6 Tensão1

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TENSÕES DAS TERRAS E TRANSMITIDAS 
1.0 – Introdução: 
 
 O problema da distribuição de tensões na massa de solo é fundamental para o Engenheiro de 
Fundações. A sua importância deriva do fato de que para o engenheiro de Fundações interessa 
sobre maneira, conhecer de como o solo reagirá sob a atuações das cargas à sua própria superfície 
ou a qualquer profundidade. 
 
 As pressões atuantes em um ponto no interior de uma massa de solo, podem ser de duas 
naturezas: Tensões devido às forças inerentes ao próprio solo (peso específico, forças de 
percolação) e Tensões induzidas ao solo por forças externas (cargas de uma fundação, alívio de 
tensões devido a uma escavação, etc...). Dimensionalmente, as pressões inerentes ao solo são 
definidas por força por unidade de volume, enquanto as forças induzidas são definidas através da 
relação força por unidade de área. 
 
 2.0 – Pressão em um Ponto: 
 
N
Z
Y
δFNZ
δFNY
X
δFNX δF
 
 1
 Fig.1a Fig. 1b Fig. 1c 
N
δFnZ
δA
 
 
 
 
 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 A Fig. 1a representa um elemento em uma massa de solo, onde atua um sistema de forças 
qualquer. Considerando um seção transversal de área A, verifica-se que atua, em um elemento 
infinitesimal de área δA, uma força δF. O vetor unitário “n” indica a direção da normal à área A 
(Fig. 1b ). Decompondo a força F em três componentes ortogonais, obtém-se uma força normal à 
área A, Fnz e duas forças tangenciais Fnx, e Fny no plano da área A (Fig. 1c). 
 
 A força Fnz é transmitida à área A através do esqueleto mineral e do fluido dos poros. Na 
condição de equilíbrio tem-se: 
 
 (1) fNZ
S
NZNZ FFF δ+δ=δ
 
 Considerando-se uma tensão como sendo o limite de uma força atuando em um área, quando 
a área tende para um ponto, obtém-se que: 
 
 
 
 
 
A
F
lim
A
F
lim
A
F
lim
f
NZ
S
NZ
0A
NZ
0An δ
δ+δ
δ=δ
δ=σ →→δ 
 
A
F
lim NX0ANX δ
δ=τ →δ 
(2) 
 
A
F
lim NY0ANY δ
δ=τ →δ 
 
 Onde σn é denominada tensão normal total, e τnx e τny são as tensões cisalhantes. 
 
 Existem sempre três planos ortogonais em que não ocorrem tensões cisalhantes (τ). Estes 
planos são denominados planos de tensões principais. as tensões normais a estes planos recebem o 
nome de tensões principais. A maior das três é denominada Tensão Principal Maior (σ1); a menor é 
a tensão Principal Menor; e a outra é chamada Tensão Principal Intermediária (σ2). 
 
 2.1 – Tensão em um Ponto de um Maciço de Solo: 
 
 Em solos, a superfície de um plano qualquer atravessa grãos e vazios (com ou sem água). 
Pode-se imaginar que este plano genérico tem ligeiras sinuosidades de forma a passar apenas nos 
contatos entre os grãos. Medições cuidadosas em areia evidenciaram que a área de contato entre os 
grãos e da ordem de 0,03% da área total. Em argilas, embora mais difícil de medir, as evidencias 
apontam para números da mesma ordem. Quanto menores forem os grãos, maior será o numero de 
contato por unidade de área e, consequentemente, menor a forca em cada contato, para uma mesma 
tensão aplicada. 
 
 Os contatos entre os grãos podem assumir as mais variadas configurações. Não e, portanto, 
conveniente tratar tensões em solos a nível inter-granular. Geralmente, utilizam-se tensões médias 
estatísticas definidas como forca por área total do solo. Para ilustrar esta abordagem, nota-se que, 
para um solo arenoso com um diâmetro médio dos grãos de 2mm, uma tensão média igual a 
1kgf/cm2 provocaria uma tensão de contato da ordem de 3000kgf/cm2. 
 
 Considerando-se que um plano qualquer em uma massa de solo a área dos poros é 
aproximadamente igual a área total, a tensão total σn pode ser expressa por, (3) onde μ 
é a tensão no fluido dos poros. Se os poros estão saturados com água, μ passa a ser μ
μ+σ′=σ nn
w , e 
 (4) onde Uwnn μ+σ′=σ w é a tensão na água. Em solos parcialmente saturados, co-existem duas 
tensões nos poros: a tensão no ar Uar e a tensão na água Uw. A equação (4) não se aplica mais e 
Bishop(1958) propôs a seguinte equação definidora da tensão efetiva ( UwUXU ararnn )−⋅+−σ=σ′ (5) onde o parâmetro X é empírico. Em solos secos, X=0 e, em 
solos saturados, X=1. 
 
 Em termos físicos, a tensão σ′n representa a parte da tensão total que rege o comportamento 
tensão versus deformação versus resistência do solo, portanto, denomina-se tensão efetiva. Dentro 
deste mesmo contexto μ é denominados como Tensão Neutra. 
 
 
 
 2
 
 2.2 – Tensões Devido ao Peso Próprio: 
 
 2.2.1 – Tensões em uma cota Z: 
 
 A solução dos problemas de distribuição de pressões devido ao peso próprio da massa de 
solo, muitas vezes, é complicada. Existem situações, onde a massa de solo possui uma 
configuração geométrica difícil de analisar, aliada a uma distribuição variada de camadas, tornando 
impraticável o cálculo da distribuição de tensões com aproximação da realidade. Existem no 
entanto, situações onde a geometria do terreno apresenta-se bem definida e, a variação de camadas 
não é muito acentuada. Enter estes casos, a situação mais simples é, sem dúvida, a situação 
geostática (superfície do terreno horizontal e camadas com nenhuma variação horizontalmente). 
 
 Na situação geostática não existem tensões 
cisalhantes em planos verticais e horizontais. Estes 
planos são, portanto, planos principais. A tensão vertical 
geostática é por conseqüência, calculada considerando 
simplesmente o peso do solo acima do ponto considerado. 
Em um caso genérico (Fig. 2), onde o solo é composto 
por “n” camadas, a tensão vertical, , na interface 
inferior da i-ésima camada, em uma profundidade Z, seria 
dada por: 
y
yzσ
N.T.
H1
H2
Hn
γ1
γ2
γ3
Fig. 2 
 
=vzσ Peso do material acima da profundidade Z = 
 área genérica considerada 
 =
A
A)HHH( ii2211 ⋅γ++γ+γ L = 
 = ii2211 HHH γ++γ+γ L (6) 
 
 
 
 
 
 
 Generalizando: ∑=σ (7), onde γi = Peso específico do solo da camada i Hi = Espessura da camada i = γ
n
1i
iixz H
 
 Mesmo no caso geostático, a tensão horizontal σnz pode variar bastante, podendo ter 
qualquer valor entre menos de 1/3 da tensão vertical ou mais de três vezes a tensão vertical. Na 
situação geostática, a relação entre as tensões efetivas horizontal e vertical, em uma profundidade Z, 
é dada pelo coeficiente de empuxo lateral no repouso, Ko, dado pela fórmula: 
z
z
0 v.
h.K σ′
σ′= (7). 
 
 O coeficiente Ko depende de diversos fatores, tais como, as tensões e o tipo de solo. 
 
 2.2.2 – Pressões na água: 
 
 A água livre no interior de uma massa de solo saturado pode apresentar-se sob duas 
condições: hidrostática e na de fluxo. 
 
 3
 Na condição hidrostática, a profundidade na qual a pressão é igual a pressão atmosférica é 
denominada nível de água natural (N.A.), acima deste nível, o solo pode estar seco, parcialmente 
saturado ou saturado e a pressão da água (quando existe) é negativa, ou seja, é menor que a pressão 
atmosférica. Abaixo do N.A. a pressão na água é positiva e igual a: ww Z.γ=μ (8) onde γw é o 
peso específico da água (1t/m3) e Zw é a profundidade abaixo do N.A. O estado de tensões na água 
é sempre isotrópico, pelo menos solicitações estáticas, logo, HORIZONTALVERTICAL μ=μ=μ . 
 
 Nos solos onde as dimensões dos vazios assumem porções capilares, a água manifesta o 
fenômeno de ascensão capilar. Quanto mais fino for o solo, maior será a altura de ascensão capilar. 
Assim, em uma areia, a franja capilar não excede uns poucos centímetros, ao passo que, em argilas, 
a altura de ascensão capilar pode ser de vários metros. Na franja capilar, a pressão na água é 
negativa e acompanha a distribuição hidrostática, isto é, vale cw Z.γ−=μ (9), onde γw é o peso 
específico da água e Zc é alturaacima do N.A. Acima do topo da franja capilar, o solo está 
parcialmente saturado ou seco, e a pressão nos poros (poro pressão) está dividida em pressão no ar e 
na água. Nestes casos, é difícil estabelecer valores para estas pressões. 
 
ht = carga total; 
he = carga de posição = distância a um 
nível arbitrário de referência; 
hp = carga de pressão = 
w
U
γ ; 
hv = carga de velocidade = 
g2
v.m 2 
 Ao analisar-se a pressão na água para uma condição de fluxo, verifica-se que existe fluxo de 
água em solos, sempre que há diferença de carga hidráulica total em quaisquer pontos da massa do 
solo. A carga hidráulica total é por definição: 
 
 
 
 (10), onde: xpet hhhh ++=
 
 
 
 
 Para as velocidades de fluxo usuais em massas de solos, a carga de velocidade é tão pequena 
que pode ser desprezada. Assim, de acordo com a Fig. 3, tem-se:
w
epet
Uhhhh γ+=+= (11). 
 4
TbTaab hhh −= 
W
Uh bp =
 
 Existem muitas situações 
práticas nas quais a água do solo 
está em movimento. Tais situações 
podem ser agrupadas em dois casos: 
de fluxo permanente (a carga total 
na água em um certo ponto não 
varia com o tempo, como por 
exemplo a percolação no corpo de uma barragem de terra), e de fluxo transitório (a carga total na 
água em um certo ponto varia com o tempo como por exemplo o fluxo de água em um processo de 
adensamento). 
 
 Quando existe fluxo permanente, a pressão neutra em um ponto qualquer não é mais dada 
pela equação 8, sendo necessário para sua obtenção, a construção de uma rede de fluxo que permita 
a obtenção da carga hidráulica total. 
 
Fig. 3 
a
bhTa hTb
he
 Quando existe fluxo transitório, a pressão neutra em um ponto qualquer é função do tempo. 
É o caso de um maciço no qual um processo de adensamento está em andamento. Para a obtenção 
da pressão neutra em um certo ponto deve-se lançar mão da teoria do adensamento. 
 
 2.2.3 – Problemas Típicos de Pressões Devidas ao Peso das Terras: 
 
 De acordo com a equação 7, a pressão total em um ponto, em uma profundidade Z, abaixo 
da superfície horizontal do terreno, será igual ao somatório das pressões transmitidas ao ponto por 
cada camada a ele sobrejacente. Logo, as pressões totais devidas ao peso das terras serão 
proporcionais serão ao peso específico de cada camada de solo. O peso específico do solo é função, 
basicamente, dos pesos específicos da matéria sólida, da água e da fração que esta ocupa dos vazios 
do solo. Portanto, a pressão total em um ponto qualquer dependerá, em grande parte, do grau de 
saturação das camadas. 
 
 Como foi visto anteriormente, a pressão neutra em um ponto a uma profundidade Z, abaixo 
do nível da água, será dada pela equação 8, Z.wγ=μ . Neste caso, considera-se que o solo esteja 
saturado e a água esteja em equilíbrio hidrostático. 
 
 Admitindo-se a validade da equação 8, a pressão efetiva em um ponto, a uma profundidade 
Z, abaixo da superfície do terreno, coincidente com o N.A., será 
Z).(Z.Z.U wSATwSOLOwz γ−γ=γ−γ=−σ=σ′ (12) onde a diferença )( wSAT γ−γ fornece o peso 
específico do solo descontando o empuxo da água. 
 
 As pressões totais, efetivas e neutras no interior de uma massa de solo dependem da 
distribuição de camadas sobrejacentes ao elemento considerado. Para fins didáticos, considera-se 
geralmente quatro perfis básicos no cálculo das pressões devidas ao peso próprio dos solos. Estes 
perfis diferem principalmente nas condições em que se encontra a água livre nos poros. Analisa-se 
a seguir, o cálculo e a distribuição das pressões totais, efetivas e neutras nos quatro casos citados 
acima. 
 
 a ) Caso 1: Perfil composto por camadas permeáveis. 
 
a1) Cálculo das pressões totais (σ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
γsat 2
CAMADA 1
CAMADA 2
CAMADA 3
N.T.
N.A. γh1
γsat 1
γsat 3
h1 
h2
h3
h’1 
3SAT2SAT1SAT1SAT1e
2SAT1SAT1SEC1d
1SAT1SEC1c
1SEC1b
a
h.h.h.h).ouh.(
h.h.h).ouh.(
h.h).ouh.(
h).ouh.(
0
321
21
σ+σ+σ+γγ=σ
σ+σ+γγ=σ
′σ+γγ=σ
γγ=σ
=σ
Fig. 4 
 
 a2) Cálculo das pressões neutras (μ): 
 
 A pressão neutra, em qualquer ponto deste perfil, será dada pela pressão hidrostática, logo: 
 
 5h.
0
0
1wc
b
a
′γ=μ
=μ
=μ
 
 
)hhh.(
)hh.(
321we
21wd
++′γ=μ
+′γ=μ
 
 
 
 
 
 a3) Cálculo das pressões efetivas (σ’): 
 
 De acordo com a equação 4, wU+′= σσ , a pressão efetiva em cada ponto será igual a 
pressão total menos a pressão neutra. 
 
3SUB2SUB11SUB1he
2SUB11SUB1hd
1SUB1h1wSAT1hc
1h1hb
a
h.h.h.h.
h.h.h.
h.h.h).(h.
h.0h.
0
321
21
11
11
γ+γ+′γ+γ=σ′
γ+′γ+γ=σ′
′γ+γ=′γ−γ+γ=σ′
γ=−γ=σ′
=σ′
 
 
 
 6
TENSÕES 
EFETIVAS
TENSÕES
NEUTRAS
COTA Z
b1) Traçado dos diagramas de pressões 
Fig. 5 
 a4) Traçado dos diagramas de pressões: 
 
 
N.A.
TENSÕES
EFETIVAS
N.T.
 Os diagramas de pressões neutras e efetivas serão 
obtidos plotando-se os valores de μ e σ′ em função da 
profundidade. O diagrama de pressões totais será a soma 
dos diagramas de μ e σ′. 
TENSÕES
NEUTRAS
 
 
 
 
 b ) Caso 2: Perfil composto por camadas permeáveis e semi-permeáveis. 
 
 Neste caso, o cálculo das pressões totais é 
feito de forma semelhante que no caso 1. O 
diagrama de pressões neutras sofrerá uma 
descontinuidade na camada semi-permeável. A 
distribuição das pressões neutras no interior desta 
camada não obedece uma lei conhecida. Para 
efeito de simplificação dos cálculos, considera-se 
que a pressão neutra no topo da camada semi-
permeável é igual a pressão neutra na base da 
camada permeável sobrejacente, decrescendo 
linearmente até anular-se na base da camada semi-permeável. O diagrama de pressões efetivas 
também sofrerá uma descontinuidade no interior da camada semi-permeável. Devido a redução na 
pressão neutra de um valor μ até zero, a pressão efetiva será 
acrescida deste incremento, ou seja, μ=σ′Δ . 
PERMEÁVEL
SEMI-PERMEÁVEL
N.T.
N.A.
Fig. 6 
 
 
 
Fig.7 c ) Caso 3: Perfil composto por camadas permeáveis intercaladas com camadas 
impermeáveis. 
 
 Para o perfil acima, o diagrama de pressões totais permanece contínuo e crescente com a 
profundidade, enquanto os diagramas de 
pressões neutras e efetivas apresentarão uma 
decontinuidade na cota, . Na 
cota 
dh)hh( 11 +′+
dh)hh( 11 −′+ , pressão neutra será igual 
a 1a h.γ e na profundidade dhhh +′+ )( 11 , 
será igual a zero. Logo, a pressão efetiva 
terá um acréscimo na cota 
CAMADA IMPERMEÁVEL
N.T.
N.A.
h1
h2
h3
h1’ -dh
+dh
dh)hh( 11 +′+ 
igual a 1a h. ′γ=μ . 
 
 7
1a h. ′γ=σ′Δ1a h.u ′γ=
h.u a Δγ=
h.a Δγ h.a Δγ
Fig. 11 
Fig. 10 
Fig. 9 
Fig. 8 
 
c1) Traçado dos diagramas de pressões 
 TENSÕES 
EFETIVAS
TENSÕES 
NEUTRAS 
 
 d ) Caso 4: Perfil composto por camadas permeáveis 
intercaladas com camadas impermeáveis com presença de 
pressão artesiana. 
 
CAMADA IMPERMEÁVEL
N.T.
N.A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A existência da diferença de nível de água “h” provoca o aparecimento de uma sub-pressão 
igual h.aγ , na base da camada impermeável. Neste caso, a pressão neutra em uma cota 
 será igual a zero, enquanto na cota dh)hhh( 211 −+′+ dh)hhh( 211 ++′+ será igual à pressão 
artesiana h.aγ=μ . A pressão total, como no caso 3, não varia na interface das camadas permeável 
e impermeável. A pressão efetiva sofre uma descontinuidade em um abaixo da camada 
impermeável, 
dh
h.a Δγ−=σ ′Δ . 
 
 
 
 
 
 
 
h2
h3
h1’
’h1
N.T.N.A.
CAMADA
IMPERMEÁVEL
Δh
d1) Traçado dos diagramas de pressões 
TENSÕES
NEUTRAS
TENSÕES 
EFETIVAS
Exercícios de tensões das terras 
 
Perfil 1: 
 
 
Perfil 2: 
 
 
 
 
 
 
 8
Perfil 3: 
 
2.3 –Tensões Induzidas: 
 
 Toda e qualquerestrutura edificada sobre o solo, obra civil, produz variação de tensões na 
massa terrosa na qual ela se encontra ou se apoia. Alguns exemplos mais comuns, são as fundações 
de prédios, tanques de armazenamento, muros de arrimo, escavações para túneis, metrôs, etc... 
 
 A estimativa das tensões induzidas a maciços terrosos é importante em muitos projetos. 
Para seu cálculo lança-se mão, em geral, da teoria da elasticidade, isto é, de uma teoria matemática 
que fornece as tensões em qualquer ponto de uma massa para condições de solicitação 
especificadas. 
 
 A teoria da elasticidade, em sua forca mais simples, admite que o material seja homogêneo, 
isotrópico e linear-elástico. 
 
 Entende-se por material homogêneo aquele que possui em todos os pontos as mesmas 
propriedades em uma direção e, por material isotrópico aquele que possui propriedades idênticas em 
todas as direções em um ponto no seu interior. Assim sendo, o fato do material ser homogêneo não 
implica em que ele seja isotrópico e vice-versa. Um material elástico linear é aquele que obedece a 
lei de Hooke, εσ .E= , não admitindo deformação residual quando submetido a ciclos de 
carregamento-descarregamento. 
 
 No item a seguir serão apresentadas algumas soluções para o problema da determinação das 
tensões induzidas em um ponto de uma massa de solo, através da hipótese simplificada e pela 
teoria matemática da elasticidade. 
 
 
 9
 2.3.1 – Hipótese simples ou simplificada: 
 
 A hipótese mais antiga sobre a distribuição de pressões em uma massa de solo é a chamada 
Hipótese Simples ou Simplificada: nela se imagina que uma pressão aplicada à superfície do terreno 
se distribui em profundidade uniformemente, segundo um ângulo (ϕ0 – ângulo de propagação ou 
espraiamento), de acordo com a Fig. 12. De acordo com o esquema apresentado na figura 12, tem-
se que, . Pb.pb.pb.p 002211 ==== L
 
0
0 b
PP = Entretanto, esta hipótese contraria todas as observações experimentais, as quais 
tem mostrado que, em qualquer plano 
horizontal, a distribuição é em forma de 
“sino”(curva de probabilidade), com pressões 
maiores na vertical do centro de ação da 
carga P, e valores decrescentes para ambos os 
lados dessa vertical. 
 10
 
 Apesar da simplicidade dessa hipótese 
ela é, todavia, ainda hoje empregada e 
inclusive o código de Boston(1944) admite 
para efeito de cálculo. Fig. 12 
P0
b0
b1
b2
P1
P2
Z1
Z2
 
 Tenha-se em conta todavia, que os erros cometidos podem ser grandes, só tendo sentido sua 
aplicação no caso de um cálculo aproximado ou em condições especiais, como verifica-se adiante. 
 Para aplicação da hipótese simplificada tem-se que ter em mente: 
 
a) Está hipótese se aproxima tanto mais da realidade, quanto mais rígida possa ser 
considerada a fundação, e principalmente, no caso de se tratar de fundações isoladas 
(chaminés, torres, blocos de fundação, etc...)ou, também, quando se trata de calculara 
distribuição em horizontes situados em profundidades relativamente grandes. 
b) Quanto mais resistente um solo, tanto maior deve ser o ângulo ϕ0 a adotar. Em uma 
argila muito dura, ϕ0 deverá ser bem maior que em uma argila muito mole. O valor de 
ϕ0 varia geralmente entre 30 e 45 (30 ≤ ϕ0 ≤ 45), podendo ser superior. 
 
 2.3.1.1 – Soluções de Boussinesq: 
 
 Boussinesq (1885) resolveu o problema da distribuição de pressões causada por uma carga 
punctual (concentrada), aplicada à superfície do semi-espaço infinito isotrópico linear e elástico. 
A solução de Boussinesq é válida para um material idealmente elástico, homogêneo e isotrópico, 
estendendo-se infinitamente para baixo e para os lados do ponto de aplicação de uma carga que atua 
sobre a superfície horizontal desse material, o qual Boussinesq supôs ainda, desprovido de peso. 
 
 Partindo das suposições consideradas acima, Boussinesq chegou as seguintes expressões 
para o cálculo da tensão vertical (σz), tensão horizontal (σx) e tensões cisalhantes (τ) em um ponto 
em uma profundidade Z abaixo da superfície do terreno, com ângulo de posição, de acordo com a 
Fig.13. Através das fórmulas abaixo e da figura 13 pode-se obter tais parâmetros. 
 
 
ϕ⋅ϕ⋅π=τ
μ=
ϕ+⋅
−−ϕ⋅ϕ⋅π=σ
ϕ⋅π=ϕ⋅π=σ
sencos
R.2
P3
)Poisson.coef(
1m
)
cos1
1
m
2msencos3(
R.2
P
cos
Z.2
P3cos
R.2
P3
3
2
2
2X
5
2
3
2Z
 Z
X
Rϕ
τ σ. Z
σ. Xτ
Fig. 13 
 
Apesar de, no caso geral, o solo se afastar das condições ideais de validade da solução de 
Boussinesq, pois, os solos não são meios infinitamente elásticos, homogêneos, isotrópicos e são 
pesados, observações experimentais tem indicado que a aplicação adequada e conveniente dessa 
solução fornece resultados bem próximos da realidade. 
 
 Deve o engenheiro conhecer, pois, quais as condições em que poderá se utilizar, sem grande 
erros, das expressões de Boussinesq. 
 
 a) Condições de aplicabilidade: 
 
1. É necessário que exista compatibilidade entre tensões e deformações. Em outras 
palavras, as cargas aplicadas devem estar limitadas a valores tais, que não ultrapassem, 
ou mesmo se aproximem da máxima resistência ao cisalhamento do solo. 
 τ = tensão de cisalhamento atuante; 
S = resistência ao cisalhamento. 
 Portanto, deve se ter: tg.cS σ+=<τ onde: 
 
 Segundo Terzague (1948) tal condição será satisfeita desde que o fator de segurança ao 
cisalhamento na aplicação das cargas seja maior que 3, s/τ ≥ 3,pois nesse caso pode-se admitir que 
o estado de tensões no solo se assemelha bastante ao de um material perfeitamente elástico. 
 
2. É necessário que o solo considerado apresente um módulo de deformação 
aproximadamente constante, ou seja, deve-se haver proporcionalidade entre tensões e 
deformações, em qualquer ponto do maciço. 
 
 A primeira condição apresentada anteriormente é necessária, mas não é suficiente para que 
existe proporcionalidade. 
 
 Realmente, os solos, em geral, para pequenos acréscimos de carga se deformam segundo um 
módulo de deformação praticamente constante. As grandes cargas todavia, influenciando camadas 
mais profundas atravessam, em certos terrenos, horizontes de comportamento elástico diverso. 
 
 É o que ocorre, por exemplo, nas areias, que tem sua resistência ao cisalhamento variável 
(crescente) com a profundidade. 
 
 Para o caso de solos coesivos (argilas) todavia, que são materiais de resistência praticamente 
invariável com a profundidade, tem validade apreciável as expressões de Boussinesq. 
 
3. Solos muito heterogêneos em sua formação com camadas estratificadas de origem e 
constituição diferentes, se afastam bastante das condições de aplicabilidade da teoria de 
 11
Boussinesq. Não se pode esperar resultados próximos da realidade em solos como esses. 
Existem para esses casos teorias modernas que resolvem o problema (por exemplo D. 
Burmister). 
4. As expressões de Boussinesq foram deduzidas para cargas concentradas aplicadas à 
superfície do semi-espaço. No entanto, as fundações, geralmente, assentam em cotas 
abaixo da superfície. 
 
 Estudos modernos, por exemplo Mindlin (1936), mostram que cargas pontuais atuando 
abaixo da superfície, provocam tensões inferiores às fornecidas pelas expressões de Boussinesq, 
para . 2m5,0 =−=μ
 
5. As expressões de Boussinesq admitem que o material solicitado tenha resistência à 
tração e ao cisalhamento e que as tensões se transmitem também em pequenas 
profundidades, indefinidamente para ambos os lados do ponto de aplicação da carga, ou 
seja, o material apresenta um ângulo de espraiamento ϕ0 = 90. Tal hipótese todavia não 
se aplica aos solos comuns, que tem resistência à tração muito baixa ou nula, 
principalmente os solos arenosos. 
6. Só se fará o cálculo admitindo carga concentrada quando forem obedecidas as seguintes 
relações: 
 
sendo: Z = profundidade do ponto em que se 
querdeterminar a tensão. 
 d = diâmetro da fundação = 2r 
b = menor dimensão da fundação 
retangular. 
 6a) No caso de carga circular: Z > 3d = 6r 
 
 6b) No caso de carga retangular: Z > 2,5 b 
 
 
 b) Tabelas e ábacos para cálculos a partir de Boussinesq: 
 
 Diversos autores elaboram tabelas e ábacos para facilitar o emprego das expressões de 
Boussinesq. Entre estes, pode-se destacar a tabela de Gilboly e o ábaco de Taylor. Através das 
hipóteses e cálculos de Boussinesq, partindo-se de sua expressão tem-se: 
 
 ( )[ ] 2/522Z .Z/r1 2/3ZP + π⋅=σ 
 
 Terzagui denominou a expressão: ( )[ ] =σ=+ π I.Z/r1 2/3 2/52 Fator de influência e assim, 
σ⋅=σ I
Z
P
2Z . O fator é 
tabelado (Gilboy). 
2)Z/
)Z/rB ==σ
r(fI =σ
 12
 
 Taylor (1951) fornece um gráfico em 
que chama, I , logo, (fN
B2Z NZ
P ⋅=σ . 
 
 Sobre o assunto deste item, 
recomenda-se o livro do Caputo, onde 
apresenta o gráfico para NB na página 55, 
volume II. 
B
 
c) Extensão das expressões de Boussinesq para o caso de cargas lineares e áreas carregadas: 
 
 Partindo das expressões de Boussinesq para carga concentrada (pontual), vários 
pesquisadores, usando o princípio da superposição (o efeito do conjunto considerado como a soma 
dos efeitos de cada um de seus componentes) e por meio de integração matemática, chegaram a 
expressões para cálculo das tensões causadas por cargas lineares e áreas carregadas. 
 
1. Carga distribuída ao longo de uma linha na superfície do semi-espaço (solução de Melan 
– 1932) 
 
 Este problema reduz-se à determinação da influência de cada ponto da linha na superfície do 
semi-espaço infinito sobre um ponto N no interior do maciço e de coordenadas x, y e z. 
 
 
) Melan (1932) considerou a linha formada pior vários elementos de comprimento “ds” tão pequeno quanto se queira, e sobre ele atuando uma carga vertical concentrada ( . Através da 
expressão de Boussinesq pode-se determinar a influência de cada elemento sobre o ponto N, 
ds.q
Zdσ , e 
integrou-se ao longo da linha para determina-se a influência do conjunto. 
 
13
 Considerando-se a Fig.14, deseja-se 
determinar as pressões verticais em um ponto N de 
coordenadas (x, o, z) induzidas por uma carga “q” 
uniformemente distribuída ao longo do eixo Y 
normal ao plano do papel. 
 
 A carga ( aplicada em um ponto 
genérico O’, do eixo Y, induzirá no ponto N, 
segundo a fórmula de Boussinesq, a pressão vertical: 
)dyq.
 
 
 5
3
Z R
Z
2
)dy.q(3d ⋅π=σ , sendo: O’= O(O, Y, O) 
e N = N(X, O, Z) e “R” dado por 222 yxzNOR ++=′= , substitui-se na fórmula anterior e tem-
se: 2/5222
3
Z )yxz(
dy.Z
2
)q(3d . ++⋅π=σ
 
 Integrando-se entre os intervalos (y = -∞ e y = +∞), tem-se, 222
3
Z )xZ(
Zq2
+⋅π=σ , 
analogamente obtém-se, 
)xZ(
Zxq2
22
2
X +⋅π=σ e 222
2
XY )xZ(
xZq2
+⋅π=τ . 
 
2. Carga distribuída sobre placa circular (Love – 1929): 
 
 O problema das tensões induzidas, em um ponto da 
vertical de uma placa circular de raio R, por ema pressão 
uniformemente distribuída na placa, foi resolvido por Love 
(1929), dividindo a área carregada em elementos setoriais, 
Fig.14 
Y
X
Z
Y
X
Z
O
O’
q
σZ
φ
N
ψ
Z
R
σΖ
σr
r
dψ
Φ
r.d.ψ
dr
de área (Fig.15), cada qual carregado com uma carga puntiforme, . )dr.d.r( ψ dr.d.r.dQ 0 ψσ=
 
 Pela equação de Boussinesq a pressão, no ponto N da vertical do centro da placa, é dada pela 
fórmula 2/522
3
0
Z )Zr(
Z3
2
dr.d.r.
d +⋅
ψσ=σ , integrando-se estes valores com (ψ = 0 à 2π) e r = 0 até 
R, então terá: ( )
2/3
2
2
0
R
0
02/522
3
0
Z Z/R1
11dr.d
)Zr(
r.Z
2
3 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=σ=ψ⋅+⋅π
σ=σ ∫ ∫π . 
Fig. 15 
 
 Portanto, esta equação pode ser posta em função do fator de influência, da seguinte 
forma: , sendo, 0Z .I σσ=σ ( )
2/3
2Z/R1
11)Z/R(fI ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−==σ . Os valores de Iσ podem ser obtidos 
em tabelas. 
 
3. Carga distribuída em uma faixa (Terzaghi): 
 
 A solução deste problema foi dada por Terzagui, integrando a fórmula de Melan para o caso 
de uma faixa carregada, de largura 2B, como mostra a Fig. 16 
 
 Obtém-se pela integração, as expressões que dão as pressões vertuicais, horizontal e de 
cisalhamento no plano da figura 16, em um ponto genérico N do plano XZ. 
 
 Newmark (1933) é o autor da solução do problema da distribuição de pressões sob placas 
retangulares carregadas uniformemente. 
 
 14
Fig. 16 
Z
b
γ
q X-X
b
α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Fig. 17a representa um retângulo, na superfície 
de um semi-espaço elástico, carregado uniformemente por 
uma pressão σ0. O problema, é determinar a pressão 
vertical σZ, induzida por esse carregamento, no ponto 
genérico N da vertical de um canto da placa retangular. 
 
 
 Integrando a equação de Boussinesq, de maneira 
análoga às que se mostraram anteriormente, Newmark obteve a expressão abaixo que permite o 
cálculo de σZ na vertical OZ. 
b
a
O X
Y Z
N
σ0
σZ
[ ]
[ ])2(cos.senq
)2(cos.senq
)2(sensenq
X
Z
XZ
γ+αα−α⋅π=σ
γ+αα+α⋅π=σ
γ+α⋅α⋅π=τ
Fig. 17a 
 
 
1n.mnm
)1nm.(n.m2tgarc
1nm
2nm
1n.mnm
)1nm.(n.m2
4 22
2/122
22
22
22
2/122
0
Z +−+
+++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++⋅+++
++⋅π
σ=σ 
 onde: 
Z
an;
Z
bm == 
 
 A expressão entre colchetes dividida por 4π é, portanto, um fator de influência, semelhante 
ao que foi indicado para a fórmula de Love, 0Z .I σσ=σ . 
 
 O fator pode ser obtido, através de ábacos entrando-se com valores conhecidos de “m” e 
“n”. 
σI
 
 O cálculo da pressão Zσ (pressão vertical) em um 
ponto que não esteja sob o vértice da placa, deve ser feito 
utilizando-se o princípio da superposição dos efeitos. Para 
calcular a pressão vertical, já mencionada, na vertical de um 
ponto N no interior da placa, divide-se a placa em quatro 
retângulos, para os quais o ponto N deve estar sob os vértices, 
como mostra a Fig.17b. Cada um dos retângulos induzirá no 
ponto de uma parcela de pressão e cada uma da qual é 
calculada pela fórmula de Newmark. O somatório das 
pressões, dará a pressão no ponto, como mostra a fórmula 
abaixo. 
 15
Fig. 17b 
 
)IIII.( IVIIIIII0ZIVZIIIZIIZIZ σ+σ+σ+σσ=σΔ+σΔ+σΔ+σΔ=σ
 Se o ponto N for externo à placa 
retangular, o valor de é obtido diminuindo-se 
do valor de 
ZI
ZIσΔ correspondente à totalidade da 
área cujo vértice estará na vertical de N, os 
valores correspondentes aos Δ das áreas 
externas. A área inicial (positiva) deverá 
abranger em si a totalidade da placa carregada e, 
pelo menos, mais uma área externa (negativa). 
Zσ
 
 
 
4. Carregamento de forma qualquer: 
 
 4.a – Gráfico circular de Newmark: 
 
 Esta solução gráfica baseia-se na fórmula 
de Love. Como foi visto anteriormente, a 
pressão Zσ em um ponto sob o centro de uma 
placa circular carregada uniformemente é dada 
pela expressão: 
 
 
 σ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=σ
σ∴
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−σ=σ I)Z/R(1
11
)Z/R(1
11.
2/3
2
0
Z
2/3
20Z 
 
b1
O X
Y
Zb2
I
II III
IV
σZ
 Fixando-se, na expressão acima, o valor de Z, tem-se que, para cada valor de σI 
corresponderá a um valor R ou seja, um ponto em uma profundidade Z, abaixo do centro de uma 
placa circular de raio R sofrerá uma pressão igual a σI da pressão atuante na placa. Desta forma, 
fixando-se o valor de Z, tem-se para diversos valores de σI um valor de R. Ao variar σI , por 
exemplo de dois em dois décimos para Z = 10m, tem-se a tabela a seguir: 
 
 Com os valores de R assim obtidos traçam-se circunferências 
concêntricas, com os raios R em uma determinada escala, fazendo 
corresponder a cada círculo o respectivo valor de . Cada cora 
circular,limitada por dois círculos consecutivos, corresponderá a 
“I” da tensão 
σI
0σ aplicada sobre a placa. Divide-se a figura em um 
determinado número X de setores. Cada elemento limitado, por 
um setor e uma coroa, corresponderá portanto, a 
0125,0
16
1.2,0
X
1.I ==σΔ do valor de . Com esta construção, 0σ
 
σI R/Z R 
0 0,00 0,0 
0,2 0,4 4,0 
0,4 0,64 6,4 
0,6 0,91 9,1 
0,8 1,39 13,9 
1,0 ∞ ∞ 
 
 
obtém-se o gráfico circular de Newmark (Fig. 18) 
 
 Para o cálculo da pressão transmitida, em um ponto a uma profundidade Z, pelas fundações 
de uma determinada estrutura, procede-se de seguinte maneira: 
 
• 
• 
• 
Coloca-se o gráfico circular traçado em papel transparente sobre a planta de fundações 
na mesma escala, fazendo-se coincidir o centro do gráfico com o ponto em que se deseja 
calcularσ . Z
Conta-se o número de elementos do gráfico cobertos por cada membro da fundação (N). 
Calcula-se o valor de do gráfico σI
X
1.II σΔ=σ . 
• Multiplica-se o número de elementos N pelo fator de influência I vezes a pressão 
uniforme de cada membro da fundação. Obtém-se, assim, a influência de cada membro da 
fundação no ponto considerado. O valor de Zσ será dado pelo somatório das influências, ou 
seja: . ∑ σσ=σ iii0Z N.I.
 4.b – Método de Jiménez Sales: 
 
 
 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta solução gráfica baseia-se no fato de que um círculo de raio “R” carregado com uma 
pressão unitária produz na profundidade “Z” uma tensão vertical, que é chamado coeficiente de 
influência ou, simplesmente, influência, sendo representado por . Um círculo de raio R+1 terá 
uma influência . 
Z
RI
Z
1RI +
 
Fig.18 
Z μR+1
μR
q
μ
RR+1
 Assim, uma coroa circular produzirá uma pressão vertical igual a: 
 
 Z R,1R1R
3
R
3
R
3
1R
3
R
Z
1R Icoscos)cos1()cos1(II ++++ =μ−μ=μ−−μ−=−
 
 Se a coroa não está carregada em toda a área, mas somente em A%, pode-se supor que a 
tensão produzida na profundidade Z será igual à influência da coroa multiplicada pelo peso da 
mesma, definido como 
100
%Ap = , portanto, quando a pressão não for unitária, mas igual a “q”, então 
o peso da coroa será 
100
%A.qp = , e se a carga não for uniforme, será preciso achar a carga média 
“qm”, tornando-se 100
%A.qp m= . Assim a tensão vertical será , onde é tabelado. Z R,1RZ I.p +=σ Z R,1RI +
 
 Par o cálculo da pressão transmitida em um ponto a uma profundidade Z, pelas fundações de 
uma determinada estrutura procede-se da seguinte maneira: 
 
a) Desenha-se um círculo centrado no ponto onde se deseja calcular a tensão e tangente ao 
ponto mais extremo da área carregada; 
b) Divide-se o círculo em 20 partes iguais 
20
RR1 = ; 
c) Divide-se cada quadrante, em 5 partes iguais, onde cada quadrado contribuirá com 5% 
da área total; 
d) Determina-se as pressões das partes interceptadas pela área carregada nas coroas (áreas 
entre círculos adjacentes), 
100
%A.qp = ; 
e) Soma-se os produtos destas pressões pelas influências correspondentes (tabela) será o 
valor de , onde . Zσ ∑ +=σ Z R,1RZ I.p
 
• OBS.: Na tabela λ é a relação entre o raio real e o número de partes que foi dividido o 
raio real (sem escala), 
20
realraio=λ ; 
A profundidade Z é a partir da cota de fundação; • 
• Esquema de cálculo para um elemento de fundação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
Elemento de fundação 
Nº λ
1Z λ
2Z λ
nZ 
λ
R N A% P I PxI I PxI I PxI 
18-20 
16-18 
M 
10-12 
9-10 
M 
12 
01 
∑PxI ------------------------- 1Zσ --- 2Zσ --- ZMσ
 
 N = Número de quadrados carregado na coroa considerada. 
• Para o cálculo de elementos de fundação de diferentes cargas “q”, usar uma linha da 
tabela para cada carga “q”. 
 
 d) Distribuição de pressões: 
 
 Determinados os incrementos de 
pressões, devido a um carregamento 
qualquer, em vários pontos de uma 
massa de solo, é muito útil representar-
se, graficamente, estas pressões em 
função do ponto de aplicação. Para isso, 
são utilizados diversos processos. Um 
desses processos usuais é o denominado 
Perfil de Tensões. Este gráfico 
apresenta a variação de pressões em 
função da profundidade de diversos 
pontos de uma área carregada. Na Fig. 
19a apresenta-se a distribuição de 
pressões para um ponto sob o centro de 
uma área circular uniformemente 
carregada e para um ponto em uma 
distância igual ao raio “b” do círculo, 
externo a área. As tensões são plotadas 
de forma que as ordenadas representem 
as profundidades, expressas em proporção de raio de círculo, e a abscissa da curva indica a 
intensidade da pressão, em proporção à tensão P aplicada na área carregada. Uma das 
características mais importantes destes gráficos é a forma de variação da pressão com a 
profundidade, dependendo da seção vertical considerada. Sob o centro da área carregada, a tensão é 
máxima em um ponto imediatamente abaixo da área e diminui para dez por cento do valor da carga 
aplicada para uma profundidade igual a duas vezes o diâmetro do círculo. Para um ponto externo à 
área carregada, a pressão no nível da área é igual a zero e atinge um valor máximo para uma 
profundidade aproximada de 2,2 vezes o raio do círculo. Entretanto, abaixo desta profundidade, a 
tensão varia muito pouco. 
Fig. 19a 
 18
 19
 
 A Fig. 19b apresenta a distribuição das 
pressões verticais para diferentes níveis sob o centro 
da área carregada. Verifica-se, nesta figura, que a 
concentração de tensões é maior para pequenas 
profundidades e diminui pelo efeito de espraiamento 
em horizontes mais profundos. Evidentemente a área 
sob a curva em cada plano horizontal precisa ser 
igual a carga total aplicada. 
 
 Outra maneira usual de representar 
graficamente a distribuição de pressões é através dos 
contornos de pressões iguais, denominados isóbaras, 
como apresentado na Fig.20, para uma área circular 
uniformemente carregada. Estes contornos delineiam 
a zona de influência da fundação, de modo que todos 
os pontos no interior de um determinado contorno 
sofrem pressões maiores do que o nível de pressões sobre o contorno. Devido a forma de áreas 
limitadas pelos contornos, estas zonas são chamadas por “Bulbo de Pressões”. 
 
Fig. 19b 
 
 
 Note-se que para uma área carregada na superfície 
de um semi-espaço linear-elástico, a dimensão do Bulbo 
de pressões é proporcional à dimensão da área carregada. 
A importância deste fato, na engenharia de Fundações, 
não pode ser substituída, especialmente quando se analisa 
o efeito da construção de grandes estruturas sobre os 
recalques provocados. 
 
 Até esta etapa, foram feitas considerações sobre o 
solo como um material homogêneo, o que é o caso usual. 
Um modelo simples de solo não-homogênio é o caso de 
um perfil constituído de diversas camadas com diferentes 
valores do módulo de elasticidade. Este caso, também, 
pode ser resolvido pela Teoria da Elasticidade. Diversos 
pesquisadores tem contribuído para a sua solução 
(Burmister, 1943; Acum e Fox, Jones, 1961 e outros). 
Uma condição facilmente encontrada em um depósito 
natural de solo é o de uma camada de argila rígida ou areia densa sobre um depósito de material 
menos rígido, argila mole, areia fofa, etc... O efeito da camada superficial rígida é diminuir a 
concentração de tensões nas camadas subjacentes. A Fig. 20 apresenta o perfil de Tensões, em um 
meio composto por três camadas, para um ponto sob o centro de uma área circular uniformemente 
carregada de raio R. Os perfis de tensões para as diferentes relações entre os módulos de 
elasticidade, E1/ E2 e E2/ E3 estão representados pelas curvas A, B e C. A curva C representa o caso 
Fig.20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.6 – Pressão deContato: 
 
 2.6.1 – Considerações gerais: 
 
 1 – Conceituação: 
 
 A distribuição da pressão de contato “q” não é uniforme 
e é função das seguintes variáveis: 
 
a) Características do solo; 
b) Rigidez da fundação; 
c) Influência do tempo; 
d) Influência da profundidade de assentamento, no caso de 
solos arenosos; 
e) Rigidez da superestrutura (elástica ou rígida); 
f) Valor da carga externa. 
 Fig. 26 
 
 
 2 – Características do solo e rigidez da fundação: 
 
 
 No que diz respeito às características dos solos e rigidez da fundação, apresenta-se algumas 
dados que mostram a distribuição de pressão de contato nas diversas situações, segundo Schultze, 
como pode-se verificar na tabela abaixo: 
 
 
 
 
Solo 
Coesivo Não coesivo 
Fundação 
Solo ideal Rocha 
Saturado Não 
saturado 
Fofa Compac. 
Semi-espaço elástico isotrópico 
Com plasticidade 
Coeficiente 
de recalque 
Ps.Cp.S Quase sem plastic. 
Carregamento 
Rigidez Carga 
1 2 3a 3b 4a 4b 
A Rígido 
K=∞ 
Concentrada 
qualquer 
B I Flexível Uniformemente 
distribuída 
 II a Flexível Concentrada no 
meio 
 b Flexivél Concentrada nos 
bordos 
C Rigidez nula 
K=0 
Uniformemente 
distribuída 
 
 
 
 20
 
 
 
 3 – Influência do tempo: 
 
 Os solos coesivos inicialmente se comportam como meios elásticos. Mantendo-se o 
carregamento por muito tempo, o diagrama tende para o de solo não coesivo, devido à dissipação 
das pressões neutras (Fig. 27). 
 
Diagrama Final 
Estrutura Rígida 
Diagrama Inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.27 
 4 – Profundidade da fundação: 
 
 Em solos não coesivos, a profundidade da fundação aparece como fator condicionante da 
distribuição de “q”. 
 
 A resistência ao cisalhamento do solo pode ser expressa por: φσ+=τ tg.c (equação de 
Coulomb). 
 
 
 Nos solos não coesivos (c = 0), a resistência será diretamente proporcional à pressão 
confinante, logo, se a fundação estiver mais ou menos enterrada, variará o diagrama de pressões. 
 
 
 A medida das reações do solo, em tal 
situação, foi feita por Oscar Faber. A experiência 
consistiu em colocar sobre o solo, um aparelho 
formado por duas placas circulares de metal. A 
primeira, em contato com o solo, constituída por 
anéis concêntricos de mesma área. A placa 
superior é uma peça sólida, recebendo a carga de 
teste no seu centro. 
 21
 
 Dessa maneira, foram obtidos os 
diagramas, para as areias, mostrados na Fig. 28. 
 
 Como pode-se notar na Fig. 28, a pressão 
no centro da placa é aproximadamente 2,5 vezes a 
média p = P/A da placa (P = carga aplicada e A = 
área da placa). Varia entre 2,3p e 2,7p exceto pela primeira carga que produziu uma pressão muito 
baixa, onde a reação máxima foi somente de 1,8p. 
Fig. 28 
 
 22
 
 
 
 
 
 
	TENSÕES DAS TERRAS E TRANSMITIDAS 
	1.0 – Introdução: 
	 2.0 – Pressão em um Ponto: 
	 2.1 – Tensão em um Ponto de um Maciço de Solo: 
	 2.2 – Tensões Devido ao Peso Próprio: 
	 2.2.1 – Tensões em uma cota Z: 
	 2.2.2 – Pressões na água: 
	 2.2.3 – Problemas Típicos de Pressões Devidas ao Peso das Terras: 
	Exercícios de tensões das terras 
	2.3 –Tensões Induzidas: 
	 2.3.1 – Hipótese simples ou simplificada: 
	 2.6 – Pressão de Contato: 
	 2.6.1 – Considerações gerais: