Dimensionamento de vigas - flexão normal e cisalhamento Aulas 23 e 24 UFERSA

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18/10/2012 
1 
 
 
AULA 23 
Dimensionamento de vigas – 
Flexão normal e Cisalhamento 
 
 
Estrutura de Concreto Armado I 
Dados 
 
L1 
L2 
L3 L4 
P1 P2 P3 P4 
P5 
P6 
P7 
P8 
P9 P10 P11 
V -01 
V
 -
0
2
 
V
 -
0
3
 
V -04 
V -05 
V
 -
0
6
 
V -08 
V
 -
0
7
 
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Dados 
 
L1 
P1 
P8 
V
 -
0
2
 
Pré-dimensionamento da Viga 
 H = L/10 = 4,62/10= 0,46 cm = 50 cm 
 Largura 15 cm, largura da alvenaria 
 Classe de Agressividade = C 2 
 Cobrimento 30 mm 
 Concreto C 25 
 Aço CA 50 
 Apoios 18 cm pilares 
 Vão interno 444 cm 
 Vão teorico 462 cm 
 
P1 
P8 
V
 -
0
2
 
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Ações na Viga 
 Peso próprio = 0,15 x 0,50 x 25 = 1,88 kN/m 
 Reação Laje = 6,48 kN/m 
 Alvenarias = 2,5 x 0,15 x 13 = 4,88 kN/m 
 Total 13,24 kN/m 
P
1
 
P
8
 
V -02 
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Laje L1 
L1 
•Vão menor (Lx) = 414 cm 
•Vão maior (Ly) = 480 cm 
•Lambda – (λ=Ly/Lx) = 1.15 > Laje armada 2 direções 
•Caso : 2B 
•Ações (p=5,31 kN/m²) 
•Permanente+Acidental 
•REações nas vigas 
10
95,2 x
x
Lp
V


10
32,4
´ xx
Lp
V


10
83,1 x
y
Lp
V


mkNVx /48,6
10
14,431,595,2



mkN
Lp
V xx /50,9
10
32,4
´ 


mkN
Lp
V xy /02,4
10
83,1



Cálculo dos Diagramas 
462 cm 
13,24 kN/m 
Mk,máx=35,32 kNm Vk,máx=30,58 kN 
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Geometria da Seção 
 Diâmetros estimados para as barras 
 ϕt= 6,3 mm 
 ϕL= 20 mm 
 
 d’ = 3 + 0,63 + 2/2= 4,63 cm 
 d= h-d’=50-4,63=45,37cm 
 
Esforços de projeto 
 Momento Md,máx= γf x Mk, máx = 
 Cortante Vd,eixo= γf x Vk,eixo = 
 Cortante Vd,face= γf x Vk,face = 
 
 
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Esforços de projeto 
 Momento Md,máx= γf x Mk, máx = 49,45 kNm 
 Cortante Vd,eixo= γf x Vk,eixo = 42,81 kN 
 Cortante Vd,face= γf x Vk,face = 41,14 kN 
 
 
Mk,máx=35,32 kNm Vk,máx=30,58 kN 
Verificações 
 Momento limite = 
 Kc,lim=1,8 
 Md,lim= bd²/kc,lim 
 17153,64 kN cm 
 172 kNm 
 
 Md, máx<Md, lim 
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Verificações 
 Momento limite =172 kNm OK!!! Armadura Simples 
 Biela resiste? 
 Vrd2= 295,31 kN 
 
 
 
 
 Vsd,face = 41,14 kN 
 
 OK!!! A biela resiste. 
 
 
37,4515
4,1
5,2
)
25
5,2
1(27,027,0 22  dbfV wcdvRd 
Verificações 
 Momento limite =172 kNm OK!!! Armadura Simples 
 Biela resiste (Vrd2= 295,31 kN)>(Vsd,face = 41,14 kN) 
 OK!!! A biela resiste. 
 Vsd,min = força cortante referente a taxa mínima de 
armadura tranversal 
 
 
 
cswsd VVV  min,min,
ywdwswsw fdbV  9,0min,min,  kNVsw 34,275,4337,45159,0
100
1026,0
min, 
kNdbfV wckc 82,11237,45155,209,009,0
3 23 2 
faceVsdNkVsd ,16,140min, 
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Verificações Conclusões 
 Momento limite =172 kNm OK!!! Armadura Simples 
 Biela resiste (Vrd2= 295,31 kN)>(Vsd,face = 41,14 kN) 
 OK!!! A biela resiste. 
 Vsd,min = força cortante referente a taxa mínima de 
armadura tranversal OK!!! E a Armadura estribo é a 
mínima para toda viga 
 
 
 
Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


4945
37,4515 2
Momento Md,máx= 49,45 kNm=4945 kNcm 
24,6ck
24,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²62,2
37,45
4945024,0
cm


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Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


4945
37,4515 2
Momento Md,máx= 49,45 kNm=4945 kNcm 
24,6ck
24,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²62,2
37,45
4945024,0
cm


Resulta : 3 ϕ 12.5 usando brita #1 = 
3,68cm² de área efetiva: As,ef 
Dimensionamento ao cortante 
 Como Vsd,face<Vsd,min 
 Toda a viga tem armadura mínima ao corte 
 
 
 
 sw,min em % conforme tabela 
wswsw bmin,min,  
mcmmmsw /²54,1/10539,115,0
100
1026,0 24
min, 

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Dimensionamento 
ao cortante 
 Como 
Vsd,face<Vsd,min 
 Toda a viga tem 
armadura mínima ao 
corte 
 
 Duas pernas 
 
 
mcmsw /²54,1min, 
)_(/²77,0
min,
pernasduasmcm
S
Asw

Resulta : ϕ 5.0 a cada 25cm 
Ou ϕ 6.3 a cada 33cm 
Dimensionamento ao cortante 
Resultado prévio: ϕ 5.0 a cada 25cm 
 Espaçamento máximo e mínimo entre estribos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
















cm
d
VV
cm
d
VV
scm
Rdsd
Rdsd
20
3,0
67,0
30
6,0
67,0
7
2
2
Vrd2= 295,31 kN 
Vsd,face= 41,14 kN 


 

cm
cmd
scm
30
22,276,0
7
 Diâmetro máximo e mínimo da barra do estribo 
 
 
 
 
mmcmbmm wt 155,1)10/15(10/5 
Conclusão: ϕ 5.0 a cada 25cm = Estribo 
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AULA 24 
Detalhamento de vigas – Flexão 
normal e Cisalhamento 
 
 
Estrutura de Concreto Armado I 
Comprimento de ancoragem 
 Resistência de aderência 
 
 
 
 
 Comprimento básico de ancoragem 
ctdbd ff  321 





25,2
4,1
0,1
1



7,0
0,1
2





100/)132(
320,1
3 


para
MPaff ck
c
ctd 28,125
4,1
21,021,0 3/23/2  
²/128,0 cmkNfctd 
²/288,0128,01125,2 cmkNfbd 
bd
yd
b
f
f
l
4

 cmmm 545,542
288,04
5,1250




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Comprimento de ancoragem 
 Ancoragem no apoio 
 
 
 
 


 

mm
r
lbe
60
5,5
min,



 
mm
mm
60
1005,55,2 
cmctl dispbe 15318, 
OK!!! 
Deslocamento do Diagrama de M 
 Em função da ação conjunta de cortante e fletor 
 
 
 
 
kNVc 82,112
kNV facemáxsd 14,41, 
cmdal 2337,455,05,0 
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Deslocamento do Diagrama de M 
 Vejamos no gráfico 
 
 
 
 
cmdal 2337,455,05,0 
Comprimento das barras 
 Quando Mapoio=0, pelo menos um terço da área de 
aço deve chegar ao apoio. 
 Além disso na prática é necessário que pelo menos 
duas barras, o façam. 
 Vejamos o desenho: 
 
 
 
 
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Comprimento das barras 
Subdivisão 
no número 
de barras 
de flexão 
positiva 
A terceira barra pode ser separada das duas primeiras 
1ª e 2ª Barras entendem-se até o apoio 
1ª e 2ª Barras entendem-se até o apoio 
Precisa-se 
determinar o 
seu tamanho 
Comprimento das barras 
O comprimento 
que passa deve 
ser ancorado em 
ambos os lados 
O comprimento 
que passa deve 
ser ancorado em 
ambos os lados 
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Comprimento das barras 
 O comprimento que passa o diagrama de momento, 
para a ancoragem da barra deve ser no mínimo: 
 
 
 3ª Barra portanto tem que ter: 
 
 
 
 
cmla bl 775423 
)54(2133133ª3 barraC
cmC barra 420ª3 
D
e
ta
lh
a
m
e
nt
o
 d
a
 v
ig
a
 
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D
e
ta
lh
a
m
e
nt
o
 d
a
 v
ig
a
 
Alguns Detalhes 
 A virada do estribo nunca deve ser menor que 5cm 
 As armaduras, todas elas devem atender ao 
recobrimento de projeto (neste caso 3cm) 
 No projeto em geral medidas, para as barras e 
geometria, dadas em centímetros 
 Indicar o fck do concreto nas pranchas 
 O Nominal (N1, N2, N3...) de cada barra se dá por 
pranchas. 
 Duas barras N, só são iguais se todas as suas formas 
forem iguais, e ocupar posições semelhantes, nas 
peças 
 
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Quadro de Ferros 
 Indicação esquemática de todas as barras de uma 
prancha 
 
 
 
 
12.5 
12.5 
6.3 
5.0 
2 
17 
4,74 
4,20 
4,44 
1,16 
9,48 
4,20 
8,88 
19,72 
Quadro Resumo 
 Resumo das 
quantidades 
de aço, e seu 
total, por 
cada tipo de 
bitola 
diferente. 
 
 
 
 
6,3 
12,5 
5,0 
8,8 
13,68 
19,72 
0,245 
0,963 
0,154 
2,4 
14,5 
3,3 
20,2 kg Total 
18/10/2012 
18 
 
 
 
 
 
 
FIM!!! 
 
 
Estrutura de Concreto Armado I