fourier 2

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Disciplina: Me´todos Matema´ticos Aplicados a` Engenharia
Prof. Luis Renato Gonc¸alves Dias
Fourier
Exerc´ıcio 1. Considere a seguine func¸a˜o:
sinc(t) =
{
sen(t)
t , se t 6= 0,
1, se t = 0.
Dado a 6= 0. Encontre F{sinc(at)}.
Exerc´ıcio 2. Usando convoluc¸a˜o encontre f(t) = F−1
[
1
(1+iω)(2+iω)
]
.
Exerc´ıcio 3. Sejam F (ω) = F{f(t)} e G(ω) = F{g(t)}. Verifique as seguintes igualdades:
a)
∫ ∞
−∞
f(τ)g(t− τ)dτ = 1
2pi
∫ ∞
−∞
F (ω)G(ω)eiωtdω.
b)
∫ ∞
−∞
f(t)g(−t)dt = 1
2pi
∫ ∞
−∞
F (ω)G(ω)dω.
Exerc´ıcio 4. Encontre F{u0(t) cos(ω0t)} e F{u0(t) sen(ω0t)}.
Exerc´ıcio 5. Mediante a transformada de Fourier, ache a soluc¸a˜o particular para:
a) x′′(t) + 3x′(t) + 2x(t) = u0(t).
b) x′′(t) + 3x′(t) + 2x(t) = 3δ(t).
Exerc´ıcio 6. Encontre a transformada de Fourier da func¸a˜o u0(t− t0).
Exerc´ıcio 7. Use uma Transformada de Fourier conhecida e as propriedades para calcular a Transformada de
Fourier das seguintes func¸o˜es:
a) f(t) =
t
et2
b) f(t) = (1− t)2e−|t|
c) f(t) = (1− t)e−|1−t|
d) f(t) =
{
t, se |t| ≤ 1,
0, se |t| > 1.
e) f(t) =
t
1 + t2
f) f(t) =
t2
(1 + t2)2
g) f(t) =
{
tet, se t < 0,
0, se t > 0.
Exerc´ıcio 8. Use a Transformada de Fourier para calcular o valor de
∫ ∞
0
te−tdt.
Exerc´ıcio 9. Seja F{f(t)} = F (ω). Determine F 2{f(t)},F 3{f(t)} e F 4{f(t)}.
Respostas/Sugesto˜es:
Exerc´ıcio 1: pia p2a(ω). Exerc´ıcio 2: (e
−t − e−2t)u(t). Exerc´ıcio 4: Sugesta˜o: Escreva sen t e cos t em termos da exponencial complexa.
Exerc´ıcio 5: a) 12 (1− 2e−t + e−2t)u0(t). b) 3(e−t − e−2t)u(t). Exerc´ıcio 6: piδ(ω) + e
−iωt0
iω .
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