Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

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Segunda Lista de Exerc´ıcios de Aritme´tica e
A´lgebra Elementares
30 de marc¸o de 2012
1) Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o real f(x) =
2x+ 3
3x− 2 e mostre que f e´
injetora.
2) Sejam f, g as func¸o˜es reais definidas abaixo. Em cada ı´tem, verifique que Im(f) ⊂
D(g) e determine g ◦ f .
(a) g(x) =
x+ 1
x− 2 , x 6= 2 e f(x) = x
2 + 3.
(b) g(x) =
√
x, x ≥ 0 e f(x) = x2 − x, com x ≤ 0 ou x ≥ 1.
(c) g(x) =
{
x+ 1 se x ≤ 0
1− 2x se x > 0. e f = g.
3) Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico e´ dado na figura abaixo.
(a) Determine a expressa˜o de f .
(b) f e´ injetora? f e´ sobrejetora? Justifique as respostas.
4) Sejam f, g : R→ R func¸o˜es definidas por
f(x) =
{
x+ 1 se x ≤ 0
x+ 1 se x > 0.
e g(x) = 3x− 2.
Determine f ◦ g, g ◦ f e esboce seus gra´ficos. .
5) Em cada item abaixo, mostre que f e´ bijetora, determine f−1 e esboce o gra´fico
de f e de f−1.
(a) f(x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 0
−2x se x > 0.
(b) f(x) =
{
x3 se x ≤ 0
x2 se x > 0.
(c) f(x) =
6x+ 3
3x
, x 6= 0.
6) Sejam f : X → Y , g : Y → Z e h : Z → W . Mostre que:
(a) Se f e g sa˜o injetoras enta˜o g ◦ f e´ injetora.
(b) Se f e g sa˜o sobrejetoras enta˜o g ◦ f e´ sobrejetora.
(c) Se g ◦ f e´ bijetora enta˜o f e´ injetora e g e´ sobrejetora.
(d) (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).
7) Seja f : R→ R definida por f(x) = ax2 + bx+ c onde a, b, c sa˜o constantes reais
com a > 0. Mostre que
f(
x+ y
2
) ≤ f(x) + f(y)
2
, ∀ x, y ∈ R.
8) Um botija˜o de ga´s conte´m 13 kg de ga´s. Sabendo que o consumo me´dio dia´rio de
ga´s e´ de 0,5 kg, pede-se:
a) a massa ”m” de ga´s no botija˜o em func¸a˜o de ”t” (dias de consumo);
b) o esboc¸o do gra´fico dessa func¸a˜o.
9) O gra´fico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em func¸a˜o da tem-
peratura em graus Celsius.
a) Encontre a equac¸a˜o que expressa os graus Fahrenheit em func¸a˜o dos graus Celsius;
b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a
zero graus Fahrenheit.
10) Determine a func¸a˜o que expressa a a´rea de um retaˆngulo como func¸a˜o do com-
primento de seu maior lado, considerando que seu per´ımetro e´ 20 cm.
11) De uma cartolina 20cm x 16cm construimos uma caixa retirando de cada canto
da cartolina um quadrado de lado x cm (despreze os espac¸os para colagem dos lados
da caixa).
a) Expresse a a´rea lateral da caixa constru´ıda, em func¸a˜o de x.
b) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o do item (a) e determine o domı´nio e a imagem da
mesma.
c) Expresse o volume da caixa constru´ıda, em func¸a˜o de x.
12) Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e seu movimento e´ descrito pela
func¸a˜o
h(t) = −40t2 + 200t
sendo h(t) a altura atingida pelo proje´til t segundos apo´s seu lanc¸amento. Determine
a altura ma´xima atingida pelo proje´til e o tempo que o proje´til permaneceu no ar.
13) Na figura abaixo, ABCD e´ um quadrado de lado igual a 4 cm. Os pontos M e
N sobre os lados AB e AD sa˜o tais que AM = 2.AN .
Se AN = x, determine:
a) a a´rea S do quadrila´tero MCDN , em func¸a˜o de x;
b) o valor de x para que a a´rea desse quadrila´tero seja ma´xima e o valor ma´ximo
dessa a´rea.