ESTATISTICA 7

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Introdução à Probabilidade
Espaço Amostral e Eventos
● Experimentos Aleatórios
– Fenômenos determinísticos: resultados sempre os 
mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências 
verificadas.
– Fenômenos aleatórios: mesmo repetidos várias vezes 
sob condições semelhantes, apresentam resultados 
imprevisíveis.
Exemplos: 
● Lançamento de uma moeda honesta
● lançamento de um dado
● Retirada de uma carta de um baralho completo com 52 cartas
● Determinação da vida útil de um componente eletrônico
 
Introdução à Probabilidade
Espaço Amostral e Eventos
● Espaço Amostral Ω
Conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento.
Exemplos: 
● Lançamento de uma moeda honesta
● lançamento de um dado
● Retirada de uma carta de um baralho completo com 52 
cartas
● Determinação da vida útil de um componente eletrônico
Ω={c , r}
Ω={1,2, 3,4,5,6 }
Ω={Ao ,... , K o , Ap , ... , K p , Ac , ... , K c , Ae , ... ,K e}
Ω={t∈ℝ/ t≥0}
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Eventos
Um evento é qualquer subconjunto do espaço 
amostral Ω de um experimento aleatório.
Qualquer que seja o evento , se , então é 
um evento de Ω. 
● Se é chamado evento certo
● Se é um conjunto unitário, é chamado 
evento elementar 
● Se é chamado evento impossível.
E=Ω ,E
E⊂Ωe E
E=∅ ,E
(E)
E E⊂Ω E
E
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Classe dos eventos aleatórios
Conjunto formado por todos os eventos (subconjuntos) 
do espaço amostral.
Exemplo: espaço amostral finito
A classe dos eventos aleatórios é: 
 =
Se nº pontos amostrais em é n, então nº eventos em 
é 
F(Ω)
∅
{e1, e2},{e1,e3}, {e1, e4}, {e2,e3}, {e2,e4}, {e3,e4}
Ω={e1 , e2 , e3 , e4}
{e1}, {e2}, {e3}, {e4}
{e1, e2,e3}, {e1,e2,e4}, {e1,e3,e4}, {e2,e3,e4}
{e1, e2,e3,e4}
Ω F
2n .
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Operações com eventos aleatórios
Considere um espaço amostral finito
Sejam A e B dois eventos de 
União: 
O evento união é formado pelos pontos amostrais que pertençam 
a pelo menos um dos conjuntos.
Observações:
1)
2)
3)
4) e 
F(Ω) .
Ω={e1 , e2 , e3 , e4}.
A∪B={ei∈Ω/ei∈Aoue i∈B},i=1,. .. , n.
A∪B=B∪A .
A∪A=A .
A∪∅=A .
Se A⊂B⇒ A∪B=B A∪Ω=Ω .
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Operações com eventos aleatórios
Considere um espaço amostral finito
Sejam A e B dois eventos de 
Intersecção: 
O evento intersecção é formado pelos pontos amostrais que 
pertençam simultaneamente aos dois conjuntos.
Observações:
1)
2)
3)
4) e 
– 5) 
F(Ω) .
Ω={e1 , e2 , e3 , e4}.
A∩B={ei∈Ω/ei∈Aee i∈B},i=1,. .. , n.
A∩B=B∩A .
A∩A=A .
A∩∅=∅ .
Se A⊂B⇒ A∩B=A A∩Ω=A .
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) .
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Operações com eventos aleatórios
Considere um espaço amostral finito
Sejam A e B dois eventos de 
Complementação: 
O complemento de um evento A é o evento contendo todos os 
resultados no espaço amostral que não pertençam a A.
Observações:
1)
2)
3)
4) 
– 5) 
F(Ω) .
Ω={e1 , e2 , e3 , e4}.
Ω−A=A=Ac={ei∈Ω/ei∉A }, i=1,. .. ,n .
(Ac )c=A .
A∪A c=Ω .
∅c=Ω .
A∩A c=∅ .
Ωc=∅ .
Ω
Ac
A
 
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● Exemplo:
Lançam-se duas moedas. Sejam A: saída de faces 
iguais e B: saída de cara na primeira moeda.
Determinar os eventos: 
1) 7)
2) 8)
3) 9)
4) 10)
5) 11)
6) 12)
 
A∪B
A∩B
Ac
Bc
(A∪B)c
(A∩B)c
Ac∪Bc
Ac∩Bc
B−A
A−B
Ac∩B
Bc∩A
 
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● Propriedades das operações
Sejam A, B e C eventos associados a um espaço 
amostral . As seguintes propriedades são válidas:
a) Idempotentes: c) Associativa:
 
 
b) Comutativas: d) Distributivas:
 
A∪A=A
A∩A=A
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C )
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C )
Ω
 
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● Propriedades das operações
Sejam A, B e C eventos associados a um espaço 
amostral . As seguintes propriedades são válidas:
e) Absorções: f) Leis das Dualidades ou Leis de Morgan:
 
 
g) Identidades: d) Complementares:
 
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
A∩Ω=A
A∪Ω=Ω
(A∩B)c=Ac∪Bc
(A∪B)c=Ac∩Bc
Ωc=∅
∅c=Ω
Ω
A∩∅=∅
A∪∅=A
A∩Ac=∅
A∪Ac=Ω
(Ac )c=A
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Partição de um Espaço Amostral
Dizemos que os eventos formam uma 
partição do espaço amostral se:
a)
b)
c)
 
Ω
A1 , A2 ,... , An
Ai≠∅ , i=1,... , n
Ai∩A j=∅ , i≠j
.∪(i=1)
n A i=Ω
.. .
A1
A2
A3
A5
A6
A4
An
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Eventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos ou dis-
juntos se A e B não puderem ocorrer juntos, ou seja, a 
realização de um exclui a realização do outro. Segue 
que A e B são disjuntos se
 
A∩B=∅.
B
A
Ω
 
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● Exemplos
Quais das seguintes relações são verdadeiras?
a)
b)
c)
d)
e)
 
(A∪B)∩(A∪C)=A∪(B∩C) .
A¯∩B=A∪B .
(A∪B)=(A∩B¯)∪B.
(A∪B)∩C= A¯∩B¯∩C¯ .
(A∩B)∩( B¯∩C)=∅ .
 
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Espaço Amostral e Eventos
● Exemplos
Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os 
eventos:
a) faces iguais;
b) cara na primeira moeda;
c) coroa na segunda e terceira moedas.
 
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