teoria dos erros

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
TEORIA DOS ERROS
Aluno: 
Matricula: 
Turma: 
Curso: Engenharia Civil – 2º Período.
Disciplina: Física Experimental I.
Docente: Nelson Souza 
SUMÁRIO
1. Introdução.
2. Medição.
3. Classificação dos Erros.
3.1. Erros sistemáticos.
3.2. Erros acidentais.
3.3. Erros grosseiros.
4. Notação Científica.
4.1. Como Transformar.
4.2. Notação Científica e as operações Matemáticas.
4.2.1. Adição e Subtração.
4.2.2. Multiplicação.
4.2.3. Divisão.
5. Ordem de Grandeza.
6. Algarismos significativos.
6.1. Operações com algarismos significativos.
6.1.1. Soma e subtração.
6.1.2. Multiplicação e divisão.
6.2. Critérios para arredondamento.
7. Erro. 
7.1. Erros acidentais.
8. Conclusão.
9. Bibliografia.
1. Introdução 
As grandezas físicas são determinadas experimentalmente por medidas ou combinações de medidas e quando procuramos obter resultados através de observações experimentais, devemos ter sempre à mente que nossas observações serão sempre limitadas, no sentido de que jamais retratam com perfeição absoluta a natureza observada. Ao fazermos a medição de uma grandeza física achamos um número que a caracteriza.
Dessa forma, quando relatamos o resultado desta medição, é de suma importância sabermos quantificar a qualidade do resultado, ou seja, precisamos informar quão boa foi a nossa medição. Por mais criteriosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível realizar uma medida exata. Em outras palavras, existe sempre uma incerteza quando se compara uma medida de uma dada grandeza física com sua unidade. 
Assim, a experiência mostra que, sendo uma medida repetida várias vezes com o mesmo cuidado e procedimento pelo mesmo operador ou por vários operadores, os resultados obtidos não são, em geral, idênticos. Quando este resultado vai ser aplicado, é frequentemente necessário saber com que confiança pode-se dizer que o número obtido representa a grandeza física. Deve-se, então, poder expressar a incerteza de uma medida de forma que outras pessoas possam entendê-las e para isso utiliza-se de uma linguagem universal. Também deve-se utilizar métodos adequados para combinar as incertezas dos diversos fatores que influem no resultado. A maneira de se obter e manipular os dados experimentais, com a finalidade de conseguir estimar com a maior precisão possível o valor da grandeza medida e o seu erro, exige um tratamento adequado que é o objetivo da chamada “Teoria dos Erros”, e que será abordada aqui na sua forma mais simples e sucinta.
2. Medição
O objetivo de uma medição é determinar o valor do mensurando, isto é, o valor da grandeza específica a ser medida. Uma medição começa, portanto, com uma especificação apropriada do mensurando, do método de medição e do procedimento de medição.
Medição: conjunto de operações que têm por objetivo determinar o valor de uma grandeza.
Valor (de uma grandeza): expressão quantitativa de uma grandeza específica, geralmente sob a forma de uma unidade multiplicada por um número. Exemplo: comprimento de uma barra: 5,34m
Mensurando: grandeza específica submetida à medição. Exemplo: temperatura de fusão da glicerina.
Grandeza (mensurável): atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. O termo “grandeza” pode se referir a uma grandeza em sentido geral (comprimento, tempo, massa.) ou grandeza específica (comprimento de uma barra, resistência elétrica de um fio). Os símbolos das grandezas estão definidos na norma ISO 31.
Método de medição: sequência lógica de operações, descritas genericamente, usadas na execução das medições. Exemplos: método de substituição, método diferencial, método de “zero”...
Procedimento de medição: conjunto de operações, descritas especificamente, usadas na execução de medições particulares de acordo com um dado método. Um procedimento (de medição) deve ser um documento com detalhes suficientes para permitir que um observador execute a medição sem informações adicionais.
Precisão: Indica o grau de concordância entre os diversos resultados experimentais obtidos em condições de repetitividade. 
Exatidão: Grau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mensurando. 
É comum ocorrer certa confusão entre os conceitos de precisão e exatidão. Vamos, pois, torná-los mais claros através de um exemplo: 
“Em uma competição de tiro ao alvo, um competidor conseguiu que todos os seus tiros ficassem distribuídos de maneira dispersa em torno do alvo central. Um segundo atirador, teve uma outra habilidade: conseguiu concentrar todos os seus tiros em uma certa região localizada ao lado do alvo central. Apesar de seus tiros ficarem todos concentrados, não conseguiu atingir o alvo central. Já um terceiro competidor teve a destreza necessária para conseguir concentrar todos os tiros exatamente em cima do alvo”. 
Nesse exemplo, o primeiro atirador efetuou disparos poucos precisos, pois seus tiros ficaram todos dispersos em torno do alvo central. O segundo atirador conseguiu atirar de maneira bastante precisa, pois seus tiros ficaram bem concentrados. Em contrapartida, por não ter conseguido acertar o alvo, os disparos do segundo atirador não foram exatos. Já o terceiro competidor conseguiu concentrar duas habilidades: tiros exatos e precisos. Os tiros foram exatos porque atingiram o alvo e foram precisos porque todos ficaram bem concentrados (houve pouca dispersão). 
3. Classificações dos Erros
Existem alguns tipos de erros que podem ocorrer em uma medição, por mais criteriosa que seja a medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível realizar uma medida exata. Considere que, em um certo experimento, tenham sido efetuadas n medições. Certamente os n resultados não serão idênticos. Em outras palavras, existe sempre uma incerteza quando se compara uma medida de uma dada grandeza física com sua unidade. Podemos identificar, no experimento realizado, algumas fontes de erro, e de acordo com sua natureza, os erros são classificados como:
3.1. Sistemático
Os Erros Sistemáticos são provocados por fontes associadas a instrumentação ou ao método de medida utilizado, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Esses erros fazem com que as medidas estejam sistematicamente acima ou abaixo do valor verdadeiro. Como exemplo de erros sistemáticos, pode-se citar a utilização de uma régua graduada numa temperatura de 300C , mas que foi calibrada a 200C . A dilatação de sua escala resultará num erro sistemático em todas as medidas.
3.2. Acidentais.
Os Erros acidentais ocorrem devido a causas diversas e imprevisíveis difíceis de serem eliminadas. Esses erros podem ter várias origens, tais como em relação aos próprios instrumentos de medida, onde pequenas flutuações das condições ambientais (temperatura, pressão, umidade, etc.) afetam os resultados experimentais, ou em fatores associados ao operador sujeitos as variações, tais como, visão e audição. Pode-se dizer que uma medida terá exatidão quando os erros sistemáticos forem desprezíveis e uma medida terá precisão quando esse for o caso para os erros acidentais.
3.3. Grosseiros
Os Erros Grosseiros ocorrem devido a imperícia ou distração do operador. Como exemplos podem ser citados, uma escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc.. Esses erros podem ser reduzidos por meio da repetição cuidadosa das medições.
4. Notação Científica
É uma maneira de representar um número muito grande ou muito pequeno de uma forma mais fácil de trabalhar. Tais como (100000000000) ou (0,00000000001) os casos exemplificados, em notação científica, ficariam: 1 × 1011 e 1 × 10−11, respectivamente. Como exemplo, na química, ao se referir à quantidade de entidades elementares (átomos, moléculas,íons etc.), há a grandeza denominada quantidade de matéria (mol). 
A representação desses números, como apresentado, traz pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m,8 e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 kg.
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 27 algarismos significativos. Mas isso pode não ser verdade (é pouco provável 25 zeros seguidos numa aferição).
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: X . 10n
Onde o número X é denominado coeficiente e n a ordem de grandeza. O coeficiente, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto.
Para transformar um numero grande qualquer em notação cientifica, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo desta forma:
200 000 000 000 » 2,00 000 000 000
Note que a vírgula avançou 11 casas para a esquerda, então em notação científica este número fica: 2x10¹¹.
Para com valores muito pequenos, é só mover a vírgula para a direita, e a cada casa avançada, diminuir 1 da ordem de grandeza:
0,0000000586 » movendo a vírgula para direita » 5,86 (avanço de 8 casas) » 5,86 x 10-8
-12.000.000.000.000 » -1,2 x 1013
4.1. Como transformar
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo ao principio de equilíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253 756,42
A notação científica padronizada exige que o coeficiente esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Nesse caso, o expoente é 5.
Observe a transformação passo a passo:
253 756,42 = 25 375,642 x 101 = 2 537,5642 x 102 = 253,75642 x 103 = 25,375642 x 104  = 2,5375642 x105
Outro exemplo, com valor menor que 1:
0,0000000475 = 0,000000475 x 10-1 = 0,00000475 x 10-2 = 0,0000475 x 10-3 = 0,000475 x 10-4 = 0,00475 x10-5 = 0,0475 x 10-6 = 0,475 x 10-7 = 4,75 x 10-8
Observação: Quando a vírgula é deslocada da direita para esquerda (→ / ←) o expoente aumenta (+). Quando o expoente é deslocado da esquerda para direita (← / →) o expoente diminui (-).
4.2. Notação Científica e as operações Matemáticas
4.2.1. Adição e subtração
Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.
Exemplos:
4,2 x 107 + 3,5 x 105 = 4,2 · 107 + 0,035 x 107 = 4,235 x 107
6,32 x 109 - 6,25 x 109 = 0,07 x 109 (não padronizado) = 7 x 107 (padronizado)
Observação: Nas operações de adição e subtração com potência de 10, quando a diferença entre os expoentes for maior que 3, o resultado da operação indicada é sempre dado como sendo o número que tiver maior expoente.
4.2.2. Multiplicação
Multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
a x 10n . b x 10m = a.b x 10n.10m = a.b x 10n+m
Exemplos:
(6,5 x 108). (3,2x 105) = (6,5 · 3,2) x 108+5 = 20,8 x 1013(não padronizado) = 2,08 x 1014(convertido para a notação padronizada)
(4 x 106) · (1,6 x 10-15) = (4 · 1,6) x 106+(-15) = 6,4 x10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão
4.2.3. Divisão
Dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
a x 10n/ b x 10m =  a / b x 10n-m
Exemplos:
(8 x 1017) / (2 x 109) = (8 /2) x 1017-9 = 4 x 108 (padronizado)
(2,4 x 10-7) / (6,2 x 10-11) = (2,4 /6,2) x 10-7-(-11) ≈ 0,3871 x 104(não padronizado) = 3,871 · 103(padronizado)
5. Ordem de Grandeza
Quando trabalhamos com grandezas físicas, muitas vezes não precisamos nos preocupar com valores exatos. Podemos apenas avaliar, com aproximação, um resultado ou uma medida. Um recurso que facilita os cálculos muito longos, em uma avaliação, é a utilização das ordens de grandeza.
Por definição, ordem de grandeza de um número é a potência de dez mais próxima desse número. Assim, para obter a ordem de grandeza de um número N qualquer, em primeiro lugar, devemos escrevê-lo em notação científica, ou seja, no formato: N = x.10n
Em que 1 ≤ x ≤10 e  n é um número inteiro
Em seguida, devemos comparar x com o ponto médio do intervalo de 1 (= 100) a 101. Em outras palavras, devemos comparar o valor de x com o valor 100,5, como mostra a figura abaixo:
Observe que:
É, aproximadamente, o ponto médio do intervalo [100, 101] em uma escala logarítmica. A partir dessa comparação, 
6. Algarismos significativos 
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais experiente que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que se pode utilizar para representar uma medida. O procedimento padrão é a utilização de algarismos que se tem certeza de estarem corretos, admitindo-se geralmente o uso de apenas um algarismo duvidoso. Esses algarismos são denominados de algarismos significativos e a sua quantidade estará diretamente relacionada à precisão da medida. Vejamos alguns exemplos. Utilizando-se de uma régua centimetrada, ou seja, dividida em centímetros, conforme ilustra a figura abaixo, podemos observar que o comprimento AB pode ser avaliado em 8,3 cm. Observe que sendo o comprimento do segmento AB = 8,3 cm temos os algarismos 8 e 3, onde 8 é exato e o 3 avaliado. Observe que um segundo observador poderia considerar 8,2 cm ou 8,4 cm. Por esse motivo denominamos o algarismo 3 de Algarismo Significativo Duvidoso.
Se utilizarmos uma régua comum, milimetrada, para medir o mesmo segmento, podemos ter uma situação conforme a ilustrada abaixo.
A escolha de quantos significativos serão usados no valor da grandeza depende da grandeza, do processo de medida e do instrumento utilizado. Na realidade, o número de algarismos significativos de uma grandeza é determinado pela sua incerteza.
	Instrumento
	Menor Divisão
	Comprimento (cm)
	Régua em cm
	1 cm
	8,3
	Régua comum
	0,1 cm
	8,36
	Paquímetro
	0,01 cm
	8,371
	Micrômetro
	0,001 cm
	8,3713
O instrumento de menor divisão poderá medir a mesma grandeza com um número de algarismos significativos maiores. Evidentemente poderíamos utilizar outros métodos para mensurar esta grandeza e obtermos uma precisão melhor. Pergunta-se:
Neste caso estaríamos chegando ao verdadeiro valor da grandeza?
Ou apenas nos aproximando de seu valor mais provável?
Outro aspecto a ser observado com atenção é a maneira de apresentar o valor da grandeza medida. Quando efetuarmos uma medida qualquer, devemos apresentar o valor da grandeza com todos seus algarismos significativos, inclusive com o último que é duvidoso.
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
Por exemplo, considere alguém que, munido de uma régua milimetrada, mede o comprimento de uma barra e observa que este deve estar entre 27 mm e 28 mm. Sabe-se que o comprimento certamente é 27,x mm, mas não se tem certeza. Pode-se especular qual deve ser o valor de x, mas não se pode saber, apenas utilizando a régua, qual deve ser o valor exato de x. Alguém poderia dizer que seria 27,5mm, enquanto que outra pessoa poderia dizer que seria 27,8mm. Emresumo, nesta medição efetuada tem-se certeza em dois algarismos (2 e 7), e o terceiro algarismo (x) é duvidoso. Os algarismos dos quais se tem certeza são chamados de algarismos exatos, e o algarismo do qual não se tem certeza é dito algarismo duvidoso. Os algarismos exatos mais o duvidoso compõem os algarismos significativos de uma grandeza. Note que, no exemplo, o resultado 27,5mm teria três algarismos significativos (os algarismos 2, 7 e 5), sendo dois exatos (os algarismos 2 e 7) e um duvidoso (o algarismo 5). Voltando ao exemplo da medição do comprimento da barra, note que não faria sentido algum alguém apresentar como resposta de sua medição o valor 27,75mm. Isso porque não se tem certeza quanto ao primeiro número que aparece depois da vírgula (o algarismo 7 já é duvidoso), não sendo, pois, coerente apresentar mais um algarismo depois daquele que já é duvidoso.
Mas atenção: ZEROS À DIREITA SÃO SIGNIFICATIVOS. Na tabela a seguir, um mesmo valor do raio de uma roda é escrito com diferente número de algarismos significativos.
	 Raio (mm)
	Significativos
	 57,896
	5
	 5,79x101
	3
	 5,789600x101
	7
	 0,6x102
	1
Observe o exemplo: Um estudante determinou a massa de um objeto e obteve o seguinte valor m = 0,02130 kg. Esta grandeza foi obtida com 4 algarismos significativos. Observe que o zero à direita é significativo, pois surgiu de um processo de avaliação, ao passo que os zeros da esquerda não. Assim, podemos ter as seguintes forma de apresentação do resultado:
	0,02130 kg
	2,130 X 10-2 kg
	2,130 X 10 g
	21,30 g
	21,30 X 10-3 kg
Observe que em todas as formas apresentadas acima a grandeza continuou com 4 algarismos significativos. Qualquer representação da mesma que altere o número de algarismos significativos é incorreta
Zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero não são algarismos significativos. Por exemplo, tanto 25,3 cm como 0,253 m tem a mesma medida e tem 3 algarismos significativos. Similarmente, pode-se dizer que 2 = 0,2 x10 = 0,02 x102 todos têm 1 algarismo significativo, 32 = 3,2 x10 = 0,32 x102 todos têm 2 algarismos significativos, e 0,000531 = 0,531x10-3 = 5,31x10-4 todos têm 3 algarismos significativos.
Zeros à direita de um algarismo significativo são também significativos. Por exemplo, 25,3 cm e 25,30 cm são medidas diferentes. A primeira tem 3 algarismos significativos e a segunda, de maior precisão, tem 4 algarismos significativos.
Zero situado entre algarismos significativos é também significativo. Por exemplo, 25,3 cm tem 3 algarismos significativos e 2,053 m tem 4 algarismos significativos. Para que uma medida seja apresentada com um número de algarismos significativos apropriado, muitas vezes é necessário se fazer um arredondamento do resultado. O arredondamento pode ser feito de diversas maneiras, porém há uma norma nacional (ABNT NBR 5891:1977) e uma internacional (ISO 31-0:1992, Anexo B). O arredondamento, de acordo com essas normas, segue as seguintes regras:
a) O último algarismo de um número deve sempre ser mantido caso o algarismo descartado seja inferior a cinco
(Exemplo: 423,0012 = 423,001).
b) O último algarismo de um número deve sempre ser acrescido de uma unidade caso o algarismo descartado seja superior a cinco (Exemplo: 245,6 = 246).
c) No caso do algarismo descartado ser igual a cinco, se após o cinco descartado existirem quaisquer outros algarismos diferentes de zero, o último algarismo retido será acrescido de uma unidade (Exemplo: 2,0502 = 2,1).
d) No caso do algarismo descartado ser igual a cinco, se após o cinco descartado só existirem zeros ou não existir outro algarismo, o último algarismo retido será acrescido de uma unidade somente se for impar.
(Exemplos: 4,3500 = 4,4; 1,25 =1,2).
6.1. Operações com algarismos significativos:
Para executar operações matemáticas com algarismos significativos, deve-se primeiro transformar todas as parcelas para a mesma unidade e seguir as regras abaixo:
6.1.1. No caso de soma ou subtração, o resultado deve ser apresentado somente com um algarismo duvidoso e o número de algarismos significativos vai depender do tamanho dos algarismos duvidosos de cada parcela da operação. Por exemplo, a adição entre as medidas 4,3 cm com 3,37 cm, realizadas com uma escala graduada em centímetros e outra em milímetro, deve ser executada como segue:
 1
 4,3 xx cm
 3,37 x cm
 7,7 xx cm
O procedimento adotado na operação acima, utilizando x após o último algarismo significativo, é um artifício para representar algarismos desconhecidos, e a adição de um algarismo conhecido com um desconhecido dará um algarismo desconhecido. A adição de x com 7 será um algarismo desconhecido que poderá ser maior do que 10 , portanto, haverá a possibilidade de um “vai um” e o segundo algarismo do resultado deverá ser acrescido de uma unidade e será duvidoso.
Um resultado 4,3 cm+ 3,37 cm = 7,67 cm estaria incorreto do ponto de vista de algarismos significativos, uma vez que, isso relataria a utilização de instrumentos de precisão de milímetros quando, na verdade, um dos instrumentos tinha precisão apenas de centímetros. Deve-se ficar claro que uma operação matemática não pode alterar a precisão de uma medida, uma vez que isso não alteraria a precisão do instrumento com o qual ela foi efetuada.
6.1.2. No caso de multiplicação e divisão, o resultado deve ser apresentado com um número de algarismos significativo igual ao da parcela que tiver o menor número de algarismos significativos. Essas operações podem ser efetuadas utilizando-se o mesmo artifício adotado na soma e subtração, como se pode notar com os exemplos que se seguem:
 8,348x 
 3,1x
 xxxxx
 8348x
 25044x
 25,8xxxxx
6.2 Arredondamento
Uma boa sugestão é que o arredondamento só se faz uma vez, ou seja, não se deve fazer o arredondamento do arredondamento. Evite olhar o último algarismo para arredondar o penúltimo, em seguida o antepenúltimo e assim por diante até chegar onde se quer. Faça o arredondamento numa única observação de um algarismo. 
7. Erro
É a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.
Matematicamente: Erro = Valor medido – Valor real
7.1. Erros Acidentais 
Como vimos anteriormente, por mais cuidadoso que seja o operador ou por mais perfeito que seja o processo de medição de uma grandeza, nunca deixaremos de contar com os fatores acidentais que afetam uma ou mais medidas. Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais ou ao acaso são:
Defeitos não sistemáticos de leitura (imperícia do operador);
Variação da capacidade de avaliação, com o número de medidas efetuadas;
Variação da capacidade de avaliação ou da perícia, no caso da observação de uma mesma grandeza por vários observadores;
Condições próprias dos aparelhos de medidas (certos aparelhos dão erros de paralaxe que variam com o tamanho da grandeza);
Reflexos variáveis do operador (por exemplo no caso de apertar um cronômetro);
Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, aplicação de um aparelho a uma peça em diferentes posições);
Interesse do operador em obter medidas em situações diferentes para obtenção de um valor mais representativo de uma grandeza (no caso já citado do diâmetro da esfera);
Outros fatores não intencionais, tais que não possam ser considerados como falta grave de operação.
8. Conclusão:
 Em física e engenharia é comum adotar umdesvio padrão para o intervalo de confiança. Em outras áreas, tais como epidemiologia, saúde e ciências médicas, dois ou até três desvios padrão são bastante comuns. Deve-se evitar o termo erro para a incerteza. Se uma medida tem um erro, este deve ser corrigido! 
Existem outras regras de arredondamento, mais complicadas, um pouco mais precisas, mas nenhuma é exata. A regra aqui proposta é também adotada pela maioria das calculadoras e algoritmos em computadores. 
Medir implica em comparar uma característica de um sistema (por exemplo, comprimento, volume, velocidade, massa, temperatura, etc.) com referências tidas como padrão (unidades). Exemplos de padrões são: O metro (para comprimentos), o segundo (para tempo), o quilograma (para massa), definidos por Institutos de Metrologia ao redor do mundo, que definem o sistema MKS, ou SI (sistema internacional de unidades). Outras unidades de medida são os múltiplos e submúltiplos destas grandezas (mm, km, cm), as grandezas derivadas destas grandezas (m/s, m/s2). Além disso, existem outras unidades empregadas fora do SI, como a polegada (comprimento) e a libra (peso). 
O valor de uma grandeza submetida à medição costuma ser adquirido através de um procedimento que, em geral, envolve algum(s) instrumento(s) de medição. O próprio processo de medida, assim como o instrumento utilizado, tem limites de precisão e exatidão, ou seja, toda medida realizada tem uma incerteza associada que procura expressar a nossa ignorância (no bom sentido) do valor medido. A seleção do processo de medida, do instrumento usado e a reprodutibilidade da grandeza medida têm que ser expressas de alguma forma. Em alguns aparelhos, a incerteza do instrumento já vem marcada. Caso contrário, a metade da menor divisão da escala é um bom começo. Note que nada sabemos ainda sobre a reprodutibilidade do processo de medida.
 
9. Bibliografia
WWW.modelab.ufes.br/fisexp1
WWW.p.fc.unesp.br
disciplinas.stoa.usp.br
WWW.fis.ufba.br
WWW.fisica.ufjf.br
profanderson.net
educacaoespacial.files.wordpress.com
www.ebah.com.br
educacao.globo.com/física
pt.wikipedia.org
www.matematicamuitofacil.com
www.infoescola.com