AULA 3 capitalização simples

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Capitalização simples
Prof. Marco A. Arbex
marco.arbex@live.estacio.br
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira ou como o valor referente ao atraso
no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo
empréstimo de um capital.
Em outras palavras, os juros representam o valor do
dinheiro no tempo.
Formas de capitalização:
Juros simples: somente o principal (PV) rende
juros.
Juros compostos: após cada período, os juros são incorporados ao capital principal (PV), proporcionando juros sobre juros.
Funcionamento do regime de juros simples
Mês
Saldo Inicial
0
1
800,00
2
864,00
3
928,00
4
992,00
5
1.056,00
6
1.120,00
Juros	8% a.m.	Saldo Final
 800,00
864,00
928,00
992,00
1.056,00
1.120,00
1.184,00
800,00
64,00
64,00
64,00
64,00
64,00
64,00
Fórmulas
J = PV * i * n J = FV - PV PV = FV - J
PV = FV / (1+ i * n)
FV = PV + J
FV = PV * (1 + i * n) i = J / (PV * n)
i = ((FV/PV) - 1) / n
n = ((FV/PV) -1) / i
Onde:
J = juros, expressos em unidades monetárias
PV = capital inicial (valor presente), expresso em unidades monetárias FV = montante (valor futuro), expresso em unidades monetárias
i = taxa de juros (expresso em decimal)
n = período
Exercícios:
Qual será o juros gerado por um capital de $100.000,00, aplicado no regime de juros simples, a uma taxa de 9% ao mês, ao final de um 1 mês e ao final de 2 meses?
 Aplicação no 1º mês 100.000 + Juros 9.000 Total = 109.000
 Aplicação no 2º mês 109.000 + Juros 9.000 Total = 118.000
Um investidor aplicou $20.000,00, no regime de juros simples, a uma taxa de 10% ao mês. Calcule o montante no final do primeiro mês e do quinto mês.
 Aplicação no 1º mês 20.000 + Juros 2.000 Total = 22.000
 Aplicação no 2º mês 22.000 + Juros 2.000 Total = 24.000
 Aplicação no 3º mês 24.000 + Juros 2.000 Total = 26.000
 Aplicação no 4º mês 26.000 + Juros 2.000 Total = 28.000 
 Aplicação no 5º mês 28.000 + Juros 2.000 Total = 30.000
Qual deve ser o capital aplicado hoje para gerar um montante de $8.000,00 daqui a 3 meses a uma taxa de juros simples de 2% ao mês? 
 Pv=?
 Fv=8.000 Pv=fv/(1+i*n) = 8000/(1+0,02*3) = 8000/1,06 = 7.547,17
 n= 3 meses
 i= 2% a.m = 0,02
Coerência entre taxa e período
Para se realizar os cálculos utilizando as fórmulas, é necessário
que o período ( n ) esteja ajustado com a taxa ( i ).
Exemplo:
Qual o valor do capital que deve ser aplicado a uma taxa de juros
de 1,5% ao mês, em juros simples, para produzir um montante de
$10.000,00, no prazo de 2 semestres?
Solução:
PV = ? Pv=fv/(1+i*n)pv=10.000/(1+0,015*12)=8474,58 
FV = 10.000,00
n = 2 semestres ou 12 meses
i = 1,5% ao mês ou 9% ao semestre
Se usar o período em semestre, deve-se utilizar a taxa também em semestre. Se usar o período em mês, deve-se utilizar a taxa em mês.
Abreviaturas de período
Abreviatura
Significado
a.d.
aodia
a.m.
aomês
a.b.
aobimestre
a.t.
aotrimestre
a.q.
aoquadrimestre
a.s.
aosemestre
a.a.
aoano
Equivalência de taxas
Duas taxas são consideradas equivalentes se, aplicadas sobre um mesmo capital (PV), no mesmo prazo (n) no regime de juros simples, produzem um mesmo montante
Exemplo: Calcule as taxas equivalentes a 18% a.t, em regime de juros simples, considerando os seguintes períodos:
Ao dia
Ao semestre
Equivalência de taxas
a)	Ao dia:
i = 18 / 90 = 0,2% a.d.
b) Ao semestre
i = 18 x 2 = 36% a.s.
Taxa trimestral
Número de dias
em um trimestre
Taxa
trimestral
Número de trimestres em um semestre
OBS: Quando o período desejado for menor que o informado, a operação é a divisão
OBS: Quando o período desejado for maior que o informado, a operação é a multiplicação
Exercícios:
1 - Calcule as taxas equivalentes a 9% a.s., em regime de juros simples, considerando os seguintes períodos:
a) Ao mês
9/6 = 1,5% a.m
b) Ao trimestre
9/2 = 4,5% a.t
c) Ao quadrimestre
9/1,5 = 6% a.q
Ao dia
9/180 = 0,05% a.d
Ao ano
9*2 = 18% a.a
Aplicação: cálculo dos juros sobre o
saldo negativo do banco
O cálculo dos juros do “cheque especial“ representa uma possível aplicação dos conceitos de juros simples.
Exemplo:
– Observando o extrato bancário a seguir, calcule quanto o banco cobrará de juros desse correntista ao final do mês de janeiro. Considere que a taxa de juros cobrada pelo banco é 9% ao mês.
DATA
LANÇAMENTO
DÉB/CRÉD
SALDO
01/01/2017
Depósito
10.000,00C
10.000,00
04/01/2017
Cheque
12.000,00D
-2.000,00
11/01/2017
Cheque
10.000,00D
-12.000,00
16/01/2017
Cheque
2.000,00D
-14.000,00
18/01/2017
Depósito
6.000,00C
-8.000,00
23/01/2017
Depósito
8.500,00C
500,00
27/01/2017
Cheque
1.500,00D
-1.000,00
1˚passo - cálculo da taxa diária: 9% a.m = 0,003 a.d.
2˚ passo – cálculo dos juros por períodos de saldo devedor: J1 = 2000*0,003*7 = R$42,00
J2 =12,000*0,003*5 = R$180,00
J3 =14.000*0,003*2 = R$84,00
J4 = 8.000*0,003*5 = R$120,00
J5 =1.000*00,003*4 = R$ 12,00
Total de Juros = R$ 438,00
Cálculo do saldo negativo
J1 = 2.000,00 * 0,003 * 7 = 42,00
J2 = 12.000,00 * 0,003 * 5 = 180,00
J3 = 14.000,00 * 0,003 * 2 = 84,00
J4 = 8.000,00 * 0,003 * 5 = 120,00
J5 = 1.000,00 * 0,003 * 4 = 12,00
Total de juros cobrados: $438,00
Textos base
PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro:
SESES, 2014.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 9ª. Edição. São Paulo, Editora Elsevier, 2011.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos. 5ª Edição, São Paulo, Pearson Education, 2010.