Aula de Matrizes em Blocos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE, UNICENTRO
Campus Universitário de Irati
Setor de Ciências Agrárias e Ambientais - SEAA/I
Departamento de Matemática - DEMAT/I
IRATI
2016
“ Matrizes em Blocos ”
 
 
Disciplina: Álgebra Linear
Professor: Pedro Lucas Carvalho
Acadêmico: João Carlos Lemos Jr.
 
Matrizes em Blocos
A partição de uma matriz por blocos é uma partição das linhas e colunas da matriz de forma a definir blocos (submatrizes).
Matrizes em Blocos
 
2
Exemplo:
Matrizes em Blocos
 
12
3
0
4
0
7
-8
0
12
-8
4
-9
3
13
0
-2
1
0
-9
2/5
1/2
4
4
12
11
5
1
10
4
7
A = 
Consideremos a matriz A6x5. A mesma pode ser subdivida em BLOCOS, de modo à “facilitar futuras operações”. 
Sendo assim, nossa nova matriz poderá ser expressa as seguinte forma: 
3
Matrizes em Blocos
 
A11
A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32
A33
A = 
12
7
A11 = 
A12 = 
3
0
-8
0
A21 = 
A31 = 
4
-2
1/2
5
4
0
12
-8
A13 = 
A22 = 
-9
3
1
0
4
4
A23 = 
13
0
-9
2/5
12
11
1
10
4
7
A32 = 
A33 = 
4
Considere duas matrizes A e B compatíveis para multiplicação: A é m×r, B é r×n. Suponha que r colunas de A sejam particionadas da mesma forma que as r linhas de B, ou seja, o mesmo número de partições, e a i-ésima partição das colunas de A é do mesmo tamanho que a i-ésima partição das linhas de B.
Teorema para Multiplicação em Blocos
Matrizes em Blocos
 
5
Matrizes em Blocos
 
A11
A12
...
A1s
A21
A22
A2s
Ap1
Ap2
Aps
...
...
B11
B12
...
B1q
B21
B22
B2q
Bs1
Bs2
Bsq
...
...
A = 
B = 
Então podemos particionar o produto C = AB com as mesmas partições das linhas de A e das colunas de B:
C11
C12
...
C1q
C21
C22
C2q
Cp1
Cp2
Cpq
...
...
C = 
6
O bloco Cij pode ser calculado usando o método usual de multiplicação de matrizes, exceto que ao invés de elementos em linhas e colunas, multiplicam-se blocos em partições de linhas e partições de colunas:
Matrizes em Blocos
 
ik
kj
7
Exemplo:
Consideremos as matrizes A e B
Matrizes em Blocos
 
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
-2
-1
-3
4
-5
0
2
-1
A = 
B = 
Vamos particionar as matrizes, assim fica mais fácil fazer o produto AB. 
A11B11+ A12B21
A11B12+ A12B22
A21B11+ A22B21
A21B12+ A22B22
AB = 
AB = 
-5
0
2
-1
-2
-1
-3
4
8
Matriz Quadrada Em Blocos
Matrizes em Blocos
 
Seja M uma matriz em blocos. Dizemos que M é uma matriz quadrada em blocos se:
M é uma matriz quadrada, 
 os blocos formam uma matriz quadrada e 
os blocos da diagonal também são matrizes quadradas
 Consideremos as duas matrizes em blocos seguintes:
X
Uma matriz particionada em blocos é diagonal por blocos se somente os blocos da posição (i=j) são diferentes de zero.
Matriz Diagonal de Blocos
Matrizes em Blocos
 
10
Algumas Características Especiais de Algumas Matrizes em Blocos 
Matrizes em Blocos
 
Matriz Triangular Superior em Blocos
Matriz Triangular Inferior em Blocos
Matriz Diagonal em Blocos
Matriz Quadrada em Blocos
Matriz Quadrada em Blocos
Matriz Quadrada em Blocos
Matriz Quadrada em Blocos
11
Encontre UV usando multiplicação em blocos:
U e V são matrizes quadradas em blocos?
Será UV diagonal em blocos?
Matrizes em Blocos
 
Exercício 
12
Matrizes em Blocos
 
JAN
FEV
MAR
ABR
MAI
JUN
JUL
AGO
SET
OUT
NOV
DEZ
2001
10%
11%
8%
15%
9%
12%
10%
7%
3%
15%
3%
9%
2002
15%
15%
15%
12%
9%
12%
7%
12%
13%
15%
13%
11%
2003
9%
7%
15%
11%
7%
15%
3%
7%
12%
15%
12%
22%
2004
15%
6%
6%
10%
11%
15%
12%
13%
15%
11%
13%
15%
2005
20%
15%
2%
10%
11%
10%
15%
11%
15%
7%
7%
7%
2006
20%
12%
7%
9%
11%
11%
11%
15%
11%
15%
12%
19%
2007
15%
13%
10%
15%
7%
9%
12%
6%
12%
7%
15%
4%
2008
13%
13%
11%
7%
12%
15%
12%
15%
7%
4%
11%
22%
2009
30%
14%
7%
13%
9%
9%
12%
7%
15%
9%
7%
13%
2010
18%
10%
9%
7%
15%
6%
9%
9%
15%
16%
13%
7%
O proprietário de um mercado relacionou o aumento dos produtos de seu estabelecimento desde 2001 até 2010, de acordo com mês/ano.
Possível Aplicação
13
Matrizes em Blocos
 
	O proprietário da empresa decidiu separar os aumentos de cinco em cinco anos, e ainda separar por trimestres. Se considerarmos a matriz que será formada pela tabela anterior, teremos uma matriz de ordem 10x12. Mas, podemos realizar uma subdivisão com os dados, podemos então transformar essa matriz em uma “matriz em blocos”, cuja nova ordem em relação aos blocos será de 2x4
A11
A12
A13
A14
A21
A22
A23
A24
Onde, cada bloco possuirá uma representação:
Exemplo: (Bloco A22) - Representa os aumentos do segundo trimestre dos anos 2006, ... , 2010.
Matrizes em Blocos
 
JAN
FEV
MAR
ABR
MAI
JUN
JUL
AGO
SET
OUT
NOV
DEZ
2001
10%
11%
8%
15%
9%
12%
10%
7%
3%
15%
3%
9%
2002
15%
15%
15%
12%
9%
12%
7%
12%
13%
15%
13%
11%
2003
9%
7%
15%
11%
7%
15%
3%
7%
12%
15%
12%
22%
2004
15%
6%
6%
10%
11%
15%
12%
13%
15%
11%
13%
15%
2005
20%
15%
2%
10%
11%
10%
15%
11%
15%
7%
7%
7%
2006
20%
12%
7%
9%
11%
11%
11%
15%
11%
15%
12%
19%
2007
15%
13%
10%
15%
7%
9%
12%
6%
12%
7%
15%
4%
2008
13%
13%
11%
7%
12%
15%
12%
15%
7%
4%
11%
22%
2009
30%
14%
7%
13%
9%
9%
12%
7%
15%
9%
7%
13%
2010
18%
10%
9%
7%
15%
6%
9%
9%
15%
16%
13%
7%
Então...
A21
A14
A13
A12
A11
A22
A23
A24
Esse proprietário ainda, decidiu saber qual foi o trimestre de acordo com os intervalos de anos, que houve o maior aumento. O que fazer?
15
Matrizes em Blocos
 
A11
A12
A13
A14
A21
A22
A23
A24
Para fazer o que o proprietário deseja, basta fazer a média do aumento de cada bloco, e assim ver qual o trimestre em que mais houve aumento dentre os dez anos.
11,27%
11,27%
10,34%
11,67%
12,60%
10,34%
11,40%
11,60%