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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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5 – Índice de Esbeltez 
 
 A fórmula de Euler pode ser reescrita utilizando o conceito de raio de giração r da 
seção, tal que: 
 
 2rAI ⋅= (7) 
 
onde A é a área da seção e r é o raio de giração (distância hipotética em que estaria 
concentrada toda a área). 
 
 Substituindo na fórmula de Euler, chega-se a: 
 
 
2
e
2
2
e
22
cr
r
L
AE
L
rAEP
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅⋅=⋅⋅⋅= ππ (8) 
 
 A relação r
Le é chamada índice de esbeltez da coluna. 
 
 O valor da tensão que corresponde à carga crítica é chamado tensão crítica e 
designado por crσ , tal que: 
 
 
2
e
2
cr
cr
r
L
E
A
P
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅== πσ (9) 
 
 A expressão anterior mostra que a tensão crítica é proporcional ao módulo de 
elasticidade do material e inversamente proporcional ao quadrado do índice de esbeltez da 
coluna. 
 O gráfico de crσ em função de rLe foi feito para o aço estrutural, com 
GPa 200E = e MPa 250y =σ . 
 
L 
Le = L Le = 2L Le = 0,5L Le = 0,7L 
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Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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Le/r 
100 
200 
300 
σcr (MPa) 
Aço estrutural 
curta intermediária longa
100 200 
σy 
Fórmula de Euler
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra que, para colunas longas e delgadas (com índice de esbeltez 
elevado), a tensão considerada crítica para o dimensionamento é aquela dada pela fórmula 
de Euler, enquanto que para colunas curtas e robustas, a tensão crítica será a de 
escoamento do material. 
 Para colunas com esbeltez intermediária, várias fórmulas empíricas são propostas na 
bibliografia especializada, objetivando a determinação da carga crítica de ruína para cada 
tipo de material. 
 
 
6 – Carga excêntrica. Fórmula da Secante. 
 
 Chamemos de e à excentricidade da carga P aplicada à coluna bi-articulada da 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo a carga excêntrica por uma carga concentrada P e um momento fletor 
conjugado MA igual a eP ⋅ , fica claro que, por menor que sejam a carga P e a 
excentricidade e, o momento MA sempre irá provocar alguma flexão na coluna. 
 Se a carga excêntrica aumentar, aumentam também a carga centrada P e o 
conjugado MA, o que provoca majoração da flexão na coluna. Assim, o problema da 
flambagem não é mais uma questão de se determinar até que ponto uma coluna se mantém 
reta e estável sob a ação de uma carga crescente, mas uma questão de se determinar até 
que ponto pode-se permitir a majoração da flexão pelo aumento da carga, sem exceder a 
tensão admissível ou a deflexão máxima permitida maxy . 
L
2
L
ymáx 
P 
P 
e 
y 
Q 
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 Chamando de x a distância da extremidade A da coluna até o ponto Q de sua linha 
elástica e de y a deflexão desse ponto, observamos que o momento fletor em Q é: 
 
 ePyPMyPM A ⋅−⋅−=−⋅−= (10) 
 
 Substituindo o valor de M na equação da elástica: 
 
 
IE
eP
IE
yP
dx
yd
2
2
⋅
⋅−=⋅
⋅+ (11) 
 
que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
 A solução dessa expressão resulta em: 
 
 
2
2
cr
L
IEP ⋅⋅= π 
 
que é a própria fórmula de Euler. 
 
 A tensão máxima ocorre na seção da coluna em que atua o maior momento fletor e é 
obtida pela soma da tensão normal devida à força axial e da tensão normal devida ao 
momento fletor máximo: 
 
 
( )
I
ceyP
A
P
I
cM
A
P maxmax
max
⋅+⋅+=⋅+=σ (12) 
 
onde: 
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅= 12
L
IE
Pseceymax (13) 
 
 Na eq. (12), c é a distância da fibra mais afastada em relação ao centróide da seção 
transversal. 
 
 Substituindo na expressão anterior o valor de maxy e 
2rAI ⋅= , chega-se a: 
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅
⋅+⋅=
r
L
AE
P
2
1sec
r
ce1
A
P e
2max
σ (14) 
 
onde o comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para 
quaisquer condições de extremidade. 
NOTA: A tensão maxσ não varia linearmente com a carga P, logo: 
 
a) Não se deve aplicar o princípio da superposição para a determinação das tensões 
provocadas por várias cargas aplicadas simultaneamente. Primeiro, calcula-se a 
resultante dos carregamentos, depois obtém-se maxσ ; 
b) O coeficiente de segurança deve ser aplicado ao carregamento e não à tensão. 
 
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 Escrevendo a equação anterior para a relação A
P , tem-se: 
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅
⋅+
=
r
L
AE
P
2
1sec
r
ce1
A
P
e
2
maxσ (15) 
 
que é conhecida como fórmula da secante. 
 
 
OBS: 
 
a) O comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para 
quaisquer condições de apoio; 
b) Uma vez que A
P aparece nos dois membros, a Eq. (15) deve ser resolvida de 
forma interativa. 
 
 
 
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Bibliografia 
 
Beer, F. P., Johnston Jr, E. R., Resistência dos Materiais, Makron Books, 3 ed, 1996. 
 
Notas de aula de Resistência dos Materiais I e II, UFF. 
 
Pamplona, C. F. M., Barbosa, P., Resistência dos Materiais X, www.uff.br/teleresmat. 
 
Sussekind, J. C., Curso de Análise Estrutural, v. 1, Editora Globo. 
 
Timoshenko, S. P., Gere, J. E., Mecânica dos Sólidos, v. 1, Livros Técnicos e Científicos, 
1984. 
 
Timoshenko, S. P., Gere, J. E., Mecânica dos Sólidos, v. 2, Livros Técnicos e Científicos, 
1984.

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