Calculo 3 P1 16.1

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MAT1163-G1.2016.1
(1) (a) Considere a func¸a˜o vetorial
f : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (exy, x + cos(x2)y)
(i) Calcule a matriz Jacobiana de f para todo (x, y) ∈ R2.
(ii) Calcule a aproximac¸a˜o afim de f no ponto (1, 0)
(b) Se f(t), t ∈ R, e´ uma func¸a˜o de classe C1 e definimos a func¸a˜o
h : R2 −→ R
(x, y) 7−→ xyf(xy)
Determine se e´ verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto
(x, y) com xy 6= 0 vale a seguinte relac¸a˜o entre as derivadas parciais
de h:
1
y
· ∂h
∂x
(x, y)− 1
x
· ∂h
∂y
(x, y) = 0
(2) Seja E a regia˜o do espac¸o descrita pelas desigualdades:
x2 + y2 ≤ 1
z ≥ −1 +
√
x2 + y2
z ≤ (x− 1)2 + y2
(a) Fac¸a um esboc¸o de E.
(b) Calcule o volume de E.
(3) Seja D a regia˜o do primeiro quadrante do plano xy limitada pelas curvas:
y = 1− x2
y = 1− 2x2
(a) Considere a mudanc¸a de varia´veis T (u, v) = (
√
1− v, u), e esboce a
regia˜o B do plano uv tal que T (B) = D.
(b) Calcule o Jacobiano da mudanc¸a de varia´veis.
(c) Calcule a integral dupla∫∫
D
xex
2
dxdy
1