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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT MAT A01 - Geometria Anal´ıtica - Turma 10 - 2016/2 Classificac¸a˜o de Coˆnicas - Professora Simone Moraes Uma secc¸a˜o coˆnica e´ o lugar geome´trico de uma equac¸a˜o geral do segundo grau, nas duas varia´veis x e y, do tipo: Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (∗) com A 6= 0 ou B 6= 0 ou C 6= 0. 1o Caso: B = 0 Neste caso a equac¸a˜o (∗) se reduz a` equac¸a˜o: Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (∗∗) com A 6= 0 ou C 6= 0. Agora vamos analisar os subcasos: A 6= 0 e C 6= 0: Podemos reescrever a equac¸a˜o Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+ F = 0 da seguinte maneira: A ( x+ D 2A )2 + C ( y + E 2C )2 = D2 4A + E2 4C − F = AE 2 + CD2 − 4ACF 4AC . Fazendo: x0 = − D 2A , y0 = − E 2C e R = AE2 + CD2 − 4ACF 4AC podemos ainda reescreve-la como: A(x− xo)2 + C(y − y0)2 = R. E temos as seguintes situac¸o˜es: A C R Coˆnica C > 0 > 0 > 0 Elipse: (x− x0)2 a2 + (y − y0)2 b2 = 1, com a = √ R A e b = √ R C < 0 < 0 < 0 > 0 > 0 = 0 Ponto: P = (x0, y0) < 0 < 0 = 0 > 0 > 0 < 0 Vazio < 0 < 0 > 0 > 0 < 0 6= 0 Hipe´rbole: ±(x− x0) 2 a2 ∓ (y − y0) 2 b2 = 1, com a = √ |R| |A| e b = √ |R| |C| < 0 > 0 6= 0 > 0 < 0 = 0 Par de retas concorrentes: √|A|(x− x0) =√|C|(y − y0) < 0 > 0 = 0 ou √|A|(x− x0) = −√|C|(y − y0) 1 A 6= 0 e C = 0: A equac¸a˜o (∗∗) fica na forma Ax2+Dx+Ey+F = 0 que pode ser reescrita como: A ( x+ D 2A )2 + Ey = D2 4A − F = D 2 − 4AF 4A . Fazendo: x0 = − D 2A e R = D2 − 4AF 4A podemos ainda reescreve-la como: A(x− xo)2 = −Ey +R. Assim temos as seguintes possibilidades: A E R Coˆnica C 6= 0 6= 0 qualquer Para´bola: (x− x0)2 = −4 p(y − y0), com p = E A , se A e E teˆm mesmo sinal e y0 = R E ou (x− x0)2 = 4 p(y − y0), com p = −E A , se A e E teˆm sinais opostos e y0 = R E 6= 0 = 0 = 0 Reta: x = x0 paralela ao eixo y 6= 0 = 0 6= 0 e mesmo Par de retas paralelas: x = x0 + √ R A sinal que A e x = x0 − √ R A paralelas ao eixo y 6= 0 = 0 6= 0 e sinal Vazio oposto ao de A A = 0 e C 6= 0: A equac¸a˜o (∗∗) agora fica na forma Cy2 +Dx+Ey + F = 0 que pode ser reescrita como: C ( y + E 2C )2 +Dx = E2 4C − F = E 2 − 4CF 4C . Fazendo: y0 = − E 2C e R = E2 − 4CF 4C podemos ainda reescreve-la como: C(y − y0)2 = −Dx+R. Assim temos as seguintes possibilidades: 2 C D R Coˆnica C 6= 0 6= 0 qualquer Para´bola: (y − y0)2 = −4 p(x− x0), com p = D C , se C e D teˆm mesmo sinal e y0 = R D ou (y − y0)2 = 4 p(x− x0), com p = −D C , se C e D teˆm sinais opostos e y0 = R D 6= 0 = 0 = 0 Reta: y = y0 paralela ao eixo x 6= 0 = 0 6= 0 e mesmo Par de retas paralelas: y = y0 + √ R C sinal que C e y = y0 − √ R C paralelas ao eixo x 6= 0 = 0 6= 0 e sinal Vazio oposto ao de C Observac¸a˜o: O nu´mero ∆ = 4AC −B2 e´ chamado indicador da coˆnica, nos casos acima temos: • ∆ > 0, enta˜o a coˆnica C e´ uma elipse, ou uma reta ou o vazio. • ∆ < 0, enta˜o a coˆnica C e´ uma hipe´rbole, ou um par de retas concorrentes. • ∆ = 0, enta˜o a coˆnica C e´ uma para´bola, ou uma reta, ou um par de retas paralelas ou o vazio. 2o Caso: B 6= 0 Neste caso vamos utilizar uma rotac¸a˜o Rθ para transformar o sistema de coordenadas (x, y) em um sistema de coordenadas (x¯, y¯) de maneira que a equac¸a˜o Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (∗) neste novo sistema de coordenadas se escreva da seguinte maneira: Ax¯2 + Cy¯2 +Dx¯+ Ey¯ + F = 0, ou seja, com B = 0. Seja Rθ a tal rotac¸a˜o, enta˜o: x = x¯ cos θ − y¯ sen θ y = x¯ sen θ + y¯ cos θ substituindo em (∗) obtemos: A(x¯ cos θ − y¯ sen θ)2 +B(x¯ cos θ − y¯ sen θ)(x¯ sen θ + y¯ cos θ)+ C(x¯ sen θ + y¯ cos θ)2 +D(x¯ cos θ − y¯ sen θ) + E(x¯ sen θ + y¯ cos θ) + F = 0⇐⇒ A(x¯2 cos2 θ + y¯2 sen2θ − 2x¯y¯ cos θ sen θ) +B((x¯2 − y¯2)cos θ sen θ + x¯y¯(cos2 θ − sen2θ)) 3 +C(x¯2 sen2θ + y¯2 cos2 θ + 2x¯y¯ cos θ sen θ) +D(x¯ cos θ − y¯ sen θ) + E(x¯ sen θ + y¯ cos θ) + F = 0 ⇐⇒ (A cos2 θ +B cos θ sen θ + C sen2︸ ︷︷ ︸ A )x¯2 + ( 2(C − A) cos θ sen θ +B(cos2 θ − sen2θ)︸ ︷︷ ︸ B ) x¯y¯ +(A sen2 −B cos θ sen θ + C cos2 θ︸ ︷︷ ︸ C )y¯2 + (D cos θ + E sen θ︸ ︷︷ ︸ D )x¯+ (E cos θ −D sen θ︸ ︷︷ ︸ E )y¯ + F︸︷︷︸ F = 0. Assim, B = 0 ⇐⇒ 2(C − A) cos θ sen θ +B(cos2 θ − sen2θ) = 0 ⇐⇒ (C − A) sen (2θ) +B cos(2θ) = 0. Se A = C, enta˜o B = 0⇐⇒ B cos(2θ) = 0 B 6=0, 0<θ<pi/2⇐⇒ 2θ = pi 2 ⇐⇒ θ = pi 4 . Se A 6= C, enta˜o B A− C = sen (2θ) cos(2θ) = tan(2θ). Observemos que 1 + tan2(2θ) = sec2(2θ). Logo, temos: sec(2θ) = √ 1 + tan2(2θ) se B A− C > 0 sec(2θ) = − √ 1 + tan2(2θ) se B A− C < 0 Consequentemente, cos(2θ) = 1√ 1 + tan2(2θ) se B A− C > 0 cos(2θ) = − 1√ 1 + tan2(2θ) se B A− C < 0 Das relac¸o˜es cos θ = √ 1 + cos(2θ) 2 e sen θ = √ 1− cos(2θ) 2 , pois 0 < θ < pi 2 , obtemos cos θ e sen θ e portanto A, C, D e E. No entanto podemos utilizar a forma matricial, pois: A B 2 B 2 C = [ cos θ sen θ − sen θ cos θ ] A B 2 B 2 C [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ] = [ cos θ sen θ − sen θ cos θ ] A cos θ + B 2 sen θ −A sen θ + B 2 cos θ B 2 cos θ + C sen θ −B 2 sen θ + C cos θ = A cos 2 θ +B cos θ sen θ + C sen2θ (C −A) cos θ sen θ + B 2 (cos2 θ − sen2θ) (C −A) cos θ sen θ + B 2 (cos2 θ − sen2θ) A sen2θ −B cos θ sen θ + C cos2 θ . E [ D E ] = [ cos θ sen θ − sen θ cos θ ] [ D E ] = [ D cos θ + E sen θ −D sen θ + cos θ ] . 4 Observemos tambe´m que: A = A ( 1 + cos(2θ) 2 ) +B sen (2θ) 2 + C ( 1− cos(2θ) 2 ) C = A ( 1− cos(2θ) 2 ) −B sen (2θ) 2 + C ( 1 + cos(2θ) 2 ) B = (C − A) sen (2θ) +B cos(2θ) . Logo, 4AC −B2 = 4 [ A2 ( 1− cos2(2θ) 4 ) − AB cos(2θ) sen (2θ) 2 + AC ( 1 + cos2(2θ) 2 ) −B2 sen 2θ 4 + BC cos(2θ) sen (2θ) 2 + C2 ( 1− cos2(2θ) 4 )] − (A2 − 2AC + C2)θ sen2(2θ) −B2 cos2(2θ)− 2(BC − AB) sen (2θ) cos(2θ) = (A2 + C2) ( 1− cos2(2θ)− sen2(2θ))+ (A− C)B(2cos(2θ) sen (2θ)− 2cos(2θ) sen (2θ)) +AC ( 2 + 2cos2(2θ) + 2 sen2(2θ) ) +B2 (− cos2(2θ)− sen2(2θ)) = 4AC −B2. A consequeˆncia da observac¸a˜o acima e´ que o indicador da coˆnica, ∆ = 4AC −B2, e´ invariante por rotac¸a˜o de sistemas de coordenadas, assim temos o seguinte teorema: Teorema (Teorema de Classificac¸a˜o das Coˆnicas) O lugar geome´trico dos pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o do segundo grau Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, com A 6= 0 ou B 6= 0 ou C 6= 0, e´: (i) Uma elipse, ou um ponto ou o vazio se ∆ = 4AC −B2 > 0. (ii) Uma hipe´rbole, ou um par de retas concorrentes se ∆ = 4AC −B2 < 0. (iii) Uma para´bola, ou uma reta, ou par de retas paralelas ou o vazio se ∆ = 4AC −B2 = 0. Finalizamos apresentando um resultado que classifica as coˆnicas degeneradas (um ponto, uma reta, par de retas paralelas, par de retas concorrentes e o vazio) e as coˆnicas na˜o-degeneradas (elipse, hipe´rbole e para´bola). Se na equac¸a˜o (∗) da coˆnica C tivermos A 6= 0 ou C 6= 0, enta˜o o nu´mero: δ = 4det A B 2 D 2 B 2 C E 2 D 2 E 2 F = 4ACF +BDE − AE2 −B2F − CD2 5 e´ chamado discriminante da coˆnica C. Teorema (Segundo Teorema de Classificac¸a˜o das Coˆnicas) Seja C a coˆnica, lugar geome´trico dos pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o do segundo grau Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, com A 6= 0 ou C 6= 0, enta˜o: (i) Se δ = 0 e ∆ > 0, enta˜o C e´ um ponto ou o vazio. (ii) δ 6= 0 e ∆ > 0 se, e somente se, C e´ uma elipse. (iii) δ = 0 e ∆< 0 se, e somente se, C e´ um par de retas concorrentes. (iv) δ 6= 0 e ∆ < 0 se, e somente se, C e´ ua hipe´rbole. (v) Se δ = 0 e ∆ = 0, enta˜o C e´ uma reta, ou par de retas paralelas ou o vazio. (vi) δ 6= 0 e ∆ = 0 se, e somente se, C e´ uma para´bola. Exerc´ıcios: Em cada um dos casos abaixo, encontre a forma reduzida da coˆnica C, determine os elementos da coˆnica (focos, ve´rtices, diretriz, ass´ıntotas) nas coordenadas (x, y) e fac¸a um esboc¸o da mesma: 1. C : 2x2 + y2 + 4x+ 3y + 4 = 0. 2. C : 3x2 + xy − 2y2 − 12x− 2y + 12 = 0. 3. C : 4x2 − 9y2 − 16x+ 18y − 11 = 0. 4. C : x2 + 2xy + y2 − 2x− 2y + 1 = 0. 5. C : 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x+ 6y + 29 = 0. 6. C : 2x2 + 2xy + y2 + 8x+ 6y + 10 = 0. 7. .C : 5x2 − 4xy + y2 − 16x+ 4y + 20 = 0 8. C : 25x2 − 30xy + 9y2 + 10x− 6y + 1 = 0. 9. C : y2 − 4y − 12x− 8 = 0. 10. C : 9x2 + 24xy + 16y2 − 74x− 68y + 41 = 0 11. C : 13x2 − 6√3xy + 7y2 − 4x− 4√3y − 12 = 0 12. C : x2 + 2xy + y2 + x− y + 1 = 0. 13. C : 2x2 + 4xy + 5y2 + 20x+ 20y + 44 = 0. 14. C : x2 + 2xy + y2 − 8x+ 8y + 16 = 0. 15. C : 24xy − 7y2 + 36 = 0. 16. C : 3x2 − 10xy + 3y2 + 12√2x− 4√2y + 8 = 0. 17. C : 8x2 + 4xy + 5y2 − 20x− 14y − 19 = 0. 18. C : 16x2 − 24xy + 9y2 + 110x− 20y − 50 = 0. 19. C : x2 + 10√3xy + 11y2 − (2 + 10√3)x− (22 + 10√3)y − (4− 10√3) = 0. 6
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