Exercício Física - Oscilador Harmonico

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I. PROF. JOB FURTADO
A. Oscilador Harmoˆnico
O oscilado harmoˆnico esta´, por assim dizer, em praticamente todas as a´reas da f´ısica, emergindo
desde o simples movimento de uma mola ate´ na dinaˆmica na˜o trivial de uma rede cristalina, fazendo-
se ainda presente no que ha´ de mais fundamental em f´ısica de altas energias. Portanto, o estudo
do oscilado harmoˆnico, mesmo em n´ıvel cla´ssico, e´ de suma importaˆncia.
Antes de extrair as equac¸o˜es de movimento propriamente ditas, faremos uma breve considerac¸a˜o
acerca do movimento oscilato´rio. Portanto, considere inicialmente uma part´ıcula restrita a um
movimento oscilato´rio unidimensional. Supondo a existeˆncia de uma posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´vel,
designada por origem, se a part´ıcula e´ deslocada da origem, esta e´ forc¸ada a voltar para a sua
posic¸a˜o inicial, mediante a ac¸a˜o de uma forc¸a restauradora F . Nos casos mais simples, F e´ uma
func¸a˜o somente do deslocamento, isto e´, F = F (x). Supondo que F = F (x) e´ de classe C∞,
podemos tomar a seguinte expansa˜o:
F (x) =
∞∑
n=0
F (n)(x)
n!
|x=x0(x)n
= F (x0) + x
(
dF (x)
dx
)
x=0
+
1
2!
x2
(
d2F (x)
dx2
)
x=0
+ · · · . (1)
Obviamente F (x0) = F0 = F (0) e´ nulo, pois se F0 6= 0 a part´ıcula na˜o estaria em equil´ıbrio esta´vel
na origem. Logo, em primeira aproximac¸a˜o,
F (x) = x
(
dF (x)
dx
)
x=0
. (2)
Como a forc¸a F e´ restauradora, (
dF (x)
dx
)
x=0
< 0, (3)
e ∃ k > 0 constante tal que (
dF (x)
dx
)
x=0
= −k, (4)
logo, F (x) = −kx. Tal expressa˜o foi obtida empiricamente pelo f´ısico Robert Hooke, ficando
conhecida como Lei de Hooke.
Supondo que uma part´ıcula esteja submetida unicamente a ac¸a˜o da lei de Hooke, isto e´, sem
nenhuma forc¸c¸a˜o ou resisteˆncia, temos, pela segunda lei de Newton que
m
d2x(t)
dt2
= −kx ⇒ md
2x(t)
dt2
+ kx = 0. (5)
1
No entanto, tal abordagem e´ um tanto restritiva, em virtude disso consideraremos a priori um fator
de resisteˆncia, um amortecimento, do tipo FA(x˙) = −bx˙, com b > 0 arbitra´rio, logo, pela segunda
lei de Newton
m
d2x(t)
dt2
= −kx− bdx(t)
dt
⇒ d
2x(t)
dt2
+
b
m
dx(t)
dt
+
k
m
x = 0. (6)
A equac¸a˜o anterior e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) de segunda ordem, linear e ho-
mogeˆnea, que pode ser solucionada fazendo-se uso da equac¸a˜o caracter´ıstica, supondo que x(t) = ept
e´ uma soluc¸a˜o, de modo que, substituindo esta soluc¸a˜o na equac¸a˜o (6), obtemos:(
p2 +
b
m
p+
k
m
)
ept = 0. (7)
Como ept 6= 0 ∀ p, t ∈ R, temos que
p2 +
b
m
p+
k
m
= 0. (8)
Devemos encontrar as soluc¸o˜es para p da equac¸a˜o caracter´ıstica acima. O delta de Bha´skara e´
enta˜o,
∆ =
(
b
m
)2
− 4k
m
, ou ∆ =
1
m2
(
b2 − 4km) , (9)
e portanto as soluc¸o˜es para p sa˜o:
p1 =
−b+√b2 − 4km
2m
(10)
p2 =
−b−√b2 − 4km
2m
. (11)
Foi assumido anteriormente que x(t) = ept era soluc¸a˜o da EDO, na˜o obstante, pelo teorema
da existeˆncia e unicidade, sabe-se que existe uma soluc¸a˜o geral x(t) u´nica, dada pela combinac¸a˜o
linear de todas as soluc¸o˜es particulares, isto e´,
x(t) = A1e
p1t +A2e
p2t (12)
= A1 exp
[(
− b
2m
+
1
2m
√
b2 − 4km
)
t
]
+A2 exp
[(
− b
2m
− 1
2m
√
b2 − 4km
)
t
]
. (13)
Com esta soluc¸a˜o avaliaremos alguns casos importantes.
Caso b = 0 (sem amortecimento)
Neste caso, temos que a soluc¸a˜o geral passa a ser escrita como
x(t) = A1 exp
[
1
2m
√−4kmt
]
+A2 exp
[
− 1
2m
√−4kmt
]
. (14)
2
Sendo k ,m > 0 e
√−4km = i√4km, obtemos
x(t) = A1 exp
[
i
√
k
m
t
]
+A2 exp
[
i
√
k
m
t
]
. (15)
Aqui faremos a substituic¸a˜o ω0 =
√
k/m, assim,
x(t) = A1 exp(iω0t) +A2 exp(−iω0t), (16)
sendo ω0 a frequeˆncia angular caracter´ıstica na auseˆncia de amortecimento. Faremos agora as
seguintes considerac¸o˜es
A1 =
A
2
expiφ (17)
A2 =
A
2
exp−iφ (18)
com A ∈ R e φ ∈ [0, 2pi]. Portanto, apo´s feitas as substituic¸o˜es, obtemos que
x(t) = A cos(ω0t+ φ). (19)
Percebe-se aqui eu a part´ıcula realiza, de fato, um movimento oscilato´rio, sendo regido por uma
func¸a˜o T-perio´dica. Munidos da expressa˜o (19), pode-se calcular facilmente as energias cine´tica e
potencial do sistema.
T =
1
2
m(x˙)2
=
1
2
kA2 sin2(ω0t+ φ) (20)
e
V =
1
2
kx2
=
1
2
kA2 cos2(ω0t+ φ). (21)
Nota-se claramente que a energia total do sistema e´ conservada, visto que,
E = T + V =
1
2
kA2 (22)
e´ independente do tempo, mantendo-se constante durante toda a trajeto´ria da part´ıcula.
Caso b 6= 0 e b2 − 4km > 0 (sobreamortecido)
Neste caso, a equac¸a˜o (13) passa a ser escrita como
x(t) = A1e
− b
2m
t exp
(
1
2m
√
b2 − 4kmt
)
+A2e
− b
2m
t exp
(
− 1
2m
√
b2 − 4kmt
)
, (23)
3
ou ainda como
x(t) = e−
b
2m
t
A1 exp
√( b
2m
)2
− k
m
t
+A1 exp
−
√(
b
2m
)2
− k
m
t
 . (24)
Neste ponto faremos as seguintes substituic¸o˜es
β =
b
2m
(25a)
ω20 =
k
m
. (25b)
Ficamos assim com:
x(t) = e−βt
(
A1e
ω2t +A2e
−ω2t) , (26)
com ω2 =
√
β2 − ω20. Observe que ω2 na˜o representa uma frequeˆncia angular, uma vez que o
movimento na˜o e´ perio´dico. Como β2 − ω20 > 0, enta˜o β2 > ω20. Temos ainda que β =
√
β2 >√
β2 − ω20.
Caso b 6= 0 e b2 − 4km = 0(criticamente amortecido)
Neste caso, no´s temos apenas uma soluc¸a˜o caracter´ıstica do sistema, que e´, p = −β. Sendo,
portanto, x(t) = e−βt a soluc¸a˜o correspondente para x(t). Mostraremos agora que a outra soluc¸a˜o
para a EDO e´, neste caso, dada por x(t) = te−βt. Para provar isto, basta computar as seguintes
quantidades:
x˙ = e−βt − βte−βt (27)
x¨ = −2βe−βt + β2te−βt. (28)
Substituindo estes resultados na equac¸a˜o (6), obtemos
x¨+ 2βx˙+ ω20x = (ω
2
0 − β2)te−βt. (29)
O lado esquerdo da equac¸a˜o anterior resultara´ em zero quando ω20 = β
2 que implica que b2 = 4km.
Portanto, a soluc¸a˜o geral no caso em que b2 = 4km e´ do tipo:
x(t) = (C1 + C2t)e
−βt. (30)
Caso b 6= 0 e b2 − 4km < 0(subamortecido)
Para este caso, a equac¸a˜o (13) fica escrita como
x(t) = e−βt
[
A1 exp
(√
β2 − ω20t
)
+A2 exp
(
−
√
β2 − ω20t
)]
, (31)
4
mas como b2 − 4km < 0 ⇒ β2 − ω20 < 0, logo,
x(t) = e−βt
[
A1 exp
(
i
√
ω20 − β2t
)
+A2 exp
(
−i
√
ω20 − β2t
)]
(32)
= e−βt
[
A1e
iω1t +A2e
−iω1t] , (33)
sendo ω1 = ω
2
0 − β2 > 0. Note que o termo entre colchetes e´ semelhante ao caso solucionado para
b = 0. Portanto podemos escrever x(t) como:
x(t) = Ae−βt cos(ω1t+ φ). (34)
Aqui nota-se que a amplitude ma´xima do oscilador amortecido diminui com o tempo por causa do
fator e−βt, e o envolto´rio da curva versus tempo e´ fornecido por
xen(t) = ±Ae−βt. (35)
Note que os casos apresentados anteriormente sa˜o apenas os casos mais usuais no contexto
cla´saco do oscilado harmoˆnico. Pode-se ainda estudar um oscilador harmoˆnico com um termo de
forc¸ac¸a˜o. Neste caso, tem-se que combinar a soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea associada e a soluc¸a˜o
particular da equac¸a˜o, e assim, torna-se poss´ıvel ver que existe uma frequeˆncia de ressonaˆncia caso
a forc¸ac¸a˜o externa seja determinada por uma func¸a˜o perio´dica. O mesmo ocorre para o caso de
oscilados acoplados, ou seja, ha´ uma frequeˆncia de ressonaˆncia associada ao sistema. Sa˜o conhecidas
tambe´m as curvas de Lissajous, que aparecem no estudo de uma part´ıcula sujeita a um movimento
oscilato´rio num plano bidimensional.
5