4.2_INFERÊNCIA_ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS_2013_1

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Luana de Melo Pereira 
Disciplina: Estatística Básica 
Universidade Federal de Pelotas 
Centro das Engenharias - Ceng 
4.2. ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROS 
2 
Estimação de parâmetros 
Conceitos iniciais 
Estimação por ponto e por intervalo 
 
 Intervalos de confiança 
para a média de uma população (Estatística Z e T) 
Para a diferença entre duas médias (Estatística T) 
3 
 2 
 X
2S
P 
Estimadores 
Variável aleatória 
Parâmetros 
Variáveis 
aleatórias 
Constantes 
População 
Amostra 
θ
 
θˆ
 
 O estimador é uma variável aleatória; portanto, pode assumir 
diferentes valores 
 Estimativa é um valor particular que o estimador assume 
4 
 Parâmetros 
 Constantes que caracterizam uma população; 
 Geralmente são valores desconhecidos; 
 São representados pela letra grega theta (θ). 
 Estimadores 
 Valores calculados na amostra com o objetivo de fornecer 
informações sobre os parâmetros; 
 São representados pela letra grega theta com um acento 
circunflexo . 
Exemplos: média da população () 
 variância da população (2) 
Exemplos: média da amostra ( ) 
 variância da amostra ( ) 
θˆ
X
2S
5 
Podem existir vários estimadores para um mesmo parâmetro. 
n
X
X
i




i
ii
p
p
pX
X
Exemplos: 
estimadores de  
1n
)X(X
S
2
i2




n
)X(X
S
2
i2
n
 

estimadores de 2 
Melhor estimador 
Melhor estimador 
imparcial e 
mais eficiente 
imparcial 
6 
 Processo de estimação 
 Estimação por ponto 
É o processo através do qual obtemos um único ponto, ou 
seja, um único valor para estimar o parâmetro. 
2
3
231
n
x
x
i




1
13
2)(22)(32)(1
1n
)x(x
s
2222
i2 







estimativa por ponto de  
estimativa por ponto de 2 
Exemplo: Amostra (1, 3, 2) 
7 
 Processo de estimação 
 Estimação por intervalo 
É um processo que permite obter os limites de um intervalo onde, 
com uma determinada probabilidade (nível de confiança), 
podemos esperar encontrar o verdadeiro valor do parâmetro. 
Li <  < Ls Limite inferior Limite superior 
dois valores 
Intervalo de confiança 
As estimativas por intervalo são preferíveis àquelas por ponto porque 
indicam a precisão, estabelecendo limites entre os quais, com uma 
determinada probabilidade, o parâmetro deverá estar. 
8 
INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIA -  
9 
1. Intervalo de confiança para a média de uma população () 
Duas situações 
Não conhecemos o valor de σ2 ou  (e n ≤ 30) 
2. Intervalo de confiança para a diferença entre médias de 
 duas populações (1-2 ) 
Como construir intervalos de confiança para ? 
 Distribuição Normal Padrão (variável Z) 
 Distribuição t de Student 
 Distribuição t de Student 
10 
=0 -z/2 z/2 
/2 /2 
1- 
Nível de 
confiança 
IC (; 1): 
: é o estimador de  
 n : é o tamanho da amostra; 
  : é desvio padrão da população (parâmetro) 
 z/2 : é o valor de Z que delimita a área /2 
 
onde: 
  1)
n
σ
zXμ
n
σ
zXP( /2/2
n
σ
zX /2
X
1- é a probabilidade de 
que os limites 
contenham (ou cubram) 
o verdadeiro valor de . 
Nível de confiança 
Limite superior Limite inferior 
1. Intervalo de confiança para a média de uma população () 
 
11 
 Em geral, não conhecemos o parâmetro . 
 
 Por isso usamos uma estimativa desse parâmetro que é 
 o s (desvio padrão obtido de uma amostra). 
12 
Os teores (%) de matéria orgânica medidos em 100 amostras 
de sedimentos retirados do canal São Gonçalo nos meses de 
janeiro e fevereiro de 2010 apresentaram média de 65,5% e 
desvio padrão de 4,8 %. Obtenha o intervalo de confiança ao 
nível de 95%, para o verdadeiro teor médio de matéria 
orgânica e redija a conclusão. 
 
Exemplo 1 
Resolução: 
13 
Estimativas: 
Conclusão: concluímos que o intervalo de confiança, ao nível de 95%, 
para o verdadeiro teor médio de matéria orgânica presente nos 
sedimentos do canal São Gonçalo nos meses de janeiro e fevereiro de 
2010 é de 64,56 a 66,44 %. 
Construção do intervalo: 
x = 65,5% 
s = 4,8% 
n = 100 amostras 
0,025 
0 
0,025 
0,95 
-1,96 +1,96 
IC (; 0,95): 65,5  0,941 
Limite inferior = 65,5 – 0,941 = 64,56 
Limite superior = 65,5 + 0,941 = 66,44 
P(64,56 <  < 66,44) = 0,95 
IC (; 0,95): 65,5  1,96  
100
4,8
IC (; 1):  z/2 
n
σX
14 
1. Intervalo de confiança para a média de uma população () 
 
Situação 2: Quando não conhecemos o valor de  e n< 30 
 Quando não conhecemos o desvio padrão populacional () e a 
amostra é pequena, não podemos supor que o desvio padrão da 
amostra (s) seja uma estimativa suficientemente aproximada do 
parâmetro . 
Portanto, não podemos utilizar a estatística Z, para construir o 
intervalo de confiança para : 
Nesse caso, em vez de Z, utilizamos a distribuição t de Student, com 
parâmetro . 
desconhecido IC (; 1): 
n
σ
zX /2
15 
A distribuição t de Student 
- + 
A distribuição t tem formato de sino, é simétrica em torno da média ( = 0), 
localizada no centro da distribuição, e varia de - a +. 
 Se assemelha à curva normal 
padrão, sendo um pouco mais 
achatada no centro. O parâmetro é o 
número de graus de liberdade () 
associado à variância. 
 n    
 30 graus de liberdade – t e z 
são aproximadamente iguais 
 120 graus de liberdade - t e z 
são exatamente iguais 
=0 -t/2 t/2 
1- 
Nível de 
confiança 
É o valor da estatística T que delimita a área 
/2. É obtido da tabela de limites da 
distribuição t de Student sabendo-se o valor de 
 (ní) e o valor de α (nível de significância). 
16 
17 
18 
1. Intervalo de confiança para a média de uma população () 
 
IC (; 1):  t/2 
n
SX
A variável em estudo tem distribuição normal  X ~ N (,2) 
 Pressuposição 
   1)
n
S
tX
n
S
tXP( /2/2
Situação 2: Quando não conhecemos o valor de  e n< 30 
: é o estimador de  
 n : é o tamanho da amostra; 
 S : é desvio padrão da amostra 
 t/2 : é o valor da estatística T que 
 delimita a área /2 
 
onde: 
X
19 
Através da amostra de tamanho 15 que segue, procura-se estimar a 
verdadeira potência média de aparelhos eletrônicos de alta 
sensibilidade medida em microwatts, através de um intervalo de 
confiança de 95%: 
 
26,7; 25,8; 24,0; 24,9; 26,4; 25,9; 24,4; 21,7; 24,1; 25,9; 27,3; 26,9; 
27,3; 24,8; 23,6 
Variável em estudo: X = potência de aparelhos eletrônicos (microwatts) 
Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal. 
IC (; 1):  t/2 
n
SX
Exemplo 2 
Resolução: 
20 
0,025 
0 
0,025 
0,95 
=25,31 
s=1,579 
n=15 
=0,01 x
=15 – 1=14 
IC (; 0,99): 25,31  0,874 
Limite inferior: 25,31 – 0,874 = 24,44 
Limite superior: 25,31 + 0,874 = 26,18 
P(24,44 <  < 26,18) = 0,95 
IC (; 0,99): 25,31  2,145  
Estimativas: 
t0,025;14 = 2,145 15
1,58
Conclusão: A probabilidade de que o intervalo de 24,44 a 26,18 
microwatts contenha a verdadeira potência média dos aparelhos 
eletrônicos é de 0,95. 
n
S
tX:);1(IC /2
Construção do intervalo: 
-2,145 +2,145 
21 
Um engenheiro de desenvolvimento de um fabricante de pneus está 
investigando a vida do pneu em relação a umnovo componente de 
borracha. Ele fabricou 25 pneus e testou-os até o fim da vida em um 
teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra são 61.492 e 
6.085 km, respectivamente. O engenheiro acredita que a vida média 
desse novo pneu é maior em relação a 60.000 km, que é a vida média do 
pneu antigo. Obtenha o intervalo de confiança, ao nível de 99%, para a 
vida média do pneu e conclua a respeito da suposição do engenheiro. 
Variável em estudo: X = vida do pneu (km) 
Pressuposições: 
 A variável em estudo tem distribuição normal. 
Exercício proposto: 
Resolução: 
22 
0,005 
0 
0,005 
0,99 
Estimativas: 
x = 61.492 km 
s = 6.085 km 
n = 25 pneus 
IC (; 0,99): 61.492 3404 
Limite inferior: 61.492 – 3404 = 58.088 
Limite superior: 61.492 + 3404 = 64.896 
P(58.088 <  < 64.896) = 0,99 
IC (; 0,99): 61.492  2,797  
25
6.085
Construção do intervalo: 
n
tX:)1 ;(IC α/2
 
Conclusão: O intervalo de confiança, ao nível de 99%, para a verdadeira 
vida média do novo pneu é de 58.088 a 64.896 km. Como o valor 60.000 
km está coberto pelo intervalo, a vida média do novo pneu não diferiu 
significativamente em relação a do pneu antigo, contrariando a suposição 
do engenheiro. 
-2,797 +2,797 
23 
Há três pressuposições que devem ser atendidas para o 
uso desse procedimento: 
1. A variável em estudo tem distribuição normal: X ~ N (,2) 
3. As amostras retiradas das populações são independentes 
2. As variâncias das populações são iguais 
σ)σ(σ 22
2
1 
2. Intervalo de confiança para a diferença entre 
médias de duas populações (1-2 ) 
1 2 
[X11, X12, ..., X1n1 ] [X21, X22, ..., X2n2 ] 
Amostra 1 Amostra 2 
População 1 População 2 
2 
24 
Atendidas as pressuposições, desejamos comparar as médias 
das populações, estimando por intervalo, a diferença 1 - 2. 
Utilizamos, a seguinte expressão 
   1n1n 21 
Grau de liberdade combinado 
IC ( ; 1):  t/2 
2
21
S
n
1
n
1






21
XX 21 μμ 
   
   1n1n
1nS1nS
S
21
2
2
21
2
12



Variância combinada 
25 
Cinco cobaias adultas criadas em laboratório, foram separadas, 
aleatoriamente, em dois grupos: um foi tratado com ração 
normalmente usada no laboratório (padrão) e o outro grupo foi 
submetido a uma nova ração (experimental). As cobaias foram 
pesadas no início e no final do período de duração do experimento. 
Os ganhos de peso (em gramas) observados foram os seguintes: 
Construa o intervalo de confiança, ao nível de 99%, para a 
diferença entre as médias das duas populações. 
Ração experimental 220 200 210 220 210 
Ração padrão 200 180 190 190 180 
Exemplo 3 
26 
0,005 
0 
0,005 
0,99 
Variável em estudo: X = ganho de peso (g) 
Pressuposições: 
1. A variável em estudo tem distribuição normal. 
2. As variâncias das populações são iguais ( ). 
3. As amostras retiradas das populações são independentes. 
22
2
2
1 σσσ 
2x
= 188 
= 70 
Experimental 
2
1s
n1 = 5 
Estimativas: 
= 212 
= 70 
Padrão 
n2 = 5 
1x
2
2s
=0,01 
=(5 – 1) + (5 – 1) = 8 
t0,005;8 = 3,355 
   
   
70
1515
157015702s 



2
21
2121 S
n
1
n
1
tXX:);1μ(μIC 





 /2
-3,355 +3,355 
Resolução: 
27 
IC (; 0,99): 24  17,75 
Limite inferior: 24 – 17,75 = 6,25g 
Limite superior: 24 + 17,75 = 41,75g 
P(6,25 < < 41,75) = 0,99 
IC (; 0,99): 212-188  3,355  
Construção 
do intervalo: 
Conclusão: O intervalo de confiança, ao nível de 99%, para a verdadeira 
diferença média de ganho de peso entre a ração experimental e a padrão é 
de 6,25 a 41,75 gramas. 
Como o valor zero não está coberto pelo intervalo, significa que o ganho 
médio de peso entre as duas rações diferiu significativamente. A ração 
experimental confere um ganho de peso maior que a ração padrão. 
IC ( ; 1):  t/2 
2
21
S
n
1
n
1






21
XX 21 μμ 
07
5
1
5
1







21 μμ 
28 
Próxima aula 
 - 4.3. Testes de Hipóteses 
Para média 
Para variância