lista 5 álgebra linear exercícios resolvidos

Prévia do material em texto

Respostas da Preparação Prévia 05 1º Semestre 2017 
Pág. 1 de 4 
Nome: ______________________________________________ Data: ___/___/_____ 
Assinatura: __________________________ R.A. _______________ Curso: ____________ 
Professor: José Mirtênio da Paz Turma: Engenharia 
 
 
1. Use vetores para encontrar os cossenos dos ângulos internos do triângulo de vértices ��3, 0, 2�, ��4, 0, 3�, 
�8, 1, −1� e responda qual vértice está o ângulo reto? 
 
b) � = 76�10`; � = 90�; � = 13�50` o ângulo reto está no vértice B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 �� = � − 
 �� = �−4, −1, 4� |��| = √33 
 ��� = 
 − � ��� = �5, 1, −3� ��� = √35 
 !� = � − � !� = �−1, 0, −1� |!�| = √2 
 
�
= �"!!#$%& ' !� . ���|!�| . ��� ) ��� = �5, 1, −3� !� = �1, 0, 1� !�. ��� = 2 
 � = �"!!#$%& * 2√70+ , = -./0/` 12345 cos 92 ÷ ; 70< = � , , ,
 
� = �"!!#$%& = !� . ��|!�| . |��|> �� = �4, 1, −4� !� = �−1, 0, −1� !�. �� = 0 
 � = �"!!#$%& * 0√66+ ? = @// 
 12345 cos 90 ÷ ; 66< = � , , ,
 
� = �"!!#$%& ' �� . ���|��| . ��� ) �� = �−4, −1, 4� ��� = �−5, −1, 3� ��. ��� = 33 
 � = �"!!#$%& * 33√1155+ A = 0B/C@` 12345 cos 933 ÷ ; 1155< = � , , ,
 
 
 
2. Sendo D�� = �−2, E, E� e F� = �E, 5, E�, para qual o valor de E, se houver, são ortogonais D�� e F�? 
 
e) E = 0 #D E = −3 
 D��. F� = 0 −2E + 5E + EH = 0 EH + 3E = 0 E. �E + 3� = 0 ∴ E& = 0 J EH = −3 
� 
� 
� !� 
�� 
��� 
. 
A 
C B 
 Respostas da Preparação Prévia 05 1º Semestre 2017 
Pág. 2 de 4 
 
3. Sabendo que a distância entre dois vetores é aplicada a fórmula: 
 K�D, F� = ‖D − F‖ = ;�D − F�. �D − F�, pergunta-se qual a distância entre os vetores: 
 D = �3, 3, 3� e F = �1, 0, 4�? 
 
a) √14 ≅ 3,74 
 
 
4. Seja N um espaço vetorial euclidiano e D, F ∈ P. Determinar o cosseno do ângulo entre os 
vetores D e F, sabendo que: |D| = 3, |F| = 7 e |D + F| = 4√5 e que a relação de Cauchy-
Schawarz: |D + F|H = |D|H + 2. D. F + |D|H 
. 
 
b) � = 58�24` 
 |D + F|H = |D|H + 2. D. F + |D|H 
 Q4. √5RH = 3H + 2. D. F + 7H 80 = 9 + 2. D. F + 49 80 − 58 = 2. D. F 2. D. F = 22 D. F = 11 
 cos � = D. F|D|. |F| 
 cos � = 1121 ∴ � = 58�24` 
 
 
 
5. Determinar o valor de S para que os vetores D�� = �2, S, −3� e F� = �S − 1, 2, 4� sejam 
ortogonais em relação ao produto interno usual do 3TU. 
 
d) 7 2⁄ 
 D��. F� = 0 �2, S, −3�. �S − 1, 2, 4� = 0 2S − 2 + 2S − 12 = 0 4S − 14 = 0 S = 144 ∴ S = 72 
 
 
 
 
 Respostas da Preparação Prévia 05 1º Semestre 2017 
Pág. 3 de 4 
 
6. Calcule o produto vetorial dos vetores D�� = W� − X� + E�� e F� = 2W� − 3X� + 4E��. 
 
e) −W� − 2X� − E�� 
 
D��^F� = Z W� X� E��1 −1 12 −3 4Z = �−1, −2, −1� 
 
 
7. Sabendo que o módulo do produto vetorial dos vetores D�� e F� é igual a √62, sendo: | D��^F�| =√62; calcule o valor de [, sendo os vetores: D�� = �2, 1, −1� e F� = �1, −1, �� 
 
a) � = 3 #D � = −17 5⁄ 
 
D��^F� = Z W� X� E��2 1 −11 −1 � Z = �� − 1, −2� − 1, −3� 
 ;�� − 1�H + �−2� − 1�H + �−3�H = √62 
 �H − 2� + 1 + 4�H + 4� + 1 + 9 = 62 
 5�H + 2� − 51 = 0 ∴ � = 3 #D � = −17 5⁄ 
 
 
8. Calcular o valor de S, sendo: | D��^F�| = √26; sendo os vetores: D�� = �S, −3, 1� e F� = �1, −2, 2� 
 
b) S = 0 #D S = 2 
 
 
D��^F� = Z W� X� E��S −3 11 −2 2Z = �−4, 1 − 2S, −2S + 3� 
 
 ;�−4�H + �1 − 2S�H + �−2S + 3�H = √26 
 16 + 1 − 4S + 4SH + 4SH − 12S + 9 = 26 
 8SH − 16S + 26 − 26 = 0 SH − 2S = 0 S. �S − 2� = 0 ∴ S = 0 #D S = 2 
 
 
 Respostas da Preparação Prévia 05 1º Semestre 2017 
Pág. 4 de 4 
 
9. Classifique como Verdadeiro (V) ou Falso (F) que os vetores D�� = �3, 1, 2� e F� = �−2, 2, 5�, são 
ortogonais, usando a seguinte relação: � D��^F�� . D�� = 0, ou então, � D��^F�� . F� = 0. 
 
D��^F� = Z W� X� E��3 1 2−2 2 5Z = �1, −19, 8� 
 � D��^F�� . D�� = 0 � 1, −19, 8� . �3, 1,2� = 3 − 19 + 16 = 0 � D��^F�� . F� = 0 � 1, −19, 8� . �−2, 2, 5� = −2 − 38 + 40 = 0 
 
Verdadeiro (V) 
 
10. Classifique como Verdadeiro (V) ou Falso (F) que os vetores D�� = �1, 1, 4� e F� = �−1, 2, 2�, 
tem o seno do ângulo entre eles igual a 60�, usando a seguinte fórmula: $J\ � = |D��^F�||D��|. |F�| 
 
D��^F� = Z W� X� E��1 1 4−1 2 2Z = �−6, −6, 3� 
 
$J\ � = |D��^F�||D��|. |F�| 
 
 
$J\ � = √81√18. √9 
 $J\ � = 93. √18 
 $J\ � = 3√18 
 � = �"!$J\%& * 3√18+ 
 � = 45� 
 
Falso (F)