Lista 6 Estatística Variáveis Aleatórias Discretas Modelos Binomial e Poisson

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Lista de Exercícios 6 (V - 2017-1) 
Disciplina: Estatística 1 
Professor: Luciano Barboza da Silva 
Variáveis Aleatórias Discretas – Modelos Binomial e Poisson 
 
1. Quando o Departamento de Saúde testou poços artesianos privados em um 
determinado país para duas impurezas, achou 20% dos poços sem nenhuma 
impureza, 40% com impureza do tipo A e 50% com impureza B (evidentemente 
alguns têm ambas as impurezas). Se um poço é escolhido aleatoriamente no 
país, ache a função probabilidade para Y, o número de impurezas achadas nos 
poços. 
 
2. Você e seu amigo jogam um jogo onde cada um joga uma moeda balanceada. Se 
as faces voltadas para cima são ambas coroas, você ganha $1,00, caso sejam 
ambas cara, você ganha $2,00. Caso as faces voltadas para cima não coincidam 
você perde $1,00 (ganha -$1,00). Ache a distribuição de probabilidades dos seus 
ganhos, Y, em uma única rodada do jogo. 
 
3. Sabe-se que em um grupo de quatro componentes há dois defeituosos. Um 
inspetor testa os componentes um por vez até os dois defeituosos serem 
localizados. Assim que acha os dois defeituosos ele para o teste. Em qualquer 
caso o segundo defeituoso é testado para garantir a precisão do teste. Seja Y o 
número de testes até que se encontre o segundo componente defeituoso. Ache a 
distribuição de probabilidade de Y. 
 
4. Considere um sistema de fluxo de fluxo de água passando por três válvulas 
(segundo diagrama abaixo). As válvulas 1,2 e 3 operam independentemente, e, 
com probabilidade 0,8, todas abrem corretamente em resposta a um dado sinal. 
Ache a distribuição de probabilidade de Y, o número de caminhos abertos entre 
A e B depois que o sinal é dado. (Note que Y pode assumir 0,1 ou 2) 
 
 
 
 
 
5. Um problema em um teste dado para criancinhas pede às mesmas para ligar as 
figuras de 3 animais a nomes identificadores desses animais. Supondo que as 
crianças associam aleatoriamente cada uma das três figuras, ache a distribuição 
de probabilidade de Y, número de associações corretas. 
 
6. Seja Y uma VA distribuída conforme distribuição abaixo. Calcule: E(Y), 
E(1/Y), E(Y2 – 1) e V(Y). 
 
y 1 2 3 4 
P(Y = y) 0,4 0,3 0,2 0,1 
 
7. O número N de prédios residenciais que um posto do corpo de bombeiros serve 
depende da distância r (de quarteirões) que um carro de bombeiros pode cobrir 
em um tempo pré-fixado. Assumindo que N é proporcional à área de um círculo, 
de raio R quarteirões a partir da central de atendimento, o número de edificações 
residenciais é dado por N = CπR2, onde C é uma constante, π = 3,1415... e R 
uma VA que representa o número de quarteirões que um carro de bombeiros 
pode cobrir em um dado intervalo de tempo. Para uma companhia em particular 
consideremos C = 8, a distribuição de probabilidades de R dada abaixo e p( r ) = 
0 para r ≤ 20 e r ≥ 27. 
 
r 21 22 23 24 25 26 
P(R = r) 0,05 0,20 0,30 0,25 0,15 0,05 
1 
2 3 
A B 
Ache o valor esperado de N, o número de residências servidas pelo corpo de 
bombeiros pode atender. 
 
8. Considere o seguinte jogo: o participante retira uma carta de um baralho 
tradicional de 52 cartas. Caso retire Valete (J) ou Dama (Q) recebe $15, caso 
retire um Rei (K) ou Ás (A) recebe $5. Caso retire qualquer outra carta para $4. 
Para este jogo qual o valor esperado do ganho para uma única jogada? 
 
 
9. Um vendedor pode contatar um ou dois consumidores por dia com 
probabilidades 1/3 e 2/3 respectivamente. Cada contato pode resultar em 
nenhuma venda ($0) ou em uma venda ($50.000), com probabilidades 0,9 ou 
0,1, respectivamente. Ache a distribuição de probabilidades para as vendas de 
um dia. Ache a média e o desvio padrão das vendas de um dia. 
 
10. Seja Y uma variável aleatória discreta, com média µ e variância σ2. Se a e b são 
constantes, use os resultados sobre valor esperado e a definição de variância para 
verificar: 
a.     bYaEbaYE  ; 
b.   22abaYV  . 
 
Distribuição Binomial 
 
11. Uma empresa produtora de bebidas de baixa caloria, deseja comprar uma 
fórmula nova (B) com a fórmula padrão atual (A). A cada um de 4 juízes são 
dados 3 copos em ordem aleatória, dois contendo a fórmula A e um contendo a 
B. A cada juiz é questionado qual dos copos mais o agradou. Suponha que as 
duas fórmulas são igualmente atrativas. Seja Y o número de juízes escolhendo a 
fórmula nova. 
a. Ache a distribuição de probabilidades de Y; 
b. Qual a probabilidade dos últimos 3, dos 4 juízes, preferirem a nova 
fórmula? 
c. Qual a probabilidade de 3 juízes escolherem a nova fórmula? 
d. Ache o valor esperado de Y; 
e. Ache a Variância de Y. 
 
12. Um sistema eletrônico complexo é construído com um certo número de 
componentes de backup nos seus subsistemas. Um subsistema tem 4 
componentes idênticos, cada qual com probabilidade 0,2 de falhar em menos de 
1000 horas. O subsistema funcionará se quaisquer dois de seus 4 subsistemas 
estiverem operacionais. Assuma que esses componentes atuam de modo 
independente. 
a. Ache a probabilidade de que exatamente 2 de 4 componentes demorem 
mais que 1000h para falhar; 
b. Ache a probabilidade de que o subsistema opere por mais de 1000h. 
 
13. A probabilidade de um paciente recuperar-se de uma doença estomacal é 0,8. 
Suponha que 20 pessoas tenham essa doença. 
a. Qual a probabilidade de que exatamente 14 pacientes sobrevivam? 
b. Qual a probabilidade de que pelo menos 10 sobrevivam? 
c. Qual a probabilidade que pelo menos 15, mas não mais que 18 
sobrevivam? 
d. Qual a probabilidade de que pelo menos 16 sobrevivam? 
 
14. Uma prova de múltipla escolha tem 15 questões, cada qual com 5 possíveis 
respostas, das quais somente uma é correta. Suponha que um estudante faça a 
prova escolhendo suas respostas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ele 
acerte pelo menos 10 questões? 
 
15. Um sistema de detecção de incêndios utiliza 3 células sensíveis agindo 
independentemente de qualquer outra, de modo que uma ou mais pode ativar o 
alarme. Cada célula tem uma probabilidade 0,8 de ativar o alarme, quando a 
temperatura alcança 100ºC ou mais. Seja Y igual ao número de células ativando 
o alarme quando a temperatura alcançar 100ºC. Ache a distribuição de 
probabilidade de Y. Ache, também, a probabilidade de que o alarme funcione 
quando a temperatura alcançar 100ºC. 
 
16. Uma empresa de cristais finos sabe, por experiência, que 10% de suas taças 
possuem defeitos cosméticos e devem ser classificadas como de “segunda 
linha”. 
 
a. Dentre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de 
exatamente uma ser de segunda linha? 
b. Dentre as taças selecionadas aleatoriamente qual a probabilidade de no 
mínimo duas serem de segunda linha? 
c. Se as taças forem examinadas uma a uma, qual será a probabilidade de 
no máximo cinco terem sido selecionadas para encontrar quatro que não 
sejam de segunda linha? 
 
17. Suponha que 90% de todas as pilhas, de um certo fabricante, tenha voltagem 
aceitável. Um determinado tipo de lanterna necessita de duas pilhas tipo “D”, e 
ela só funciona se as duas pilhas tiverem voltagens aceitáveis. Dentre 10 
lanternas selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos 
9 funcionem? Que hipóteses você fez no decorrer da resposta da questão? 
 
 
18. Um estudante, que está tentando escrever um trabalho para um curso, tem a 
escolha de dois tópicos: “A” e “B”. Se o aluno escolher o tópico “A” solicitará 
dois livros à Biblioteca e se escolher “B” 4 livros. O estudante acredita que para 
escrever um bom trabalho, precisa receber e usar ao menos metade dos livros 
selecionados para cada tópico escolhido.Se a probabilidade de um livro 
solicitado chegar a tempo for 0.9, e os livros chegam independentemente um do 
outro, que tópico o aluno deve escolher para maximizar a probabilidade de 
escrever um bom artigo? E se a probabilidade de um livro solicitado chegar a 
tempo for 0,5 em lugar de 0.9? O aluno ainda assim mantém a sua escolha ou 
muda? Justifique sua resposta. 
 
19. Os clientes de um posto de gasolina pagam com cartão de crédito “A”, de débito 
“B” ou dinheiro “C”. Assuma que clientes sucessivos façam escolhas 
independentes, com P(A) = 0,5, P(B) = 0,2 e P(C) = 0,3. 
a. Entre os próximos 100 clientes, qual será a média e a variância do 
número dos que pagam com cartão de débito. Explique seu raciocínio; 
b. Qual a média e a variância dos que não pagam em dinheiro? 
 
20. Uma limusine de aeroporto, pode acomodar até 4 passageiros em qualquer 
corrida. A empresa aceitará um máximo de 6 reserva, e todos os passageiros 
devem ter reservas. Pelos registros anteriores, 20% de todos os que fazem a 
reserva não aparecem para a corrida. Responda as seguintes perguntas, 
assumindo a independência quando apropriado. 
a. Se forem feitas 6 reservas, qual a probabilidade de ao menos um 
indivíduo com reserva não poder ser acomodado na corrida; 
b. Se forem feitas 6 reservas, qual a o número esperado de lugares 
disponíveis na limusine, quando a mesma parte; 
c. Suponha que a distribuição de probabilidades do número de reservas 
feitas seja dada na tabela a seguir: 
Nº de Reservas 3 4 5 6 
P 0,1 0,2 0,3 0,4 
 
Seja X o número de passageiros de uma corrida selecionada 
anteriormente. Calcule a função de probabilidade de X. 
Distribuição de Poisson 
 
21. Consumidores chegam a um checkout em uma loja de acordo com uma 
distribuição de Poisson a uma média de 7 por hora. Durante uma dada hora qual 
a probabilidade de que: 
a. Não cheguem mais que 3 consumidores? 
b. Cheguem pelo menos 2 consumidores? 
c. Cheguem exatamente 5 consumidores? 
 
22. Com referência ao exercício anterior, ache a probabilidade de que exatamente 
dois clientes cheguem em um período de 2h nos seguintes casos: 
a. Entre 14:00h e 16:00h (duas horas contínuas); 
b. Entre 13:00h e 14:00h ou entre 15:00h e 16:00h (duas horas 
separadamente por uma hora). 
 
23. O número de erros tipográficos cometidos por um tipógrafo particular, tem uma 
distribuição de Poisson com uma média de 4 erros por página. Se mais de quatro 
erros aparecem em uma dada página, o tipógrafo deve refazê-la. Qual a 
probabilidade de uma página qualquer não ter que ser refeita? 
 
24. Um estacionamento tem duas entradas. Os carros chegam pelo portão I de 
acordo com uma distribuição de Poisson, com média 3 por hora, e pelo portão II 
também seguindo uma distribuição de Poisson porém com média 4 por hora. 
Qual a probabilidade de que um total de 3 carros cheguem ao estacionamento 
em uma dada hora (assuma que o número de carros entrando pelos dois portões 
são independentes). 
 
25. O número médio de automóveis entrando em um túnel numa montanha é 1 num 
período de dois minutos. Um número excessivo de carros entrando no túnel num 
breve período de tempo provoca situações perigosas. Ache a probabilidade de o 
número de automóveis que entram no túnel em um intervalo de 2 minutos 
exceda 3. Pode o modelo de Poisson ser razoável para esse problema? Justifique. 
 
26. Um vendedor considera que a probabilidade de uma venda ocorrerem um 
contato é 0,03. Se o vendedor cantata 100 clientes, qual a probabilidade de fazer 
pelo menos uma venda? OBS: Resolva utilizando a distribuição binomial e de 
Poisson, lembrando que para este último caso, np . 
 
27. De acordo com uma pesquisa, 185 pessoas morreram em 12438 incêndios em 
hotéis em 1979, perfazendo uma média de 1,5 mortes por 100 incêndios. 
a. Se 200 incêndios de hotéis ocorrem em uma dada região, qual a 
probabilidade de o número de mortes exceder 8? 
b. Se 200 incentivos de hotéis ocorrem em uma dada região e o número de 
mortos excede 8 você poderia esperar que a média de mortes da região 
excedesse a média nacional? Justifique. 
 
28. Suponha que apenas 0,10% de todos os computadores de um certo tipo 
apresentam falhas de CPU durante o período de garantia. Considere que uma 
amostra de 10000 computadores: 
a. Qual o valor esperado e o desvio-padrão do número de computadores da 
amostra que apresentam defeitos? 
b. Qual é a probabilidade (aproximada) de mais de 10 computadores da 
amostra apresentarem defeitos? 
c. Qual a probabilidade (aproximada) de nenhum computador da amostra 
apresentar defeito? 
 
29. O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode 
ser modelado por um processo de Poisson com taxa de 5 por hora. 
a. Qual é a probabilidade de exatamente 4 pessoas chegarem a certa hora? 
b. Qual é a probabilidade de ao menos 4 pessoas chegarem em certa hora? 
c. Quantas pessoas você espera que cheguem em 45 minutos? 
 
 
30. O número de solicitação de assistência recebido por um serviço de guincho é um 
processo de Poisson com taxa 4 por hora. 
a. Calcule a probabilidade de exatamente 10 solicitações chegarem em um 
período de 2 horas? 
b. Se os operadores do serviço de guincho tirarem 30 minutos de almoço, 
qual a probabilidade de não perderem nenhum chamado de assistência? 
c. Quantas ligações você espera que ocorram durante o almoço?