Lista 01 Cálculo III

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FURB - UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
EXERCICIOS - CA´LCULO III - INTEGRAIS MULTIPLAS
MULTIDISCIPLINAR - PROF. JULIO CESAR CABRAL
1. Calcule as integrais e os problemas relacionados abaixo:
(a)
∫ 3
0
∫ 1
0 (6x
2y3 − 5y4)dydx Resp. 21
2
(b)
∫ 1
0
∫ 1
0 xe
xydydx Resp. e− 2
(c)
∫ 3
0
∫ 1
0 (4− x− 2y)dxdy (Esboce gra´fico)
(d)
∫ 1
0
∫ 1
0 x
√
x2 + ydxdy Resp. 2
15
(4
√
2− 1)
(e)
∫ 1
0
∫ x2
0 (x+ 2y)dydx (Grafique os intervalos) Resp.
9
20
(f)
∫ 1
0
∫ ey
y
√
xdxdy Resp. 4
9
e
3
2 − 38
45
(g)
∫ pi
2
0
∫ cos θ
0 e
sin θdrdθ Resp. e− 1
(h)
∫ ∫
D x
3y2 dA D = {(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2 e − x ≤ y ≤ x} Resp. 256
21
(i) Determine a integral do so´lido que e´ limitado acima pelo plano z = 2x+ 5y+ 1
e abaixo do retaˆngulo R = {(x, y)/− 1 ≤ x ≤ 0; 1 ≤ y ≤ 4} Resp. 75
2
(j) Determine a integral do so´lido abaixo do parabolo´ide x
2
4
+ y
2
9
+ z = 1 e acima
pelo retangulo R = {(x, y)/− 1 ≤ x ≤ 1; −2 ≤ y ≤ 2}
(k) Determine a integral abaixo do paraboloide z = x2 + y2 e acima da regia˜o
limita por y = x2 e x = y2 Resp. 6
35
(l) Abaixo da superf´ıcie z = xy e acima do triaˆngulo com ve´rtices em (1, 1), (4, 1)
e (1, 2). Resp. 31
8
(m) Limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y + z = 1. Resp. 1
6
2. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e fac¸a a mudanc¸a da ordem de integrac¸a˜o:
(a)
∫ 1
0
∫ x
0 f(x, y)dydx
(b)
∫ 4
0
∫ 2
y
2
f(x, y)dxdy
1