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Função do 2º Grau Turma: Lic. Biologia 2015 Cálculo I – 4 horários Capanema, 20 de janeiro de 2017. - Caracterização geral função do 2º grau Definição: y = f(x) = ax2 + bx +c a ≠ 0 Podemos resumir tais passos com alguns possíveis gráficos: Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola) cbxaxxf 2 cbxaxy 2 x xf 0a 0a Concavidade voltada para cima x y Concavidade voltada para baixo cbxaxxf 2 cbxaxy 2 x xf x y Raiz da função Raiz da função Raiz da função Raiz da função Raízes cbxaxy 2 0y cbxax 20 02 cbxax acb 42 a b x 2 0 0 0 não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas). possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas). possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas. x x x1x 2x 21 xx Rxex 21 0a 0 0a 0 0a 0 x x x 1x 2x 21 xx Rxex 21 0a 0 0a 0 Raízes reais distintas Raízes reais iguais Não existem raízes reais Vértice x y Vértice eixo de simetria a yV 4 a b xV 2 VV yxV , aa b V 4 , 2 Função Polinomial de 2º Grau – Vértice x y Vértice x y Ponto de máximo Vértice Ponto de mínimo 0a 0a Exemplo1: em uma certa plantação, a produção P, de feijão depende da quantidade q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = -3q2 + 90q + 525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima. • Exemplo1: em uma certa plantação, a produção P, de feijão depende da quantidade q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = -3q2 + 90q + 525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima. Função do 2º grau ou quadrática ou polinomial de grau 2 Obtenção da função Para um melhor entendimento vamos analisar a situação a seguir, montando a função Considere os dados da tabela a seguir, que descrevem a concentração de alumínio y = f(x) (mg/kg) em uma espécie de arroz em função do acumulo de fósforo no solo x (mg/kg) x Y 10 8,9521 20 4,6891 30 1,7261 40 0,0631 50 -0,2991 60 0,0631 70 2,8741 80 6,4111 90 11,248 Tabela 6.1 – Concentração de alumínio na espécie de arroz Antes devemos saber que a função quadrática é genericamente definida por 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Inicialmente vamos encontrar o valor de a para esse exemplo, onde a = ∆2𝑥 (∆𝑥)2 2 Onde ∆𝒙 é a variação do eixo x e ∆𝟐𝒚 é a segunda variação da função. podemos encontrar esses valores fazendo da seguinte forma Primeira variação, calculamos a variação de dois intervalos ∆𝑦1 ∆𝑥 = 𝑓 20 −𝑓(10) 20−10 = 4,6891−8,9521 20−10 = −4,263 10 = −0,4263 ∆𝑦2 ∆𝑥 = 𝑓 30 −𝑓(20) 30−20 = 1,7261−4,6891 30−20 = −2,963 10 = −0,2963 x Y 10 8,9521 20 4,6891 30 1,7261 40 0,0631 50 - 0,2991 60 0,0631 70 2,8741 80 6,4111 90 11,248 Em seguida calculamos a segunda variação ∆2𝑦 (∆𝑥)2 = ∆𝑦2 ∆𝑥 − ∆𝑦1 ∆𝑥 30 − 20 = −0.2963 − (−0.4263) 30 − 20 = 0.13 10 = 0.013 Para uma melhor visão podemos fazer para os demais intervalos restantes e obtemos a seguinte tabela x Y ∆𝒚/∆𝒙 ∆𝟐𝒚 /(∆𝟐𝒙)𝟐 10 8,9521 20 4,6891 -0,4263 30 1,7261 -0,2963 0,013 40 0,0631 -0,1663 0,013 50 -0,2991 -0,0363 0,013 60 0,0631 0,0937 0,013 70 2,8741 0,2237 0,013 80 6,4111 0,3537 0,013 90 11,248 0,4837 0,013 Tabela 6.2 – representação da segunda variação dos intervalos Os dados de uma tabela, constituem uma função quadrática se os valores da segunda variação, forem uma constante não-nula. Sabendo como calcular o valor de a temos: 𝑎 = ∆2𝑥 (∆𝑥)2 2 = 0,013 2 = 0,0065 Dizemos que para a > 0 , o gráfico que é representado por uma parábola tem sua concavidade para cima, no caso de a < 0 a parábola tem concavidade para baixo. a > 0 a < 0 y x y x A obtenção dos valores de b e c pode ser feito a partir da resolução de um sistema de duas equações, para determinar vamos selecionar os pontos (10; 8,9521) e (20; 4,6891). Substituindo na função genérica, temos: 𝑓 10 = 0,0065(10)2+10𝑏 + 𝑐 8,9521 = 0,6500 + 10𝑏 + 𝑐 8,9521 − 0,6500 = 10𝑏 + 𝑐 8,3021 = 10𝑏 + 𝑐 𝑓 20 = 0,0065(20)2+20𝑏 + 𝑐 4,6891 = 2,6000 + 20𝑏 + 𝑐 4,6891 − 2,6000 = 20𝑏 + 𝑐 2,0891 = 20𝑏 + 𝑐 Montando o sistema temos: 20𝑏 + 𝑐 =2,0891 10𝑏 + 𝑐 = 8,3021 Resolvendo o sistema temos b = -0,6213 e c = 14,5151 𝑓 𝑥 = 0,0065𝑥2 − 0,6213𝑥 + 14,5151 (𝑚𝑔/𝑘𝑔) Assim, temos a nossa função: Calculando as raízes de uma função do segundo grau Sabendo a conformação genérica da função do 2º grau podemos encontra as raízes utilizando a fórmula de Bháskara 𝑥 = −𝑏 ∓ ∆ 2𝑎 Onde ∆ (delta) é definido como 𝑏2 − 4𝑎𝑐 no caso de a > 0,temos as seguintes representações y x y x y x ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0 Tendo a função vamos calcular as raízes, primeiramente calcula-se o delta e em seguida o substituímos na fórmula de Bháskara. 0,0065𝑥2 − 0,6213𝑥 + 14,5151 ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (−0,6213)2 − 4(0,0065)(14,5151) ∆ = (−0,6213)2 − 4(0,0065)(14,5151) ∆= 0,3860 − 0,3773 ∆= 0,0087 Substituindo os valores de a e b e de delta na fórmula de bháskara, temos 𝑥 = −𝑏 ∓ ∆ 2𝑎 𝑥 = −(−0,6213) ∓ 0,0087 2(0,0065) 0,0065𝑥2 − 0,6213𝑥 + 14,5151 𝑥 = 0,6213 ∓ 0,0932 0,013 Podemos observar os dois sinais, então vamos ter que encontrar uma valor pra cada um dos dois sinais, o que chamaremos de x’ e x”. 𝑥′ = 0,6213 + 0,0932 0,013 𝑥" = 0,6213 − 0,0932 0,013 𝑥′ = 54,93𝑚𝑔/𝑘𝑔 𝑥" = 40,63 𝑚𝑔/𝑘𝑔 Na plotagem do gráfico, observa – se que as raízes são onde os pontos tocam o eixo x . O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi A) 0 B) 9 C) 15 D) 18 A temperatura t de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora h do dia, pela expressão t = -h2 + 22h – 85. Responda: a) Em quais horários a temperatura é 0oC? b) Em que período(s) do dia a temperatura é positiva ? E negativa ? c) Em que período(s) do dia a temperatura é crescente ? E decrescente ? d) Em que horário a temperatura é máxima ? Qual é a temperatura máxima ? O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 𝐸 = 𝑡2 − 8𝑡 + 210, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh. b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano? c) Com base nos dados obtidos no item anterior,esboce o gráfico de E.
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