lista 3 Sistemas Lineares 2017(2).pdf

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EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra linear 
Semestre: 2017.1 
LISTA III 
SISTEMAS LINEARES 
 
1) Quais das equações a seguir são lineares em x, y e z? 
 
a) 5x – 4y + 9z = 6. 
b) 3x – 5y = ln z. 
c) px + ey – p2z = 41/3. 
d) xy + 3yz – 7xz = 2. 
e) x – 5 y + z = p. 
f) 3x – ey + e2z = e3. 
 
2) Diga quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada, em forma escalonada reduzida ou em nenhuma 
dessas formas.: 
 
A = (
1
0
0
 0 
 0
 0
 
 0
 1
 0
 0
 0
 1
 −3
 4
 2
); B = (
0
0
0
 1 
 0
 0
 
 0
 1
 0
 0
 0
 −1
 5
 −4
 3
); C = (
0
0
0
 1 
 0
 1
 
 0
 1
 0
 0
 0
 −2
 5
 4
 3
); 
 
 
 D = 
(
 
 
0
0
0
0
0
 
1
0
0
0
0
 
0
0
0
0
0
 0
 0
 1
 0
 0
 2
 −1
 4
 0
 −1)
 
 
; E = 














00000
31000
00100
20001
; F = 















00000
01000
32100
00000
 
 
G = (
1
0
0
 0 
 1
 0
 
 −1
 1
 0
 2
 3
 0
) H = (
0
1
0
 1 
 0
 0
 
 −1
 1
 1
) I = 

















11000
31100
45210
75321
 J = (
1 1 
0 0
0
0
0
0
 0 2
 0 0
 1
 0
−4
 0
) 
 
3) Para cada um dos sistemas dados a seguir, encontre a matriz ampliada do sistema e escalone a matriz 
correspondente para obter uma linha equivalente na forma escalonada reduzida por linhas. 
 
a) 








953
2223
622
zx
zyx
zyx
 b) 








1
643
42
zyx
zyx
zyx
 c) 





2
4
zyx
zyx
 d) 








3463
2242
032
zyx
zyx
zyx
 
 
e) 








3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 f) 








03
05
010
zy
zx
yx
 g) 








8z3yx3
5z2y2x
9zy3x2
 h) 








6zy4x3
4z2y3x2
2zyx
 
 
 i) 










2222
9222
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
(Use: 
cba yx  z2 e 2,2
) 
 
 
4) Em cada um dos seguintes itens considere a matriz escalonada linha equivalente à matriz ampliada de um sistema. 
A partir dessas matrizes, discuta o sistema original e dê o conjunto-solução, quando for o caso. 
 
 
 
1000
0310
0201
 d) 
0100
0010
0001
 c) 
2100
2010
3001
 b) ,
00000
31210
52101
 )a 








































 
 
5) Escreva uma matriz 3 × 5 que esteja em forma escalonada reduzida sem linha nula e que e a matriz aumentada 
de um sistema com uma infinidade de soluções. 
 
6) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPD, SPI ou SI. 
 
a) 








12274
5432
432
zyx
zyx
zyx
 b) 








13427
5423
432
xzy
zxy
zyx
 c) 








12962
5642
432
zyx
zyx
zyx
 d) 











16537
4375
0753
12753
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
 
e) 











0
5
4
2
zyx
yx
zy
zx
 f) 








26
0222
12
yx
tzyx
tzyx
 g) 








322 
1 22
6 
t zy- x
tz yx
 t zy x
 
7) Determine para que valores de m e n o sistema 








nmzyx
zyx
zyx
3
42
132
 seja: 
a) Indeterminado b) impossível 
 
8) Determine os valores de k R, para que os sistemas sejam SPD: 
 
 
a) 








0kzyx2
0z3kyx
0z2kyx
 b) 





k31y2x)1k(
k2y4x)1k(
 c) 








1z9y4xk
7z3y2kx
1zyx
2
 
 
9) Determinar os valores de a e b que tornam o sistema 











12
2535
73
bayx
ayx
byx
ayx
compatível e determinado, ou seja, 
tenha uma única solução. Em seguida resolver o sistema. 
 
10) Encontrar a equação da parábola y = ax2 +bx + c, sabendo que ela passa pelos pontos P1(1, 2); P2( 1, 12) e 
P3(4, 2). 
 
11) Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam juntos R$100,00. Dois pares de tênis, cinco bermudas e 
oito camisetas custam juntos R$235,00. Quanto custam juntos um par de tênis, uma bermuda e uma camiseta? 
 
12) Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. Usando 
dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de bronze com 
exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem ser 
usados? 
 
13) Para controlar um certo tipo de praga numa safra de café devem ser usadas três unidades de um produto químico 
tipo A, duas unidades do tipo B e duas unidades do tipo C. Um barril do spray comercial P, contém uma unidade 
do produto químico A. Um barril do spray comercial Q, contém uma, duas e uma unidades, respectivamente, 
desses produtos. Um barril do spray comercial R contém uma unidade de cada produto. Quantos barris de cada 
tipo de spray devem ser usados para preparar exatamente a quantidade de produto químico necessário para o 
controle da praga? 
 
14) Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1g) determinou-se que: 
 
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A; 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. 
ii) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A; 3 unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C. 
iii) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A; 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B. 
 Se são necessárias 11 unidades de vitamina A; 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, 
 
a) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que fornece a quantidade de vitaminas 
desejada. 
b) Se o alimento I custa R$0,60 por grama e os outros dois custam R$0,10, existe uma solução custando 
exatamente R$1,00? 
 
15) Dióxido de manganês e ácido clorídrico combinam para formar cloreto de manganês, agua e gás de cloro: 
 
x1MnO2 + x2HCl2 → x3MnCl2 + x4H2O + x5Cl2 
 
Usando os métodos de resolução de sistemas lineares determine os menores valores inteiros positivos possíveis 
para cada uma das variáveis, balanceando a equação dada. 
 
16) Exercite balanceando em cada caso abaixo aplicando o método da questão anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A, 180 
unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. 
Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada 
a mesma quantidade(1g) de cada alimento, determinou-se: 
 
i) 0 alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de 
vitamina D e 2 unidades de vitamina E 
ii) 0 alimento II tern 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, unidades de vitamina C, 1 unidade de 
vitamina D e 1 unidade de vitamina E. 
iii)0 alimento III tem 2 unidades de A, 2 unidades de B, 5 unidades de C, 1 unidade de D e 2 unidades de E. 
iv)0 alimento IV tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 2 unidades de De 13 unidades de E. 
v) 0 alimento V tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 9 unidades de D e 2 unidades de E. Quantos 
gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja 
equilibrada? 
 
 
 
 
 
 
Questões Fechadas 
 
 
1) Dado o sistema 











10127
32124
1845
223
yx
yx
yx
yx
 podemos afirmar que: 
I. O posto da matriz dos coeficientes é igual a 2. 
II. O posto da matriz ampliada é igual a 3. 
III. O sistema é impossível. 
IV. O sistema tem 2 graus de liberdade. 
V. S1 = (2,-2) é uma das soluções particulares do sistema. 
VI. A matriz LRFE do sistema é 






 210
201
 
2) Dado o sistema 











333
142
2222
12
wx
wzyx
wzyx
wzyx
 podemos afirmar que: 
I. O posto da matriz dos coeficientes é igual a 3. 
II. O posto da matriz ampliada é igual a 3. 
III. O sistema é possível e indeterminado. 
IV. O sistema tem 2 graus de liberdade. 
V. A solução geral do sistema é 





zy
wx
2
1
 ; z , w ϵ R . 
 
3) Dado o sistema 








836
532
132
zyx
zyx
zyx
 podemos afirmar que: 
 
I) O posto da matriz dos coeficientes é igual a 2. 
II) O posto da matriz ampliada é igual a 2. 
III) O sistema é possível e determinado. 
IV) O sistema não tem grau de liberdade. 
V) S = {(1,2,3)} é a solução do sistema. 
 
4) (UCDB-MT) O sistema 











02572
06104
022
022
zyx
zyx
zyx
zyx
 é: 
a) impossível 
b) homogêneo 
c) determinado 
d) indeterminado com uma variável arbitrária. 
e) Indeterminado com duas variáveis arbitrárias. 
5) (UFPR) O sistema de equações 








QPzyx
zyx
zyx
4
6
1037
 é: 
 
a) Impossível, se P

-1 e Q

8. 
b) Indeterminado, se P

-1 e Q

8. 
c) Indeterminado, se P

-1 e Q=8. 
d) Impossível, se P=-1 e Q

8. 
e) Impossível, se P

-1 e Q=8. 
 
6) O sistema 





1
32
ybx
yax
, nas variáveis reais x e y, é: 
 
a) possível e determinado, 

a, b

R. 
b) possível e indeterminado se a = 2b. 
c) possível e determinado se a 

 2b.

a, b

R. 
d) possível e indeterminado se a = -2b. 
e) impossível se a = -2b. 
 
7) (F. M. Triângulo Mineiro-MG) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma: 
 
Mesa Hambúrguer Refrigerante 
Porção de 
fritas 
1ª 4 2 2 
2ª 6 8 3 
3ª 2 3 1 
 
A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados: 
 
a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante. 
b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche. 
c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os 
componentes do lanche. 
d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos componentes 
do lanche. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a e e 
 
2) Escalonada: F, G, I e J 
LRFE: A, B, D e E 
3) a) S=(2,-1,3) b) 





 



2
3
2
35
;Rp z)y,,( 3
z
ye
z
xx
 c)   13;R y,x, 3  yeyxz 
d) 





 

2
1
,,
2
3
yyS
 e) S = (1,2,3) f) S = (6,4,1) g) S =
 1 ,2,1
 h) S = 
  R p/ ,4 ,52  zzzz
 
i) S = (2, 1, 0). 
 
4) 
 
 
 
 
 
6) a) SI (0 = -1) b) SPI S =
 zzz ,103,172 
 c) SI (0 = -3) d) SPD S = (1, -1, 0, 2) 
e) SI (0 = -11/2) f) SPI S = 





 
t
ttt
,
27
51
,
27
410
,
27
246
 g) 











 


 t
t
t
t
S ,
2
5
,3,
2
1
 
7) a-) m = 2 e n = 5 
b-) m = 2 e n  5 
 
8) a) S={k R | k
2
111
} b) S={k R | k
3
1

} c) S={k R | k 2 e k 3} 
9) a = 2 e b = 4 
 
10) y = x2 5x +6; 
 
11) R$ 65,00; ( Sugestão: Efetue operações com as linhas do sistema encontrado para obter a linha ( 1 1 1 65 )). 
 
12) 625 e 375; 
 
13) Com um barril do spray P e 2 barris do spray R a quantidade de produto químico é conseguidas sem precisar do 
spray Q. 
 
14) a) Se x, y e z são as quantidades dos alimentos I, II e III respectivamente, então x = 3z  5; y = 8  3z. Uma vez 
que x; y e z devem ser maiores ou iguais a zero temos que 5/3  z  8/3, b) Sim, para x = 1 e y = z = 2. 
 
15) 
16) 
17) S = (10, 10, 20, 20, 10). 
 
 
 
Questões Fechadas 
 
1) Apenas I e VI verdadeiras 
 
2) Apenas III , IV e V verdadeiras 
 
3) Apenas I e IV verdadeiras 
 
4) alternativa c) 
 
5) alternativa d) 
 
6) alternativa e) 
 
7) alternativa a)