MATERIAL DE REVISAO FUNCOES DO 1 GRAU E 2 GRAU FTC ENG AMBIENTAL 2012.1 ARMANDO

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

�PAGE �
�PAGE �1�
	
	FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS
Disciplina: Cálculo Diferencial Curso: Engª Ambiental
 Professor: Carlos Armando 
Aluno (a) : Data: / /
 
 
REVISÃO DE FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAU 
1. Funções
1.1 – Introdução
É comum nos depararmos com situações onde o valor de uma quantidade depende de outra. Como por exemplo, A demanda de certo produto pode depender de seu preço de mercado; o lucro de uma empresa pode depender de sua receita e de seu custo; o tamanho de uma criança pode depender de sua idade; a quantidade de poluentes no ar pode depender do número de carros e indústrias da região. Muitas vezes, tais relações podem ser representadas (modeladas) através de funções matemáticas.
Normalmente, a função f é definida utilizando-se uma fórmula matemática, por exemplo: 
f(x) = x2 + 3
É muito comum também, vermos a variável y substituindo f(x):
y = x2 + 3
Neste caso, y é chamada variável dependente e x variável independente, pois o valor de y é resultado do emprego da fórmula para um determinado valor de x, ou seja, o valor de y depende do valor de x.
Logo, se quisermos saber qual o número que está associado ao número 2 pela fórmula acima, basta fazer: 
f(2) = 22 + 3 ( f(2) = 4 + 3 ( f(2) = 7
Exemplos:
1) Se f(x) = x + 3, determine f( 1 ), f( 2 ), f( -1 ). 
Resolução:
f( 1 ) = 1 + 3 = 4
f( 2 ) = 2 + 3 =- 5
f( -1 ) = - 1 + 3 = 2
2) Se f(x) = x2 + 2x - 2, determine f( 1 ), f( 2 ), f( -1 ). 
Resolução:
f( 1 ) = (1)2 + 2(1) - 2 ( 1 + 2 - 2 = 1
f( 2 ) = (2)2 + 2(2) - 2 ( 4 + 4 - 2 = 6
f( -1 ) = (-1)2 + 2(-1) - 2 ( 1 - 2 - 2 = - 3
3) Se f(x) = (x – 2)1/2, determine, se possível, f (27), f (2) e f (1), 
Resolução:
Sabemos que (x – 2)1/2 = , então podemos escrever: f(x) = , logo:
4) Se f(x) = 4 , determine, se possível, f (0), f (3) e f (1),
 x - 1
Resolução:
f( 0 ) = 4 = 4 = - 4
 0 -1 -1
f( 3) = 4 = 4 = 2
 3 -1 2
f( 1 ) = 4 = 4 = ( indeterminação )
 1 -1 0
Observe que quando x = 1, a função não poderá ser calculada. Então, é importante conhecermos o conjunto de valores para os quais a função poderá ser calculada, que é o Domínio da função.
Para determinarmos esse conjunto, é preciso obedecer três premissas básicas da matemática, que chamaremos de CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA, lembrando que trataremos apenas com número reais.
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA:
1ª – Em uma fração, o denominador deve ser sempre diferente de ZERO (≠ 0).
2ª – Em uma fração, se o numerador for uma raiz de índice par, o radicando deve ser sempre maior ou igual a ZERO ( ( 0 ).
3ª – Em uma fração, se o denominador for uma raiz de índice par, o radicando deve ser sempre maior que ZERO ( > 0 ), não podendo ser igual a ZERO.
5) Determine o domínio das funções abaixo:
 e) f(x) = x + 3
 √ 3x - 9
Resolução:
a) Não há qualquer restrição, portanto, D = R
b) Neste caso, devemos obedecer a primeira restrição: 2x - 1 ≠ 0 ( x ≠ 1/2 .
 Logo: 
c) Neste caso, devemos obedecer a segunda restrição: x – 2 ≥ 0 ( x ≥ 2
Logo:
d) Este é um caso típico onde devemos satisfazer às duas restrições:
1ª) 1 – x ≠ 0 ( x ≠ 1
2ª) 4 + x ≥ 0 ( x ≥ – 4
Logo, unindo as duas respostas, temos:
e) Neste caso, devemos obedecer a terceira restrição: 3x – 9 > 0 ( x > 3
Logo:
D = (x ( R ( x > 3 ( ou D = [ 3 , ( )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Calcule os valores indicados das funções abaixo:
a) f(x) = 3x2 + 5x – 2; f(1), f(0), f(–2)
b) h(t) = (2t + 1)3 ; h(–1), h(0), h(1)
c) g(x) = x + ( 1/ x ); g(–1), g(1), g(2)
d) f(x) = x ; f(2), f(0), f(–1)
 x2 + 1
RESPOSTAS:
1 –
1.2 – Funções Usuais
1.2.1 – Função Constante: y = k
Seja k um número real qualquer, essa função é aquela que representa sempre o mesmo valor para y, independente do valor de x. Sua representação gráfica é uma reta paralela ao eixo-x e que passa pelo ponto y = k.
Exemplo:
1) f(x) = 5.
Então, f(0) = 5, f(1) = 5, ou seja, o valor da função é sempre 5 independente do valor de x.
Seu gráfico será:
1.2.2 – Função Linear (Função do 1° Grau)
É uma função do tipo f(x) = ax + b. Sua representação gráfica é uma reta, onde a, que é o coeficiente angular, indica a inclinação ou a direção da reta, e b, que é o coeficiente linear, indica o ponto onde a reta intercepta o eixo-y.
Para construí-la, é necessário que tenhamos 2 pontos, então, damos dois valores aleatórios para x e calculamos o valor de y correspondente.
Colocamos esses pontos no plano e traçamos a reta.
1.2.2.1 – Gráfico da função do 1º grau:
 O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta
Exemplos:
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
	
  x
	y=f(x)=x+1
	-2
	-1
	-1
	 0
	0
	 1
	1
	 2
	2
	 3
	
	O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} 
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
  
	x
	y=f(x)=-x+1
	-2
	 3
	-1
	 2
	0
	 1
	1
	 0
	2
	-1
	
	O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} 
OBS: O gráfico de f(x)=x+1, por ter a >0, é crescente e o gráfico de (x)=-x+1, por ter a <0, é decrescente. 
  
3) Trace os gráficos das funções abaixo:
Uma característica muito importante da função linear é que a variação do y é sempre a mesma quando o x varia de uma unidade. Por exemplo, seja a função anterior f(x) = 2x + 3. Vamos fazer uma tabela com alguns valores de x (variando de 1 a 1) e seus respectivos y:
Observe, que, à medida que o x varia de uma em uma unidade, o y varia sempre de 2 em 2.
Vejamos ainda, outro exemplo: f(x) = 2 – 3x
Note que neste exemplo, o x varia de 1 em 1 enquanto o y varia de – 3 em – 3. A variação do y não é a mesma do exemplo anterior, mas durante este exemplo, ela não se modifica, mantendo-se sempre uma queda de três unidades entre um y e o posterior, desde que x aumente de uma unidade.
Note também que essa variação, tanto neste exemplo quanto no anterior, é igual ao coeficiente angular das retas que representam ambas as funções. Então podemos concluir que: 
a = y2 – y1 = (y
 X2 – x1 (y
1.2.2.2 – Equação da reta que passa por dois pontos conhecidos
Nós conhecemos dois pontos, P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) , e o nosso objetivo é, a partir deles, determinar a equação da reta, y = ax + b, que passa por eles. E, para isso, necessitamos calcular os valores de a e b.
Exemplo:
 1) Calcule a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (1 , 3) e P 2 = (3 , 7)
Podemos resolver esse problema de duas formas:
1ª) Sistema de Equações Lineares:
Substituímos os valores de x e y dos pontos na equação da forma y = ax + b. 
Então:
P1 = (1 , 3) ( 3 = a + b
P 2= (3 , 7) (7 = 3a + b
Resolvendo esse sistema encontramos os valores a = 2 e b = 1. Logo a equação é y = 2x + 1
2ª) Fórmula Geral: y – y1 = y2 – y1 ( x – x1 )
 X2 – x1 
Substituindo os valores das coordenadas dos pontos P1 = (1 , 3) e P 2 = (3 , 7)), na fórmula acima temos: 
y – 3 = 7 – 3 ( x – 1 ) ( y – 3 = 4 ( x – 1 ( y – 3 = 2( x – 1 ) ( y – 3 = 2x - 2 
 3 - 1 2
y = 2x – 2 + 3 ( y = 2x + 1 
Portanto, a equação é y = 2x + 1
1.2.2.3 – Equação da reta dados um ponto e o coeficiente
angular.
Nós conhecemos um ponto, P1 (x1 , y1 ) e o coeficiente angular a, e o nosso objetivo é, a partir deles, determinar a equação da reta, y = ax + b, que passa por eles. E, para isso, necessitamos calcular o valor de b.
Exemplo:
1) Calcule a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (3 , 8) e cujo coeficiente angular é a = – 2.
Podemos resolver esse problema apenas substituindo os dados que temos na equação da reta, y = ax + b. 
Como já sabemos que a = – 2, basta substituir o ponto nos valores de x e y:
y = – 2x + b ( 8 = – 2. 3 + b ( 8 = – 6 + b ( b = 14
Portanto, a equação procurada é y = – 2x + 14
1.2.2.4 – Funções restritas a subconjuntos de números reais.
Embora o domínio dessas funções seja todo o conjunto dos números reais, em aplicações práticas, essas funções podem estar restritas a subconjuntos de números reais.
Exemplos:
Trace o gráfico das seguintes funções:
1.2.2.5 – Interseção entre duas funções.
Para determinar o ponto de interseção entre duas funções, basta igualar as suas equações e resolver a equação resultante.
Exemplo:
1) Calcule o ponto de interseção das funções: y = 2x + 3 e y = – 3x – 7.
Resolução:
Devemos igualar as duas funções e resolver a equação resultante:
2x + 3 = – 3x – 7 ( 5x = – 10 ( x = – 2
Agora, devo substituir o valor de x encontrado em qualquer uma das duas funções dadas, para encontrar o valor de y, por exemplo, na primeira função:
y = 2.(– 2) + 3 ( y = – 4 + 3 ( y = – 1
Logo, o ponto de interseção das retas acima é o ponto (– 2, – 1)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
RESPOSTAS:
2 – a) (5, 15) ; b) (60, 70) ; c) (– 6, – 16 ); d) (– 1/2, 7/2) ; e) (3, 1) ; f) não existe
 
 
 
 
 
 
1.2.2.6 - Raiz ou zero da função do 1º grau:
  
	Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
	
Exemplos:
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0  (  x= -1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
  
	
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
Fazendo y=0, temos:
         0 = -x+1  »  x = 1
Gráfico: 
	
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.
1.2.2.7 - Sinal de uma função de 1º grau:
Observe os gráficos:
  
	
	
	a>0
	a<0
Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y = f(x) = x + 1
x + 1> 0  ( x > -1 ;  
Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1
       x +1< 0  (  x < -1     
Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1
b) y = f(x) = -x + 1
- x +1> 0  (  - x > -1  ( x <1  
(ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
       -x+1< 0  »  -x < -1  (  x>1
       
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
1.2.3 – Função de 2° Grau (Função Quadrática)
É a função dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c ( R e a ≠ 0
Sua representação gráfica é uma parábola cujos principais pontos são:
a) Raízes - interseção com o eixo-x: ( x1, 0) e (x2, 0)
b) Vértice: V = (x v , y v ) cujas coordenadas são dadas por:
 x v = – b
 2a
e y v = − Δ 
 4a
Observe que, se a > 0, a parábola terá sua concavidade para cima, ao passo que, se a < 0, ela terá concavidade para baixo.
Exemplos:
1) Construa o gráfico das funções abaixo:
y = x2 – 6x + 8
b) y = 10x – x 2
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Uma empresa analisou suas vendas e descobriu que seus clientes irão comprar 40% a mais para cada redução de R$ 20,00 no preço unitário. Quando o preço é de R$ 40,00, a empresa vende 500 unidades do produto. Determine a equação linear da função para esse produto e esboce o seu gráfico. 
2) Uma empresa aérea observou que quando o preço da passagem Ilhéus / Salvador é de R$ 180,00 são vendidas por dia 200 passagens e quando o preço é de R$ 220,00, são vendidas 150 passagens por dia,determine a equação da função linear da demanda de passagens. 
3) O preço pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa denominada bandeirada, e uma parcela variável que depende da distância percorrida.
Se a bandeirada custa R$3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule:
O preço de uma corrida de 11 Km;
A distância percorrida por um passageiro que pagou R$21,50 pela corrida.
4) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; 
b) calcule o custo de 100 peças;
c) qual a taxa de crescimento ( taxa de variação ) da função?
5) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2,4) e cujo coeficiente angular é –2. Construa o gráfico dessa função, diga se ela é crescente ou decrescente, ache o valor da raiz e faça o estudo de sinal da função.
6) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda:
Qual a lei dessa função f(x);
Para que valores de x temos f(x) = 0? Como pode ser interpretado esse caso?
Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00;
Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00?
Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?
7) Dadas as funções:
 f (x) = x2 – 2x + 1; f (x) = -x2 – 2x – 1 ; f (x) = x2 – 2x + 2 ; f (x) = -5 x2 + 3x - 4
f (x) = x2 – 4x + 5 ; f (x) = x2 – 6x + 9 ; f (x) = x2 + 2x – 3 ; f (x) = x2 – 2x + -3
f (x) = x2 – 64 ; f (x) = x2 – 7x + 6 ; f (x) = 9x2 + 6x + 1
Determine:
a) o esboço gráfico de f (x) passando pelos pontos (raízes, vértices e interseção com o eixo y);
b) a imagem, o valor mínimo ou máximo, os intervalos de variação (crescente e decrescente) e o estudo de sinal da função, quando f(x) = 0, f (x) > 0 e f (x) < 0.
“ Não fique preocupado com suas dificuldades em Matemática.
Eu posso lhe assegurar que as minhas são ainda maiores” 
(Albert Einstein)
Prof. Carlos Armando Rocha Filho