∫[-5,-4] 3/v dv = -3 ln|v|[-5,-4] = 3 ln(5) Substituindo os valores encontrados na expressão da área, temos: A = 3 ln(5) - 3 ln(5) = 0 Portanto, a área da região delimitada é zero.