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Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 11
Juros Compostos 
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Juros Compostos 
"O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma 
confiável e sistemática acumulação de riqueza”.
Albert Einstein
Valor Presente 
Julia contraiu uma dívida junto à Financeira XY que atualmente é
de R$ 8.224,08. Se ela foi contraída há 2 semestres e a taxa de
juros é de 2,7%a.m, qual o valor inicial?
Valor Presente 
Julia contraiu uma dívida junto à Financeira XY que atualmente é
de R$ 8.224,08. Se ela foi contraída há 2 semestres e a taxa de
juros é de 2,7%a.m, qual o valor inicial?
FV = 8.224,08
n = 2 semestres= 2 x 6 = 12 meses.
i = 2,7%a.m= 2,7/100 = 0,027 
PV = ?
8.224,08= PV. (1 + 0,027) 12
8.224,08 = PV. (1,027) 12
8.224,08 = PV .1,376719
8.224,08/1,376719 = PV 
PV= 5.973,68
Valor Presente 
Julia contraiu uma dívida junto à Financeira XY que atualmente é
de R$ 8.224,08. Se ela foi contraída há 2 semestres e a taxa de
juros é de 2,7%a.m, qual o valor inicial?
FV = 8.224,08
n = 2 semestres= 2 x 6 = 12 meses.
i = 2,7%a.m= 2,7/100 = 0,027 
PV = ?
8.224,08= PV. (1 + 0,027) 12
8.224,08 = PV. (1,027) 12
8.224,08 = PV .1,376719
8.224,08/1,376719 = PV 
PV= 5.973,68 ( SAMPAIO, 2013).
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 12
Valor Presente 
Questão do (ENADE – 2002 – ADM) 
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Questão do (ENADE – 2002 – ADM)
A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento um título de R$ 605,00
que vencerá em dois anos. No entanto, a empresa está precisando
de dinheiro hoje para pagar uma despesa. Trabalhando sempre
com juros compostos e com custo de oportunidade de 10% ao ano,
por qual valor mínimo, em reais, deverá vender hoje este título?
Questão do (ENADE – 2002 – ADM)
A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento um título de R$ 605,00 que vencerá em dois anos. No
entanto, a empresa está precisando de dinheiro hoje para pagar uma despesa. Trabalhando sempre
com juros compostos e com custo de oportunidade de 10% ao ano, por qual valor mínimo, em reais,
deverá vender hoje este título? (ENADE – 2002 – ADM)
FV = 605
i = 10% a.a. 
(10/100 = 0,1)
n = 2 anos
PV = ?
Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 47.000,00, aplicado a uma taxa
de juros compostos mensais de 1,7% durante 1 ano?
PV: R$ 47.000,00
i=1,7% ao mês = 1,7/100 = 0,017
n= 1 ano = 12 meses.
M = C.(1 + i)n
M = 47000.(1 + 0,017)12
M = 47000.(1,017)12 
M = 47000.1,224197
M= 57.537,27 
( SAMPAIO, 2013).Resolvendo pela HP...
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 13
Sistema Francês de Amortização
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Tabela Price
Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
Nomenclatura:
No Sistema Francês de Amortização a pessoa se obriga a devolver o principal valor mais
os juros em prestações iguais e consecutivas.
Esse sistema foi desenvolvido por Richard Price, em 1771. No Sistema Price as
prestações são constantes, ou seja, o valor das parcelas (PMT) é igual.
É utilizado no comércio em geral.
É visto em operações que envolvem:
A Sequência de Pagamentos também pode aparecer com nomes como, Sequência de
Pagamentos Uniforme, Série Uniforme de Pagamentos, Rendas ou Capitalização e
Amortização Composta.
“ A sucessão de depósitos ou de pagamentos (ou de recebimentos), em épocas
diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar (ou receber) uma dívida, é
denominada de Renda ou série uniforme.”(CASTANHEIRA; MACEDO, 2013, p.90).
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Sequência de Pagamentos 
Postecipada
Pagamento postecipado: o primeiro 
pagamento ocorre somente ao final 
do primeiro período.
As parcelas são iguais e sucessivas. 
Fluxo de Caixa 
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Juliana emprestou R$ 2.000,00 da Financeira YY, a uma taxa de juros de 10,0% a.m. Ela vai 
pagar em 4 parcelas iguais sucessivas. A primeira parcela vence após 30 dias da data do 
empréstimo. Qual o valor das parcelas que Carla pagará?
Podemos identificar a sequência de pagamentos postecipada quando o enunciado citado 
que a primeira parcela vence após 30 dias do empréstimo. 
Fluxo de Caixa 
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Marcia fez um empréstimo de R$ 3.000,00 junto a Financeira YY, a uma taxa de juros de 
4,7% a.m. Ela vai pagar em 6 parcelas iguais sucessivas. A primeira parcela vence após 30 
dias da data do empréstimo. Qual o valor que Marcia vai pagar pelas parcelas?
1º Passo: listar os dados 
PV = 3.000 
n = 6 meses 
i = 4,7% a.m.
PMT = ? 
Pela HP 12C temos.... 
PV: valor que será financiado. 
PMT: (prestação). 
PMT, vem do inglês “payment”, que significa 
pagamento. 
i: taxa de juros. 
n: período (nº de parcelas). 
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Marcia fez um empréstimo de R$ 3.000,00 junto a Financeira YY, a uma taxa de juros de 
4,7% a.m. Ela vai pagar em 6 parcelas iguais sucessivas. A primeira parcela vence após 30 
dias da data do empréstimo. Qual o valor que Marcia vai pagar pelas parcelas?
1º Passo: listar os dados 
PV = 3.000 
n = 6 meses 
i = 4,7% a.m.
PMT = ? 
(SAMPAIO, 2013, p.127)
HP 12C
Verificar se o “n” e o “i” estão no mesmo período de tempo. 
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 14
Sequência de Pagamentos Postecipada
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Carla emprestou R$ 2.000,00 da Financeira YY, a uma taxa de juros de 10,0% a.m.
Ela vai pagar em 5 parcelas iguais sucessivas. A primeira parcela vence após 30 dias
da data do empréstimo. Qual o valor das parcelas que Carla pagará?
1º Passo: listar os dados 
PV = 2000 
n = 5 meses 
i = 10,% a.m. /100 = 0,10 
PMT = ? 
Verificar se o “n” e o “i” estão no mesmo período de tempo. 
Fórmula da Sequência de Pagamentos Postecipada:
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Exemplo: Carla emprestou R$ 2.000,00 da Financeira YY, a uma taxa de juros de
10,0% a.m. Ela vai pagar em 5 parcelas iguais sucessivas. A primeira parcela vence
após 30 dias da data do empréstimo. Qual o valor das parcelas que Carla pagará?
1º Passo: listar os dados 
PV = 2000 
n = 5 meses 
i = 10,% a.m. /100 = 0,10 
PMT = ? 
Sequência de Pagamentos (Juros 
Compostos) 
Exemplo: Carla emprestou R$ 2.000,00 da Financeira YY, a uma taxa de juros de
10,0% a.m. Ela vai pagar em 5 parcelas iguais sucessivas. A primeira parcela vence
após 30 dias da data do empréstimo. Qual o valor das parcelas que Carla pagará?
1º Passo: listar os dados 
PV = 2000 
n = 5 meses 
i = 10,% a.m. /100 = 0,10 
PMT = ? 
(SAMPAIO, 2013, p.127)
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 15
Sequênciade Pagamentos Postecipada
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Sequência de Pagamentos Postecipada
Valor Futuro (FV) 
Se pretendo depositar mensalmente R$ 500,00 em uma aplicação no
banco BX durante cinco anos, quanto terei ao final desse período, se a
taxa for de 0,85% ao mês?
Fluxo de Caixa 
Sequência de Pagamentos Postecipada
Valor Futuro (FV) 
Se pretendo depositar mensalmente R$ 500,00 em uma aplicação no banco BX durante cinco
anos, quanto terei ao final desse período, se a taxa for de 0,85% ao mês?
Dados:
PMT= 500
n = 3 anos = 3 x 12
= 36 meses
i = 0,85% ao mês
0,85/ 100 = 0,0085
FV = ?
A Fórmula para o cálculo do Valor 
Futuro nas sequências de pagamentos 
postecipada
FV – valor futuro ou montante.
PMT – valor do depósito / parcela.
i – taxa de juros.
n – período.
Sequência de Pagamentos Postecipada
Valor Futuro (FV) 
Se pretendo depositar mensalmente R$ 500,00 em uma aplicação no banco BX durante cinco
anos, quanto terei ao final desse período, se a taxa for de 0,85% ao mês?
Dados:
PMT= 500
n = 3 anos = 3 x 12
= 36 meses
i = 0,85% ao mês
0,85/ 100 = 0,0085
FV = ?
HP 
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 16
Taxas Nominais e Efetiva 
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
taxas nominais
Qual a taxa nominal que será utilizada se a taxa real de juros de 8% ao ano e a
inflação deste mesmo período foi de 3,0%?
Para os cálculos das taxas nominais, reais utilizamos a Equação de Fischer:
𝐢𝐢𝐧𝐧 = taxa de juros nominal 
𝐢𝐢𝒓𝒓 = taxa de juros real 
I = Inflação 
Coleta da dados:
in= ?
ir = 8% a.a. 8/100 = 0,08
Inflação = 3,0% /100 = 0,03
Taxas nominais
Qual a taxa nominal que será utilizada se a taxa real de juros de 8% ao ano e a
inflação deste mesmo período foi de 3,0%?
Para os cálculos das taxas nominais, reais utilizamos a Equação de Fischer:
𝐢𝐢𝐧𝐧 = taxa de juros nominal 
𝐢𝐢𝒓𝒓 = taxa de juros real 
I = Inflação 
Coleta da dados:
in= ?
ir = 8% a.a. 8/100 = 0,08
Inflação = 3,0% /100 = 0,03
(1+ in) = (1 +ir ) . (1 + I) 
(1+ in) = (1 + 0,08) . (1 + 0,03)
(1+in) = (1,08) . (1,003) 
(1+ in) = 1,1124
in = 0,1124
in = 0,1124 x 100 
in=11,24 %
Cálculo da taxa efetiva
Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Qual a taxa efetiva 
anual.
Temos que: 
i = 24% a.a. = 24/100 = 0,24 a.a.
k = 4 trimestres em 1 ano
if = Taxa efetiva
i = Taxa nominal
k = Número de capitalizações 
para um período da taxa 
nominal
GIMENES, Cristiano M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: Uma Abordagem Descomplicada. São Paulo: Pearson -
Prentice Hall, 2012. 
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 17
Pagamentos com Carência 
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Pagamentos com Carência 
Marcos comprou uma moto XX no valor de R$15.000,00 e vai pagar em 24 parcelas
mensais iguais e consecutivas, a uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês. Como a
loja estava fazendo uma promoção, Marcos vai pagar a primeira prestação após cinco
meses (carência) da data da compra. Qual o valor de cada prestação?
1º Passo: Coleta de dados: 
PV= 15.000; 
n= 24 meses; 
i = 2,7% a.m.; 
*carências de 5 meses; 
Pagamentos com Carência 
Marcos comprou uma moto XX no valor de R$15.000,00 e vai pagar em 24 parcelas
mensais iguais e consecutivas, a uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês. Como a
loja estava fazendo uma promoção, Marcos vai pagar a primeira prestação após cinco
meses (carência) da data da compra. Qual o valor de cada prestação?
1º Passo: Coleta de dados:
PV= 15.000; n= 24 meses;
i = 2,7% a.m.; 
*carências de 5 meses 
Precisamos achar o FV após 5 meses de carência: 
Vamos utilizar a fórmula dos juros compostos; 
PV= 15000; n = 5 meses; i = 2,7%a.m. FV= ? M 
M = C.(1 + i)n
M = 15000.(1 + 0,027)5
M = 15000.(1,027)5
M = 15000.1,142490
M= 17.137,34252 
valor da carência ou seja, próximo valor FV. 
Pagamentos com Carência
2º Passo: levantar os dados do enunciado; 
PV = 17.137,34; 
n = 24 meses; 
i = 2,7% a.m. /100 = 0,027 (dividir por 100 
antes de colocar na fórmula)
PMT = ? (Verificar se o “n” e o “i” estão no 
mesmo período de tempo: como estão em 
meses, não é necessário alteração. 
Qual o valor de cada prestação?
(SAMPAIO, 2013)
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 18
Taxas de Juros Compostos
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Taxa de Juros compostos 
“ Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a taxa de juros compostos durante 4
meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual foi a taxa mensal de
juros?”(SAMPAIO, 2013, p.94).
Fórmula de Juros Compostos
Taxa de Juros compostos 
“ Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a taxa de juros compostos durante 4
meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual foi a taxa mensal de
juros?”(SAMPAIO, 2013, p.94).
PV = 2.500
n = 4 meses
i = ?
FV = 3.500
3.500 = 2500. (1 + i) 4
( SAMPAIO, 2013, p. 89) (CASTANHEIRA; MACEDO, 2008, p.49).
Resolução =>
Taxa de Juros compostos 
“ Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a taxa de juros compostos durante 4
meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual foi a taxa mensal de
juros?”(SAMPAIO, 2013, p.94).
PV = 2.500
n = 4 meses
i = ?
FV = 3.500
3.500 = 2500. (1 + i) 4
( SAMPAIO, 2013, p. 89) (CASTANHEIRA; MACEDO, 2008, p.49).
HP 12C
i=8,78
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 19
Taxas de Juros Compostos
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Taxa de Juros compostos 
“ Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a taxa de juros compostos durante 4
meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual foi a taxa mensal de
juros?”(SAMPAIO, 2013, p.94). “resolvido na aula 18”.
Taxa de Juros compostos 
“ Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a taxa de juros compostos durante 4
meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual foi a taxa mensal de
juros?”(SAMPAIO, 2013, p.94). “resolvido na aula 18”.
Taxa de Juros compostos 
PV = 2.500
n = 4 meses
i = ?
FV = 3.500
i = (1,4) 0,25 - 1) 
i = 1,087757 – 1
i = 0, 087757 x 100 = 8,78%
Taxa de Juros compostos 
“ Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a taxa de juros compostos durante 4
meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual foi a taxa mensal de
juros?”(SAMPAIO, 2013, p.94). “resolvido na aula 18”.
Taxa de Juros compostos 
PV = 2.500
n = 4 meses
i = ?
FV = 3.500
i = (1,4) 0,25 - 1) 
i = 1,087757 – 1
i = 0, 087757 x 100 = 8,78%
HP
Taxa de Juros compostos 
Camila vai pagar o valor de $8.346,50 por um empréstimo de $3.800,00 após seis meses.Qual o valor
da taxa de juros cobrada pela financeira JJ?
PV = 3800,00.
FV = 8.346,50.
n= 6 meses.
i = ? (resposta em % (porcentagem) ao mês, 
pois o prazo (n) é dado em meses). 
( SAMPAIO, 2013, p. 89) (CASTANHEIRA; MACEDO, 2008, p.49).
Resolvendo temos:
i = (8.346,50/3800) 1/6 - 1)
i = (2,196447) 0,166667 - 1
i = 1,140128 - 1
i= 0,140128 x 100
i= 14, 0128
Matemática Comercial e Financeira
Vídeo Aula 20
Revisão 
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
Revisão 
Luiza quer comprar um carro e para isso vai depositar mensalmente R$500,00 em uma
aplicação durante 2 anos. Qual o valor acumulado por Luiza ao final do período, se a
taxa for de 1,2% ao mês?
Dados:
PMT= 500; n= 2 anos = 2 x 12 = 24 meses 
(acertar para meses, pois o “i” está ao mês); 
i = 1,2% ao mês / 100 =0,012 (sempre dividir 
por 100, para utilizar a fórmula)
FV = ? 
Usando a calculadora HP valor é arredondado 
para 13.811,37 
obs. se o aluno estiver fazendo o cálculo na HP 
tem q observar a configurar acionando as 
teclas: F CLx => G 8 => valor da prestação CHS 
PMT, porque como deposita, o valor é 
negativo, pois o dinheiro sai da sua conta e vai 
para uma aplicação. 
FV = 500.[(1,331473-1)/0,012] 
FV = 500.(0,331473/0,012)
FV = 13.811,36. 
Taxa
Devo pagar o valor de $5.234,50 por um empréstimo de $2.800,00 após quatro
meses. Qual o valor da taxa de juros cobrada pela financeira MB, que me
concedeu o empréstimo?
PV = 2800.
FV = 5234,50.
n= 4 meses.
i = ? (resposta em % (porcentagem) ao mês, 
pois o prazo (n) é dado em meses). 
i= =[(5234,5/2800)1/4] -1
i= [((1,869464) 0,25)-1] = 
i = (1,169309 - 1) 
I = 0,169309x100 = 16,93%
Fórmulas 
Valor presente Pagamentos com Carência 
( SAMPAIO, 2013, p. 89) (CASTANHEIRA; MACEDO, 2008, p.49).
Valor Futuro 
pela prestação
Prof.Maisa Milani
Licenciatura: Sistemas de Informação (FALM),
Matemática e Pedagogia (UENP)
Especialista em Educação Matemática (UTFPR), EAD (UNOPAR) e Orientação e 
Supervisão Escolar (UNINTER)
Ms. em Educação (PUC-PR)
Doutoranda: Educação para Ciência e a Matemática (UEM-PR)
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Juros Compostos 
	Valor Presente 
	Valor Presente 
	Valor Presente 
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Questão do (ENADE – 2002 – ADM)
	Questão do (ENADE – 2002 – ADM)
	Exemplo 2
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Tabela Price �Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Sequência de Pagamentos (Juros Compostos) 
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Sequência de Pagamentos Postecipada � Valor Futuro (FV) 
	Sequência de Pagamentos Postecipada � Valor Futuro (FV) 
	Sequência de Pagamentos Postecipada � Valor Futuro (FV) 
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	taxas nominais
	Taxas nominais
	Cálculo da taxa efetiva
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Pagamentos com Carência 
	Pagamentos com Carência 
	Pagamentos com Carência
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Taxa de Juros compostos 
	Taxa de Juros compostos 
	Taxa de Juros compostos 
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Taxa de Juros compostos 
	Taxa de Juros compostos 
	Taxa de Juros compostos 
	Taxa de Juros compostos 
	Matemática Comercial e Financeira
	Prof.Maisa Milani
	Revisão 
	Taxa
	Fórmulas 
	Prof.Maisa Milani