Apostilas de Cálculo Diferencial e Integral I

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Limites:
1. Definição do Limite: Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximam de 1, pela direita (valores > 1) e pela esquerda (x < 1) e calcular o valor correspondente de y. 
 
Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 
1), y tende para 3 (y
3). 
 
Notação: 
Significação intuitiva: 
Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos escolhendo x suficientemente próximo de a e x 
a.
Interpretação gráfica:
	Se f(x) se aproxima de um certo número quando x se aproxima de a, escrevemos 
 existe.
2. Propriedades dos limites:
 Se 
, então 
 com 
 e 
ou 
 e n é ímpar.
 Se 
 e 
, então:
L1. 
 Ex: 
L2. 
 Ex: 
L3. 
 Ex: 
L4. 
 Ex: 
L5. 
 Ex: 
L6. 
 Ex: 
L7. 
 
 Ex: 
L8. 
(se 
e 
,ou se n é ímpar e 
)Ex: 
L9. 
 Ex: 
L10. 
 Ex: 
L11. 
 Ex: 
3. Limite de uma função polinomial:
Uma das conseqüências das propriedades L é o TEOREMA: 
, 
, para x tendendo para a, é igual ao valor numérico de 
 pra 
.
Exemplo: 
1) Calcule o valor dos seguintes limites:
a) 
 b) 
 c) 
Exercícios:
1) Calcule o valor dos seguintes limites:
 a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) 
 f) 
g) 
 h) 
 i) 
A técnica de substituição não é aplicável a toda função algébrica f, pois em muitos casos a simples substituição resulta em expressões indeterminadas. Exemplo de expressões indeterminadas:
	Quando isso acontece deve-se usar técnicas de fatoração de polinômios, ou ainda, o processo de racionalização do numerador ou denominador, dependendo do exemplo em questão: Algumas fórmulas de fatoração: 
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
5) 
6) 
.
Exemplos: 
1) Calcule: a) 
 b) 
			c) 
Exercícios:
1) Calcule os seguintes limites: 
a) 
 b)
 c) 
d) 
 e) 
 f) 
g)
 h) 
	Nos exemplos a seguir é necessário usar a técnica de racionalização do numerador ou denominador, dependendo de onde está a raiz.
Exemplos: 
1) Calcule: a) 
 b) 
Exercícios:
1) Calcule os seguintes limites: 
a) 
 b) 
c) 
 d)
Exercícios de revisão, ou seja, revisão geral de limites:
1) 
 7) 
log (x + 6)
2) 
 8)
sen 
3) 
 9) 
4)
 10)
5) 
 11) 
6) 
 12) 
4. Limites laterais: 
4.1 Limite à esquerda: Notação: 
Interpretação gráfica: 
4.2 Limite à direita: Notação: 
Interpretação gráfica: 
Obs.: A notação 
 significa que x tende para a pela esquerda, e 
 significa que x tende para a pela direita.
TEOREMA: 
 existe e será igual a L se e somente se 
 e 
 existirem e 
 forem iguais a L.
Exemplo:
1) Se 
 esboce o gráfico de f a ache, se possível: a) 
; b) 
; c) 
.
2) Se 
 esboce o gráfico de f a ache, se possível: a) 
; b) 
; 
c) 
.
3) Se 
 Calcule: a) 
 b) 
 c) 
Exercícios: 
1) Nos exercícios, é dada uma função 
. Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão.
a) 
 a) 
 b) 
 c) 
b) 
 a) 
 b) 
 c) 
c) 
 a) 
 b) 
 c) 
 
d) 
 a) 
 b) 
 c) 
e) 
 a) 
 b) 
 c) 
f) 
 a) 
 b) 
 c) 
2) Consideremos a função 
, calcular os limites laterais quando x tende a 3.
3) Considerar a função f(x) = x2, calcular seus limites laterais quando x tende a 3. Fazer a representação gráfica e verificar se existe o limite no ponto 3.
4) Para cada função f(x) e para cada a, calcule (quando existir) os limites: 
, 
 e 
.
a) 
, a = 3;
b) 
, a = 0;
c) 
, a=0;
d) 
, a=2;
e) 
;
5. Limites da função exponencial: 
TEOREMA: Se 
 e o 
, então 
.
Exemplos:
1) Calcule:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Exercícios:
1) Calcule:
a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) 
 f) 
 
6. Limites da função logarítmica: 
TEOREMA: Se 
 e 
, então 
Exemplo: a) 
		b) 
Exercícios:
1) Calcule:
a) 
 b) 
				c) 
d) 
 e) 
				f) 
7. Limites que envolvem infinito
Ao investigarmos 
 ou 
, pode ocorrer que, ao tender x para a, o valor f(x) da função aumente sem limite ou diminua sem limite.
Obs.: Se o limite de f(x) de um lado de a é +
 e do outro lado de a é -
, dizemos que o 
 não existe,
Exemplos:
1) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 2 e faça a representação gráfica.
2) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 2 e faça a representação gráfica.
Exercícios:
1) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 4 e faça a representação gráfica.
2) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 0 e faça a representação gráfica.
3) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 0 e faça a representação gráfica.
4) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 0 e faça a representação gráfica.
5) Determine os 
 e 
 e 
, se existir da função: 
, a = 5 e faça a representação gráfica.
8. Limites no infinito: 
Definições: 
1 - Seja f uma função definida num intervalo ]a, +
[. Se à medida que x assume valores cada vez maiores no intervalo ]a, +
[ os correspondentes valores f(x) se aproximam de um número L, dizemos que o limite de f para a x tendendo a +
 é L e escrevemos: 
2 - Seja f uma função definida num intervalo ]-
, a[. O limite de f(x) quando x decresce indefinidamente é L e escrevemos: 
TEOREMA: Se n for um número inteiro positivo qualquer, então:
i) 
ii) 
Exemplos: a) 
b) 
 
Propriedades dos limites infinitos:
	
	
	
	
	
	Simbolicamente
	01
	
	
	
	
	
 
=
	02
	
	
	
	?
	
 é indeterminação
	03
	
	k
	
	
	
 + k = 
	04
	
	k
	
	
	
 + k = 
	05
	
	
	
	
	(
) 
 (
) = 
	06
	
	
	
	
	(
) 
 (
) = 
	07
	
	k > 0
	
	
	
 
 k = 
, k > 0
	08
	
	k < 0
	
	
	
 
 k = 
, k < 0
	09
	
	0
	
	?
	
 
 0 é indeterminação
	10
	k
	
	
	0
	
	11
	
	
	
	?
	
 é indeterminação
	12
	k > 0
	0+
	
	
	k/0+ = 
, k > 0
	13
	
	0+
	
	
	
/0+ = 
	14
	k > 0
	0-
	
	
	k/0- = 
, k > 0
	15
	
	0-
	
	
	
/0- = 
	16
	0
	0
	
	?
	0/0 é indeterminaçãoExemplos:
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
=
6) 
7) 
=
8) 
Obs.: Dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x em casos de indeterminação, por exemplo 
.
Exercícios:
1) Encontre os limites no infinito:
a) 
 b) 
 c) 
 
d) 
 e) 
 f)
 
g) 
(2x + 1) h) 
 i) 
 
j)
 
 k) 
 l)
 
m)
 n)
 o)
 
p) 
 q)
(2 – ex) r) 
(2 – ex) 
s) 
 e1-x
 t) 
ln
 u) 
v)
(10 + e-x) x) 
�� EMBED Equation.3 
Engenharia Civil – Cálculo Diferencial e Integral I- Msc Mariane Schneider 
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