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Castro & Meggiolaro 1 Revisão de Análise de Tensões Castro & Meggiolaro 2 Ëconsidera-se nesta análise das tensões que o material da peça é sempre linear, elástico, isotrópico e homogêneo Ëlogo, assume que as tensões e deformações em qualquer ponto da peça seguem lei de Hooke que, na notação de engenharia, pode ser dada por: Análise de Tensões ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ τ=γ τ=γ τ=γ σ+σν−σ=ε σ+σν−σ=ε σ+σν−σ=ε yzyz xzxz xyxy yxzz xzyy zyxx G G G )(E )(E )(EÀE é o módulo de elasticidade àtração e G o módulo elástico ao cisalhamento Àεx, εy, εz são as deformações e σx, σy, σz as tensões normais Àγxy, γxz, γyz são as deformações e τxy, τxz, τyz as tensões cisalhantes Àν é o coeficiente de Poisson (aços: ν = 0.29; Al: ν = 0.33) Castro & Meggiolaro 3 Tensões Principais Ëσ1, σ2 e σ3 são as tensões principais, obtidas nas direções em que a tensão cizalhante é nula Ëdados σx, σy e τxy em um plano xy qualquer, obtemos Ëse τxy = 0, então Ëe se σy = 0, 2 xy 2 yxyx 2,1 22 τ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ σ−σ±σ+σ=σ y2x1 , σ=σσ=σ 2 4 2xy 2 xx 2,1 τ+σ±σ=σ Castro & Meggiolaro 4 Tensões de Tresca e Mises Ëas tensões de Tresca e Mises são: (σ1,σ2 eσ3 são as tensões principais) Ëno caso plano (com componentes σx, σy e τxy): se σ2 < 0, ou se σ2 > 0 31Tresca σ−σ=σ 2/])(6)()()([ 2/])()()([ 2 xz 2 yz 2 xy 2 zx 2 zy 2 yx 2 32 2 31 2 21Mises τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ =σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ 2 xy 2 yxTresca 4)( τ+σ−σ=σ 2/]4)([ 2xy 2 yxyxTresca τ+σ−σ+σ+σ=σ 2 xyyx 2 y 2 xMises 3τ+σσ−σ+σ=σ Castro & Meggiolaro 5h muito cuidado com o sinal de σ2 ao calcular a tensão de Tresca no caso de tensões planas (onde σ3 = 0): se σ2 > 0, τmax atuará no plano 1-3 e não no plano 1-2, como ilustrado pelos círculos de Mohr abaixo Castro & Meggiolaro 6 Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos: Ëseção reta circular: Ëseção reta retangular: Tração d xP A P x =σ 2x d P4 π=σ4 dA 2π= b hbhA = bh P x =σ Castro & Meggiolaro 7 Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos: Ëseção reta circular: Torção d L T z xy I rT ⋅=τ r r z 32 dI 4 z ⋅π= 34xy d T16 32/d 2/dT max π=⋅π ⋅=τ zz GI TL)L( IG T dz d =φ⇒⋅= φo ângulo de torção φ(z) é: em r = d/2 Castro & Meggiolaro 8 Ëtorção em viga com seção reta oca de paredes finas: área A tA2 T ⋅⋅=τ T t seção reta a tensão cisalhante na parede é aproximadamente: Castro & Meggiolaro 9 Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos: Ëseção reta circular: Flexão d L P zz x I yM ⋅=σ y y x 64 dI 4 zz ⋅π= LPM ⋅= 34x d PL32 64/d 2/dLP max π=⋅π ⋅⋅=σ e, neste caso, no engaste: zz 2 2 IE M dx wd ⋅=a deflexão w(x) é calculada por: em y = d/2 Castro & Meggiolaro 10 Ëseção reta retangular: b h y 12 hbdybyI 32/h 2/h 2 zz ⋅=⋅⋅= ∫ − 23x bh PL6 12/hb 2/hLP max =⋅ ⋅⋅=σ esforço cortante: ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=τ 2 2 zz xy y2 h I2 P)y( bh2 P3 2 h 12/hb2 P 2 3xymax =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅=τ e na seção circular: 2xy d3 P16 max π=τ em y = h/2 na linha neutra Castro & Meggiolaro 11¼ex.1: ache a maior tensão na viga bi-apoiada esquematizada abaixo com seção retangular de base b = 20, altura h =10, comprimento L = 200 (cotas em mm), quando submetida a duas cargas P = 1kN, uma a 80 e outra a 160mm do apoio esquerdo 80 80 40 PP R1= 0.8P 1.2P= R2 Ëpelo diagrama de momento fletor abaixo, o momento e a tensão máximos ocorrem na seção abaixo da carga a 80mm da esquerda: M = 80R1 = 64P e M 64P 48P 22max )mm10(mm20 N1000mm646 bh M6 ⋅ ⋅⋅==σ MPa192mm/N192 2max ==σ � Castro & Meggiolaro 12¼ex.2: ache a menor carga P que causa escoamento na viga I esquematizada abaixo (cotas em mm), se SE = 250MPa kN186P250 1047.4 125P480SI 2/HM mm1047.412 230110250120 12 h)bB(BHI 7E 473333 =⇒=⋅ ⋅⋅⇒=⋅=σ ⋅=⋅−⋅=−−= � B=120 H =2 50 1200800 P 0.6P 0.4PM = 0.6P ⋅800 = 480P h =2 30 b =10 Castro & Meggiolaro 13¼ex.3: calcule a tensão de Mises no ponto crítico de um eixo circular de diâmetro d, sob fletor M e torçor T ·o problema é linear elástico, logo vale a superposição 2 3 2 3Mises )d T16(3) d M32( π⋅+π=σ T M 3d M32 π=σ na seção do engaste: 3d T16 π=τ a flexão causa no ponto superior da seção: a torção causa na periferia da seção: 222 xyyx 2 y 2 xMises 33 τ+σ=τ+σσ−σ+σ=σ logo, por Mises: � Castro & Meggiolaro 14Ëa análise de tensões linear elástica preserva o princípio da superposição: quando for conveniente, pode-se separar a carga em componentes simples, calcular seus efeitos em separado e depois superpô-los ¼ex.4: se a alavanca de Al (E = 70GPa, ν= 0.33) abaixo tem diâmetro d = 30mm e se P = 1kN, calcule as tensões e as deformações principais σ1,σ2,ε1 e ε2 nominais que solicitam o seu ponto crítico (neste caso, os extremos do diâmetro vertical da seção do engaste) 400mm 200 P y x ËP causa um fletor M = 1000⋅400 = 4 ⋅105 e um torçor T = 1000 ⋅200 = 2 ⋅105Nmm, que geram no ponto crítico as tensões normal σx = 32M/πd3 = 151 e cisalhante τxy = 16T/πd3 = 37.7MPa Castro & Meggiolaro 15Àem geral não vale a pena calcular tensões com mais de 3 dígitos significativos, pois em geral não se conhecem as resistências com precisão melhor que esta Ëσ1 e σ2 são calculadas superpondo os efeitos de σx e τxy: Ëe as deformações principais são obtidas por lei de Hooke: ε1 = (σ1−νσ2)/E = 2328µm/m ε2 = (σ2−νσ1)/E = −881µm/m � MPa9.8,MPa0162/)4( 21 2 xy 2 xx2,1 −=σ=σ⇒τ+σ±σ=σ σx τxy y xz obs.: as direções 1 e 2 estão no plano xz, no ponto A A Castro & Meggiolaro 16¼ex.5: se a alavanca de seção circular abaixo é sujeita à carga P = 2kN, calcule por Mises a tensão no seu ponto crítico b = 500 a = 30 0 P 30o x y detalhe do engaste a carga P atua no plano xy perpendicular ao plano da alavanca, e com este faz um ângulo de 60o Ëcomo este problema é linear, é didático resolvê-lo passo a passo pelo princípio da superposição: Àdecompondo P em Px e Py Àidentificando os esforços Àcalculando tensões no ponto crítico da seção do engaste Àsuperpondo as várias tensões por Mises ou por Tresca Ëcomo só há 4 tipos de esforços (fletores e torçores, normais e cortantes), pode-se facilmente construir uma tabela com as tensões causadas por Px e Py 40 Castro & Meggiolaro 17 carga esforço tensões nominaismáximas distribuição das tensões na seção do engaste fletor Mx 3 x xM d aP32 π ⋅=σ linear, com o eixo neutrona posição vertical Px normal Nx 2 x xN d P4 π=σ uniforme em todos os pontos da seção fletor My 3 y yM d bP32 π ⋅=σ linear, com o eixo neutrona posição horizontal torçor Ty 3 y yT d aP16 π ⋅=τ linear, máximo em toda aperiferiaPy cortante Cy 2 y yC d3 P16 π=τ distribuição parabólica, máximo na linha neutra horizontal e zero nos pontos mais distantes Castro & Meggiolaro 18Ëas maiores tensões devidas ao torçor e ao normal agem em toda a periferia da seção do engaste, onde se localiza também, num ângulo θ em relação ao eixo z, o ponto mais solicitado pelos dois fletores Mx e My, o qual é localizado maximizando o valor de σM(θ) ËσMx e σMy (e σNx) atuam na mesma direção (são todas ⊥ ao plano do engaste), logo podem ser somadas Ëa notação σMx deve ser lida como tensão normal devida ao fletor induzido por Px, e assim por diante localização do ponto crítico na periferia da seção do engaste, num ângulo θ em relação a z Castro & Meggiolaro 19Ë logo, o ponto da alavanca mais solicitado pela superposição dos esforços normais, torçores e fletores está localizado na superfície do 1o quadrante da seção do engaste, num ângulo θΜ = tan−1(σMy/σMx) em relação ao eixo z Àno entanto, θM não maximiza também τC(θ), e σMises(θ) deveria ser recalculada considerando o cortante (mas as tensões por ele induzidas são em geral desprezíveis, e em geral este trabalhão todo não vale a pena) Ëassim, desprezando em primeira aproximação o cortante, a tensão de Mises é dada por: Ësubstituindo os valores numéricos apropriados, obtém-se: 2 T 2 NMMises 3)( τ+σ+σ=σ 3570)30030sinP/50030cosP(tana ′°=⋅⋅=θ kN2P,30sinPP,30cosPP xy === Castro & Meggiolaro 20 Ào máximo valor da tensãoalternada induzida pelo cortante é τCa = 16⋅2000cos30/3π⋅402 = 1.8MPa Àneste caso, tanto o cortante como o normal induzem tensões muito pequenas em relação ao torçor e ao fletor ·como em geral não se mede as resistências das ligas metálicas com precisão maior que 1MPa, não se deve calcular as tensões com resolução maior que esta MPa146)cos30030sinnis50030cos( 40 200032 3M =θ⋅+θ⋅π ⋅=σ MPa41 40 30030cos200016,MPa8.0 40 30sin20004 3T2N =π ⋅⋅=τ=π ⋅=σ MPa163413)8.0146( 22Mises =⋅++=σ � 2 T 2 NMMises 3)( τ+σ+σ=σ Castro & Meggiolaro 21 Vasos de Pressão Ëlonge das tampas de vasos de pressão cilíndricos, a tensão tangencial na parede cilíndrica σθ é dada por σθ = pr/t e a axial σa é dada por σa = pr/2t, onde p é a pressão interna, r é o raio do vaso e t a (pequena) espessura da parede Ëé trivial achar qualquer destas componentes: basta equilibrar as forças atuantes nas duas metades do cilindro, para obter σθ = (p×2r×l)/(2×t×l), onde l é o comprimento do cilindro, ou equilibrar a força nas tampas, para achar σa = (p×πr2)/(2πr×t) Ëa tensão radial σr na parede interna é desprezada, mas pode ser facilmente adicionada: σr = −p Castro & Meggiolaro 22 r t pressão interna p σa = pr/2t σθ = pr/tσr =−p parede interna σa = pr/2t σθ = pr/t parede externa D d Castro & Meggiolaro 23 Ëa teoria da máxima tensão cisalhante ou de Tresca, prevê início do escoamento sob um estado complexo de tensões quando a máxima tensão cisalhante τmax (atuante no ponto crítico da peça) atingir a metade da resistência ao escoamento do material, a qual é medida num teste de tração uniaxial: τmax= SE/2 Ëa tensão de Tresca σT é a tensão normal uniaxial que corresponde a τmax: σT = 2⋅τmax =σ1−σ3, onde σ1 é a maior e σ3 é a menor tensão principal atuantes Ëportanto, para se projetar um cilindro de pressão por Tresca pelo modelo de paredes finas e desprezando σr, basta fazer σT = p⋅r/t = SE/ϕ, onde ϕ é um fator de segurança apropriado (que depende do material e do uso do vaso) Castro & Meggiolaro 24 Ëmas este não é um procedimento intrinsecamente seguro, já que a menor tensão principal atuante na parede do vaso, σ3 =σr =−p, é menor que zero Ëlogo, como σT =σθ + p, não se deve desprezar a σr que atua na parede interna, usando no projeto do vaso a expressão igualmente simples p⋅(r/t +1) = SE/ϕ Ëalém disto, deve-se enfatizar que “paredes finas” é um conceito relativo: cilindros de pressão reais têm um diâmetro externo D e um diâmetro interno d, logo uma espessura finita t = (D−d)/2 Àdesta forma, no projeto de vasos reais há diferença numérica entre os cálculos baseados nos diâmetros interno d, externo D, e médio, dm = (D + d)/2 Àesta diferença cresce com a razão t /D Castro & Meggiolaro 25 Ëassim, o projeto do vaso cilíndrico de paredes finas segundo Tresca é melhor aproximado por: Àpara estarmos do lado da segurança, pode-se super- estimar r pelo raio externo D/2 do vaso Ëcomo a hipótese de paredes finas no projeto de vasos de pressão esféricos leva às tensões σ1 =σ2 = pr/2t, pode-se usar a mesma idéia para dimensioná-los, obtendo-se a tensão de Tresca σT = 2⋅τmax =σ1−σ3 = pr/2t− (−p), logo: ϕ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅ ES1 t rp ϕ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅ ES1 t2 rp , onde r = dm/2 = (D + d)/4 , onde r = dm/2 = (D + d)/4 Castro & Meggiolaro 26 Vasos de Pressão - Solução de Lamé Ëa solução exata do problema da análise de tensões na região cilíndrica do vaso de pressão, desde que longe da influência das suas tampas, foi obtida por Lamé (e está desenvolvida no capítulo 5) Ëeste problema é axissimétrico (o cilindro tem raios ri e re, e é submetido a pressões pi e pe) e tanto σr como σθ só dependem da coordenada radial r: 22 i 2 e ei 2 e 2 i 2 i 2 e e 2 ei 2 i r r 1 rr )pp(rr rr prpr ⋅− −−− −=σ 22 i 2 e ei 2 e 2 i 2 i 2 e e 2 ei 2 i r 1 rr )pp(rr rr prpr ⋅− −+− −=σθ Lamé: Castro & Meggiolaro 27 Ëno caso particular (importante) de um vaso de pressão interna, onde pi = p e pe = 0, as equações se resumem a Ëneste caso, o maior valor da tensão de Tresca por Lamé ocorre na parede interna do vaso, onde σθ é máximo e σr é mínimo, e vale: Àa fórmula da tensão de Tresca obtida por Lamé é tão simples quanto as dos diversos modelos de paredes finas, e além disso ela é exata ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅−=σ 2 2 e 2 i 2 e 2 i r r r1 rr pr ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅−=σθ 2 2 e 2 i 2 e 2 i r r1 rr pre ϕ=− ⋅=+− +=+− + E 2 2 2 2 2 i 2 e 2 i 2 e S] 1)d/D( )d/D(2[p]1 1)d/D( 1)d/D([p)1 rr rr(p Castro & Meggiolaro 28 r t pressão interna p D d ϕ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⋅ ES1 t4 dDp vaso cilíndrico de paredes finas (solução aproximada): ϕ=− ⋅ E 2 2 S] 1)d/D( )d/D(2[p vaso cilíndrico de qualquer espessura (solução exata): ϕ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⋅ ES1 t8 dDp vaso esférico de paredes finas (solução aproximada): Castro & Meggiolaro 29¼ ex.6: calcule por Mises, considerando o efeito da pressão interna em σr, a mínima espessura t da parede cilíndrica de um vaso de pressão de raio externo 200mm, feito de aço com SE = 252MPa, para resistir sem escoar a uma pressão interna de 2MPa, considerando um fator de segurança ao escoamento ϕ = 4 Ëcomo σθ = pr/t, σa = pr/2t e σr = −p, assumindo que r seja o raio externo do vaso (para estar do lado da segurança) e usando Mises obtém-se: Ëassim, a espessura da chapa deve ser pelo menos t = 5.65mm 1t r 2 3 t r 4 3p)pt2 pr()pt pr()t2 pr(2 1 2 2222 Mises ++⋅=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++++=σ 4.35t r)p4 252(1t r 2 3 t r 4 3S 2 2 2 F E Mises =∴⋅=++⇒ϕ=σ � Castro & Meggiolaro 30¼ ex.7: calcule a tensão equivalente de Mises de um vaso de pressão cilíndrica de raio externo r e espessura t, sob pressão interna p combinada a um momento torçor T Ëa pressão interna gera σθ = pr/t, σa = pr/2t e σr = −p, e a torção causa uma tensão cisalhante: Ë e a tensão de Mises é dada por Ëe assim ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π+++++=σ 2 2 222 Mises )tr2 T(6)pt2 pr()pt pr()t2 pr(2 1 � tr2 T tA2 T 2 ⋅π⋅=⋅⋅=τ (torção em paredes finas) 2 242 2 2 2 Mises T)tr4 3(p)1t r 2 3 t r 4 3( π+++=σ r t p T
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