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Parametrização de curvas e integrais de linha - Resumo

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Comprimento de uma curva e Integral de linha para funções escalares
Integral de linha para funções vetoriais
Para calcular, por exemplo, uma curva do ponto “a” até “b”, aplicamos uma integral no
módulo da derivada da equação vetorial, no limite de “a” e “b”.
Exemplo:
R (t) = (1 + t, 3t + 4)
Como podemos observar na integral abaixo, teremos uma função vetorial r(t), onde apli-
caremos na função F, e faremos a integral do produto interno entre a F(r) com a derivada
de r(t) – (r’(t)). Ao contrario da integral de linha para funções escalares, não se faz o mo-
dulo da derivada de r(t).
F(r) . (r’(t)) é um escalar
F(r) é uma função vetorial
r’ (t) é uma função vetorial
Para calcular a integral de linha de uma função escalar F, aplicamos R(t) (equação vetorial)
em F, e fazemos o cálculo da integral de F(R(t)) multiplicando pelo módulo da derivada
de R(t) - (|| R’(t)||).
R (t) = (x(t), y(t))
R (t) = (x’(t), y’(t))
R’ (t) dt = (1, 3) dt = . (tf - t0)
10
F(r) . (r’ (t)) . dt
F (x, y)dl = F(R (t)) R’ (t) dt
c
Parametrização de curvas e integrais de linha
Cálculo III

2
Teorema de Green
Rotacional
Divergente
Lembrando que o teorema de Green relaciona uma integral de linha de uma curva fecha-
da e derivável (C) com uma integral dupla (região D).
Para calcular o Rotacional, faz o produto vetorial do Gradiente (
) com a função F.
F = P i + Q j + R k,
Para calcular o Divergente, faz o produto interno com a função F.
F = P i + Q j + R k,
Escrevemos as coordenadas x, y e z em função de 2 parâmetros (Parametrização
explícita), ou seja, escolhemos uma das variáveis e isolamos as outras 2.
Exemplo:
x = g(y, z)
y = h(x, z)
z = f(x, y)
Como no exemplo acima, temos uma função “g(y, z)”, onde a variável x está isolada, ou
dizemos que x está em função de y e z, e assim por diante.
Onde Qx é a derivada parcial de Q na variável x, e Py é a derivada parcial de P na variável y.
F(x, y)dr = (Qx – Py) . dx . dy
cD
rot (F) =
ijk
PQR
xyz
div F =
x
+
P
y
Q+
z
R
(
(