Capítulo 09

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Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
Cap 9-1 
Estatística 
Teoria e Aplicações 
5a. Edição 
Capítulo 9 
Fundamentos dos Testes de Hipóteses: 
Testes para uma amostra 
 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
Cap 9-2 
 
Objetivos de aprendizado 
Neste capítulo, você irá aprender: 
 Os princípios básicos do teste de hipóteses 
 Como usar o teste de hipóteses para testar uma 
média aritmética ou uma proporção 
 Os pressupostos de cada um dos procedimentos do 
teste de hipóteses, como avaliá-los e as 
consequências caso eles sejam violados seriamente 
 Como evitar as armadilhas envolvidas nos testes de 
hipóteses 
 Questões éticas envolvidas em teste de hipóteses 
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Cap 9-3 
 
A Hipótese 
 Uma hipótese é uma afirmativa de um parâmetro 
populacional: 
 Média populacional 
 
 
 
 Proporção populacional 
 
Exemplo: A conta média dos telefones celulares 
desta cidade é μ = R$52,00 
Exemplo: A proporção de adultos nesta cidade com 
telefones celulares é π = 0,68 
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Cap 9-4 
 
A Hipótese Nula, H0 
3μ:H0 
 Estabelece a afirmativa (numérica) a ser testada 
Exemplo: O número médio de aparelhos de TV 
nas residências dos EUA é igual a três. 
 
 É sempre a respeito de um parâmetro 
populacional não de uma estatística amostral. 
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Cap 9-5 
 
A Hipótese Nula, H0 
 Inicie com a afirmativa de que a hipotese 
nula é verdadeira 
 Similar a presunção de inocência até ser 
provado a culpa do réu 
 Refere-se ao “status quo” 
 Sempre contém o sinal “=” , “≤” ou“” 
 Pode ou não ser rejeitada 
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Cap 9-6 
 
A Hipótese Alternativa, H1 
 É oposto da hipótese nula 
 e.g., O número médio de aparelhos de TV nas 
residências nos EUA não é igual a três ( H1: μ ≠ 3 ) 
 Modifica o “status quo” 
 Nunca contém o sinal “=” , “≤” ou “” 
 Pode ou não ser provada 
 Geralmente é a hipótese que o pesquisador está 
tentando provar 
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Cap 9-7 
 
O Processo do Teste de 
Hipóteses 
 Afirmativa: A idade média da população é 50. 
 H0: μ = 50, H1: μ ≠ 50 
 Faça uma amostragem da população e encontre a média amostral 
População 
Amostra 
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Cap 9-8 
 
O Processo do Teste de 
Hipóteses 
 Suponha que a idade média amostral seja X = 20. 
 Isto é significativamente menor que a idade média da 
população (50 anos). 
 Se a hipótese nula fosse verdadeira, a probabilidade de se 
obter uma média muito diferente deve ser muito pequena, 
portanto você deve rejeitar a hipótese nula. 
 Em outras palavras, caso obtenha uma média amostral 
igual a 20 é bastante improvável que a média 
populacional fosse 50. Nesse caso, você conclui que a 
média da população não deve ser igual a 50. 
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Cap 9-9 
 
O Processo do Teste de 
Hipóteses 
Distribuição 
amostral de X 
 μ = 50 
Se H0 é verdadeira 
Se é improvável que 
seja obtido uma média 
amostral com esse 
valor ... 
... então, você deve 
rejeitar a hipótese 
nula, μ = 50. 
20 
... se de fato essa fosse a média 
populacional… 
X 
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Cap 9-10 
 
A Estatística do Teste e os 
Valores Críticos 
 Se a média amostral é próxima da média 
populacional assumida, a hipótese nula não pode 
ser rejeitada. 
 Se a média amostral é muito distante da média 
populacional assumida, a hipótese nula é 
rejeitada. 
 Qual o significado de “muito distante” para 
rejeitar H0? 
 O valor crítico do teste estatístico cria uma 
“linha divisória” para a tomada de decisão. 
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Cap 9-11 
 
A Estatística do Teste e os 
Valores Críticos 
Valores Críticos 
Distribuição da estatística do teste 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Rejeição 
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Cap 9-12 
 
Erros na Tomada de Decisão 
 Erro do Tipo I 
 Rejeitar uma hipótese nula verdadeira 
 Considerado um tipo de erro sério 
 A probabilidade do Erro do Tipo I é indicada por  
 Chamado de nível de significância do teste 
 Adotado previamente pelo pesquisador 
 Erro do Tipo II 
 Fracassar em rejeitar uma hipótese nula falsa 
 A probabilidade do Erro do Tipo II é indicada por β 
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Cap 9-13 
 
Erros na Tomada de Decisão 
Possíveis Respostas do Teste de Hipóteses 
Situação Real 
Decisão H0 Verdadeira H0 Falsa 
Não Rejeitar 
H0 
Decisão Correta 
Confiança = 1 – α 
Erro do Tipo II 
P(Erro do Tipo II) = β 
Rejeitar H0 Erro do Tipo I 
P(Erro do Tipo I) = α 
Decisão Correta 
Eficácia = 1 – β 
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Cap 9-14 
 
Nível de Significância,α 
H0: μ ≥ 50 
H1: μ < 50 
0 
H0: μ ≤ 50 
H1: μ > 50 
 
 
 Representa o 
valor crítico 
Teste 
unicaudal 
inferior 
0 
Teste 
unicaudal 
superior 
Teste bicaudal A região de 
rejeição 
está 
sombreada 
0 
H0: μ = 50 
H1: μ ≠ 50 
Afirmativa: A idade 
média da população é 50. 
/2 
/2 
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Cap 9-15 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
Para um teste bicaudal para a média, σ conhecido: 
 Converta a estatística da amostra ( X ) para a estatística 
do teste 
 
 Determine o valor crítico de Z para um nível de 
significância especificado  tabelado ou usando o Excel 
 Regra de Decisão: Se a estatística do teste ficar na região 
de rejeição, rejeite H0; em caso contrário, não rejeite H0 
n
σ
μX
Z


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Cap 9-16 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
Não rejeite H0 Rejeite H0 Rejeite H0 
 Existem dois 
valores críticos, 
definindo a 
região de 
rejeição 
/2 
-Z 
0 
H0: μ = 3 
H1: μ ≠ 3 
+Z 
/2 
 Valor 
crítico 
inferior 
 Valor 
crítico 
superior 
3 
Z 
X 
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Cap 9-17 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
Exemplo: Teste a afirmativa de que o peso médio verdadeiro das barras 
de chocolate fabricadas em determinada indústria é de 3 onças. 
 
 Estabeleça as hipóteses nula e alternativa 
 H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 (Isto é um teste bicaudal) 
 Especifique o nível de significância desejado 
 Suponha que  = 0,05 seja escolhido para esse teste 
 Escolha o tamanho da amostra 
 Suponha uma amostra com tamanho, n = 100 seja escolhida 
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Cap 9-18 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
 2,0
0,08
16,0
100
0,8
32,84
n
σ
μX
Z 






 Determine a técnica estatística adequada 
 σ é conhecido, portanto isso é um teste Z 
 Quais os valores críticos? 
 Para  = 0,05 os valores críticos de Z são ±1,96 
 Obtenha os dados e calcule a estatística do teste 
 Suponha que os resultados da amostra são 
 n = 100, X = 2,84 
 (σ = 0,8 é assumido ser conhecido previamente) 
Portanto, a estatística 
do teste é:Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
Cap 9-19 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
Rejeite H0 Não rejeite H0 
 A estatística do teste está na região de rejeição? 
 =0,05/2 
-Z= -1,96 0 
Rejeite H0 se 
Z < -1,96 ou 
Z > 1,96; 
caso 
contrário, não 
rejeite H0 
 = 0,05/2 
Rejeite H0 
+Z= +1,96 
Aqui, Z = -2,0 < -1,96, portanto a estatística 
do teste está na região de rejeição. 
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Cap 9-20 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
 Encontre a decisão e interprete o resultado 
 Como Z = -2,0 < -1,96, você rejeita a hipótese 
nula e conclui que existe evidência suficiente 
de que o peso médio das barras de chocolate 
não é igual a 3 onças. 
 
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Cap 9-21 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
6 Etapas de Teste de Hipóteses: 
1. Estabeleça a hipótese nula, H0 e faça o mesmo para 
a hipótese alternativa, H1 
2. Escolha o nível de significância, α, e o tamanho da 
amostra, n. 
3. Determine a técnica estatística adequada e a 
estatística do teste a ser usado 
4. Determine os valores críticos e a(s) região(ões) de 
rejeição 
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Cap 9-22 
 
Testando a Hipótese: σ Conhecido 
5. Obtenha os dados e calcule a estatística do teste 
para os dados amostrais 
6. Compare os valores críticos da estatística do teste 
para determinar se os mesmos ficam na região de 
rejeição. Tome a decisão estatística: Rejeite H0 se 
as estatísticas do teste ficam na região de rejeição. 
Expresse a decisão no contexto do problema 
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Cap 9-23 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
 Abordagem do Valor-p 
 O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma 
estatística de teste igual ou mais extrema (< ou >) do 
que o resultado da amostra considerando que a 
hipótese nula H0 seja verdadeira 
 Também chamado de nível de significância 
observado 
 Menor valor de  para o qual H0 pode ser rejeitado 
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Cap 9-24 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
 Abordagem do Valor-p 
 Converta a Estatística da Amostra (ex. X) 
para a Estatística do Teste (ex. Estatística Z) 
 Obtenha o valor-p de uma tabela ou usando o 
Excel 
 Compare o valor-p com  
 Se o valor-p < , rejeite H0 
 Se o valor-p  , não rejeite H0 
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Cap 9-25 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
 Abordagem do Valor-p 
 Exemplo: Qual a probabilidade da média amostral 
ser igual a 2,84 se a média verdadeira é  = 3,0? 
0228,02,0)P(Z
0228,02,0)P(Z


X = 2,84 é transformado 
para Z escore (Z = -2,0 ) 
Valor-p 
=0,0228 + 0,0228 = 0,0456 
0,0228 
/2 = 0,025 
-1,96 0 
-2,0 
Z 1,96 
2,0 
0,0228 
/2 = 0,025 
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Cap 9-26 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
 Abordagem do Valor-p 
 Compare o valor-p com  
 Se o valor-p <  , rejeite H0 
 Se o valor-p  , não rejeite H0 
Aqui: valor-p =0,0456 
  = 0,05 
Como 0,0456 < 0,05, 
você deve rejeitar a 
hipótese nula 
0,0228 
/2 = 0,025 
-1,96 0 
-2,0 
Z 1,96 
2,0 
0,0228 
/2 = 0,025 
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Cap 9-27 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Conexão com o Intervalo de 
Confiança 
100
0,8
 (1,96) 2,84 até 
100
0,8
 (1,96) - 2,84 
 Para X = 2,84, σ = 0,8 e n = 100, com 95% , o 
intervalo de confiança é: 
 
 
 
 2,6832 ≤ μ ≤ 2,9968 
 Como esse intervalo de confiança não contém a média 
populacional (3,0), você deve rejeitar a hipótese nula com 
 = 0,05 
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Cap 9-28 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Teste Unicaudal ou Unilateral 
 Em muitos casos, a hipótese alternativa 
busca uma direção particular 
H0: μ ≥ 3 
H1: μ < 3 
H0: μ ≤ 3 
H1: μ > 3 
Esta é uma hipótese alternativa para um 
teste unilateral inferior, pois a hipótese 
alternativa está direcionada para a cauda 
inferior abaixo da média 3 
Esta é uma hipótese alternativa para um 
teste unilateral superior, pois a hipótese 
alternativa está direcionada para a cauda 
superior acima da média 3 
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Cap 9-29 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Teste Unicaudal Inferior 
 Existe somente um valor crítico, pois a área 
de rejeição é dada por uma cauda. 
Rejeite H0 Não rejeite H0 
α 
-Z 
μ 
Z 
X 
Valor Crítico 
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Cap 9-30 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Teste Unicaudal Superior 
 Existe somente um valor crítico, pois a área 
de rejeição é dada por uma cauda. 
Rejeite H0 Não rejeite H0 
α 
Z 
μ 
Valor Crítico 
Z 
X 
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Cap 9-31 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Exemplo: Teste Unicaudal Superior 
Um gerente de uma empresa de telefonia celular pensa 
que as contas dos clientes aumentaram e que a média 
mensal agora é superior a R$52,00. A companhia deseja 
testar essa afirmativa. Os registros anteriores da 
companhia indicam que o desvio padrão é de R$10,00. 
H0: μ ≤ 52 a média é menor ou igual a R$52,00 por mês 
H1: μ > 52 a média é maior que R$52,00 por mês 
 (i.e., existe evidência suficiente para a afirmativa do gerente) 
Formule o teste de hipóteses: 
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Cap 9-32 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Exemplo: Teste Unicaudal Superior 
 Suponha que  = 0,10 seja escolhido para o teste 
 Determine a região de rejeição: 
Rejeite H0 Não rejeite H0 
 = 0,10 
Z 0 
Rejeite H0 
1- =0,90 
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Cap 9-33 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Exemplo: Teste Unicaudal Superior 
Qual é o valor de Z para a = 0,10? 
Z 0,07 0,09 
1,1 0,879 0,881 0,883 
1,2 0,898 0,902 
1,3 0,915 0,916 0,918 
z 0 1,28 
0,08 
a = 0,10 
Valor Crítico 
= 1,28 
0,90 
0,900 
0,10 
0,90 
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Cap 9-34 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Exemplo: Teste Unicaudal Superior 
 Obtenha uma amostra e calcule a estatística do teste. 
 Suponha que uma amostra foi tomada com os 
seguintes resultados: n = 64, X = 53,1 (=10 foi 
assumido ser conhecido, em função de registros 
anteriores da companhia) 
 Então, a estatística do teste é: 
0,88
64
10
5253,1
n
σ
μX
Z 




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Cap 9-35 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Exemplo: Teste Unicaudal Superior 
 Faça uma tomada de decisão e interprete o resultado: 
 = 0,10 
1,28 0 
Rejeite H0 
1- = 0,90 
Z = 0,88 
Não rejeite H0 pois Z = 0,88 ≤ 1,28 
i.e.: não existe evidência suficiente para afirmar que a média das contas 
telefônicas mensais seja superior a R$52,00 
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Cap 9-36 
 
Testando as Hipóteses: σ Conhecido 
Exemplo: Teste Unicaudal Superior 
Calcule o valor-p e compare com  
Rejeite H0 
 =0,10 
Não rejeite H0 1,28 
0 
Rejeite H0 
Z = 0,88 
1894,08106,010,88)P(Z
6410/
52,053,1
ZP
53,1)XP(







 


Valor-p = 0,1894 
Não rejeite H0 pois o valor-p = 0,1894 >  = 0,10 
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Cap 9-37 
 
Testando as Hipóteses: 
σ Desconhecido 
 Se o desvio padrão populacional é 
desconhecido, você deve usar o desvio 
padrão amostral, S. 
 Devido a essa mudança, você irá usar a 
distribuição t ao invés da distribuição Z para 
testar a hipótese nula em relação à média. 
 Todas as demais etapas, conceitos, e 
conclusões são as mesmas. 
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Cap 9-38 
 
Testando as Hipóteses: 
σ Desconhecido 
 A estatística de teste t com n-1 graus de 
liberdade é igual a: 
n
S
μX
t 1-n


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Cap 9-39 
 
Testando as Hipóteses: 
Exemplo σ Desconhecido 
O custo médio de um quarto de hotel em New York é 
de $168 por noite. Uma amostragem aleatória de 
25 hotéis resultou em X = $172,50 e S = 15,40. 
Teste com um nível de significância  = 0,05. 
 
(Um gráfico de ramo e folhas mostra que os dados seguem 
uma distribuição aproximadamente normal) 
H0: μ = 168 
H1: μ  168 
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Cap 9-40 
 
Testando as Hipóteses: 
Exemplo σ Desconhecido 
H0: μ = 168 
H1: μ ≠ 168 
 α = 0,05 
 n = 25 
  é desconhecido, 
portanto use a 
estatística t 
 Valor Crítico: 
 t24 = ± 2,0639 
Rejeite H0 Rejeite H0 
α/2=0,025 
-t n-1,α/2 
Não rejeite H0 
0 
α/2=0,025 
-2,0639 2,0639 
t n-1,α/2 
Determine as regiões de rejeição 
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Cap 9-41 
 
Testando as Hipóteses: 
Exemplo σ Desconhecido 
a/2=0,025 
-t n-1,α/2 0 
a/2=0,025 
-2,0639 2,0639 
t n-1,α/2 
1,46
25
15,40
168172,50
n
S
μX
t 1n 




Não rejeite H0: Não existe evidência suficiente de 
que o custo médio verdadeiro seja diferente de $168 
1,46 
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Cap 9-42 
 
Testando as Hipóteses: 
Conexão com Intervalo de Confiança 
 Para X = 172,5, S = 15,40 e n = 25, com 95% 
o intervalo de confiança é: 
 
 
 166,14 ≤ μ ≤ 178,86 
 
 Como o intervalo de confiança contém o valor 
médio (168), você não pode rejeitar a hipótese 
nula com  = 0,05 
25
15,4
 (2,0639) 172,5 para 
25
15,4
 (2,0639) - 172,5 
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Cap 9-43 
 
Testando as Hipóteses: 
σ Desconhecido 
 Lembre que você assumiu que a estatística da 
amostra foi proveniente de uma amostra 
aleatória com distribuição normal. 
 Se o tamanho da amostra é pequeno (< 30), 
você deve usar um gráfico de caixa ou de 
probabilidade normal para se assegurar que o 
pressuposto da normalidade é válido. 
 Se o tamanho da amostra é grande (>30), o 
teorema do limite central se aplica e a 
distribuição da média amostral será normal. 
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Cap 9-44 
 
Testando as Hipóteses: 
Proporções 
 Envolve variáveis categóricas 
 Duas saídas possíveis 
 “Sucesso” (possui uma certa característica) 
 “Insucesso” (não possui uma certa característica) 
 Fração ou proporção da população na categoria 
de “sucesso” é indicado por π 
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Cap 9-45 
 
Testando as Hipóteses: 
Proporções 
amostra da tamanho
amostra na sucessos de número

n
X
p
pμ
n
)(1
σ
 
p
 Proporção da amostra na categoria sucesso é indicada por p 
 
 
 
 Quando nπ e n(1-π) são, no mínimo, iguais a 5, p pode ser 
descrito aproximadamente por uma distribuição normal com 
média e desvio padrão dados por: 
 
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Cap 9-46 
 
Testando as Hipóteses: 
Proporções 
 A distribuição da amostragem de p é 
aproximadamente normal, portanto a 
estatística de teste usada deve ser a Z: 
n
p
Z
)1( 




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Cap 9-47 
 
Testando as Hipóteses: 
Exemplo: Proporções 
 Uma companhia de comunicação afirma que recebe 
8% das respostas por e-mail. Para testar essa 
afirmativa, uma amostra aleatória de tamanho igual 
a 500 foi tomada com 30 respostas por e-mail. 
Teste com um nível de significância,  = 0,05 
Primeiro, verifique: 
 n π = (500)(0,08) = 40 
n(1-π) = (500)(0,92) = 460 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
Cap 9-48 
 
Testando as Hipóteses: 
Exemplo: Proporções 
H0: π = 0,08 H1: π ≠ 0,08 
α = 0,05 
n = 500, p = 0,06 
Valores Críticos: ± 1,96 
z 
0 
Rejeite Rejeite 
0,025 0,025 
1,96 -1,96 
Determine as regiões de rejeição 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
 
Cap 9-49 
 
Testando as Hipóteses: 
Exemplo: Proporções 
Não rejeite H0 com 
 = 0,05 
Estatística do Teste: Decisão: 
Conclusão: 
Não existe evidência 
suficiente para rejeitar a 
afirmativa da companhia 
de que 8% das respostas 
são por e-mail. 
1,648
500
08),00,08(1
08,00,06
n
)(1
Z 







p
z 0 
0,025 0,025 
1,96 -1,96 
-1,646 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
Cap 9-50 
 
Armadilhas Potenciais e 
Questões Éticas 
 Faça amostragem aleatória de dados para reduzir tendência 
na seleção 
 Nunca use dados de pessoas sem o consentimento formal 
 Escolha o nível de significância, α, antes da coleta dos 
dados 
 Não empregue “a espionagem dos dados” para escolher um 
teste unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de 
significância 
 Não faça “limpeza dos dados” para esconder observações 
que não suportam a hipótese estabelecida 
 Relate todas as informações pertinentes 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC 
 
Cap 9-51 
 
Sumário do Capítulo 
Neste capítulo, 
 Examinamos a metodologia do teste de hipóteses 
 Fizemos o teste Z para a média (σ conhecido) 
 Discutimos o tratamento do valor crítico e valor-p 
nos testes de hipóteses 
 Fizemos testes unicaudal e bicaudal 
 Fizemos teste t para a média (σ desconhecido) 
 Fizemos o teste Z para a proporção 
 Discutimos armadilhas e questões éticas