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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – AULA 1 2ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
1 
DERIVADAS 
INTRODUÇÃO 
 
O conceito de derivada foi introduzido no século XVII em estudos de problemas da Física, mais especificadamente, em 
problemas que envolvem movimentos. 
Os principais nomes que estão ligados à introdução desse importante tópico da Matemática são: 
• Isaac Newton – físico e matemático inglês (1642 – 1727);	
  
• Gottfried Leibniz – filósofo e matemático alemão (1646 – 1716), e;	
  
• Joseph-Louis Lagrange – matemático francês que nasceu em Turin, Itália, mas viveu praticamente a vida 
toda na França (1736 – 1813).	
  
As ideias preliminares introduzidas nos estudos da Física foram, aos poucos, sendo incorporadas a outras áreas do 
conhecimento, tais como: Economia, Administração, Engenharias, etc. 
 
A RETA TANGENTE 
 
 Seja y = f ( x ) uma curva definida no intervalo (a , b), como representado na figura abaixo: 
 
 Nesta figura tem-se os pontos P (x1 , y1) e Q (x2 , y2), ambos pertencentes à curva y = f ( x ) e à reta s. 
 Do triângulo PMQ verifica-se que a inclinação da reta s – coeficiente angular da reta s – é dado por: 
tg α =
y2 − y1
x2 − x1
⇒ tg α =
Δy
Δx 
 Se se mantiver fixo o ponto P e mover-se o ponto Q sobre a curva em direção ao ponto P, obrtém-se: 
 
 Ou seja, a inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por: 
m x1( ) = limQ→P
Δy
Δx
= limx2→x1
f x2( ) − f x1( )
x2 − x1
 
quando existe esse limite. 
 Quando se faz x2 = x1 + Δx pode-se reescrever o limite como: 
m x1( ) = limΔx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
 
 E, pode-se concluir que, conhecendo-se a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, pode-se encontrar a 
equação da reta tangente à curva nesse ponto. 
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TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA 
 As taxas de variação ocorrem em muitas aplicações práticas. Em geral, se “x” e “y” forem valores das variáveis 
relacionadas pela função matemática y = f ( x ), podemos considerar a taxa segundo a qual a variável “y” varia em relação à 
variável “x”. 
 Não se pode confundir os dois tipos de taxas. Há distinção entre elas. A taxa média de variação é representada pela 
inclinação da reta secante à curva representativa da função e a taxa instantânea de variação é representada pela inclinação da 
reta tangente à curva representativa da função. 
 
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO 
 Seja a função matemática dada por y = f ( x ). Se a variável independente “x” variar de “x1” para “x2”, então a variação 
de “x”, também denominada de incremento, será dado por: 
Δx = x2 – x1 
e a correspondente variação da variável dependente “y” será: 
Δy = f ( x2 ) – f ( x1 ). 
 O quociente dessas diferenças é dado por: 
Δy
Δx
=
f x2 ( ) − f x1( )
x2 − x1
 
que é denominado de Taxa Média de Variação da variável “y” em relação à variável “x”, no intervalo [ x2 , x1 ] e pode ser 
interpretado como a inclinação da reta secante msec, a reta que intercepta a curva representativa da função nos pontos de 
abscissas x2 e x1. Podemos, portanto, escrever: 
msec =
Δy
Δx
=
f x2 ( ) − f x1( )
x2 − x1
 
 TAXA INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO 
 Vamos considerar a taxa média de variação em intervalos cada vez vez menores, fazendo x2 tender a x1 e, portanto, 
fazendo Δx tender a 0 (zero). O limite dessas taxas médias de variação é denominado de taxa instantânea de variação da 
variável “y” em relação à variável “x” no ponto x = x1, e pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à curva 
representativa da função y = f ( x ) no ponto P ( x1 , y1 ). 
 Ou seja: 
mtg = limx → 0
Δy
Δx
= lim
x → 0
f x2 ( ) − f x1( )
x2 − x1
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE 
 
 Seja uma função f ( x ), contínua em x1, então a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto P(x1 , f ( x1)) será dada por: 
• y – f (x1) = m (x – x1), se o limite m x1( ) = limΔx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
 existir. 
• x = x1, se o limite m x1( ) = limΔx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
 for infinito. 
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EXEMPLOS 
 1) Determine a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (x1 , y1). 
Solução: 
 Se f ( x ) = x2 – 2x + 1, então, 
f x1( ) = x1( )
2
− 2x1 +1
f x1 + Δx( ) = x1 + Δx( )
2
− 2 x1 + Δx( )+1= x1( )
2
+ 2x1Δx + Δx( )
2
− 2Δx +1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
. 
 Substituindo-se em m x1( ) = limΔx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
, obtém-se: 
 
m x1( ) = limΔx→0
x1( )
2
+ 2x1Δx + Δx( )
2
− 2Δx +1− x1( )
2
− 2x1 +1( )
Δx
⇒ m x1( ) = limΔx→0
2x1Δx + Δx( )
2
− 2Δx
Δx
⇒ 
 
m x1( ) = limΔx→0
Δx 2x1 + Δx − 2( )
Δx
⇒ m x1( ) = 2x1 − 2 
 Resp.: A inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (x1 , y1) é m (x1) = 2x1 – 2. 
 
2) Qual a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2. 
 Solução: 
 O valor de f ( 2 ) é: f ( 2 ) = 2( 2 )2 + 3 ⇒ f ( 2 ) = 2 . 4 + 3 ⇒ f ( 2 ) = 11. 
Logo, as coordenadas do ponto P são: P ( 2 , 11). 
 Determinando a inclinação da curva y = 2x2 + 3 no ponto P (2 , 11) será dada por: 
m x1( ) = limΔx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
⇒m x1( ) = limΔx→0
2 x1 + Δx( )2 + 3 − 2 x1( )2 + 3( )
Δx
⇒
m x1( ) = limΔx→0
2 x1( )2 + 4x1 + Δx + 2 Δx( )2 + 3 − 2 x1( )2 − 3
Δx
⇒m x1( ) = limΔx→0
Δx 4x1 + 2Δx( )
Δx
⇒
m x1( ) = limΔx→0 4x1 + 2Δx( )⇒m x1( ) = 4x1
 
Como x1 = 2, vem: m ( 2 ) = 4 . 2 ⇒ m ( 2 ) = 8 
Sendo o limite determinado (não infinito), a equação da reta tangente será dado por: 
y – f (x1) = m (x – x1) ⇒ y – 11 = 8 (x – 2) ⇒ y – 11 = 8x – 16 ⇒ 8x – y – 5 = 0. 
 
3) Determine a equação da reta tangente à curva y = x , que seja paralela à reta de equação 8x – 4y + 1 = 0. 
Solução: 
Antes de resolver esse exemplo, convém recapitular que duas retas são paralelas quando possuírem coeficientes 
angulares iguais. 
Determinando a inclinação da reta tangente à curva y = x em um ponto genérico (x1 , y1), obtém-se: 
m x1( ) = limΔx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
⇒m x1( ) = limΔx→0
x1 + Δx − x1
Δx
⇒ 
m x1( ) = limΔx→0
x1 + Δx − x1( ) .  x1 + Δx + x1( )
Δx . x1 + Δx + x1( ) ⇒m x1( ) =
lim
Δx→0
x1 + Δx − x1
Δx . x1 + Δx + x1( )⇒ 
m x1( ) = limΔx→0
Δx
Δx . x1 + Δx + x1( )⇒m x1( ) =
1
2 . x1
. 
Assim, o coeficiente angular – inclinação – da reta tangente à curva y = x é m x1( ) =
1
2 . x1
. 
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Como se deseja a reta tangente que seja paralela à reta de equação 8x – 4y + 1 = 0, deve-se encontrar o coeficiente 
angular dessa reta: 
8x – 4y + 1 = 0 ⇒ 4y = 8x +1 ⇒ y = 2x + 
1
4
e, seu coeficiente angular é igual a 2. 
Assim, pode-se escrever: 
1
2 . x1
= 2⇒ x1 =
1
4
⇒ x1 =
1
16
 e y = x ⇒ y = 1
16
⇒ y = 1
4
 
Logo, a reta que se deseja é a reta tangente à curva y = x no ponto de coordenadas 
1
16
 , 
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . 
Portanto, tem-se: 
y – f (x1) = m (x – x1) ⇒ y − 
1
4
= 2 . x − 1
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇒ 16y − 4 = 32x − 2 ⇒ 16x − 8y +1= 0 . 
Graficamente, este exemplo é representado por: 
 
4) Determine a equação da reta normal à curva y = x2 que passa pelo ponto P ( 2 , 4 ). 
Solução: 
Antes de proceder à resolução do exemplo, deve-se lembrar que a reta normal a uma curva em um dado ponto é a 
reta perpendicular à reta tangente neste ponto. 
Logo, deve-se relembrar que as retas t e r são perpendiculares se mt . mr = – 1, onde mt e mr são as inclinações das 
retas t e r, respectivamente, em um dado ponto P, pertencente à curva. 
Ao se calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto P ( 2, 4 ):m x1( ) = limΔx → 0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
⇒m x1( ) = limΔx → 0
x1 + Δx( )2 − x1( )2
Δx
⇒
 
 
m x1( ) = limΔx → 0
x1( )2 + 2x1Δx + Δx( )2 − x1( )2
Δx
⇒m x1( ) = limΔx → 0
2x1Δx + Δx( )2
Δx
⇒
 
 
m x1( ) = limΔx → 0
Δx 2x1 + Δx( )
Δx
⇒m x1( ) = limΔx → 0 2x1 + Δx( )⇒m x1( ) = 2x1 
 Então, como P ( 2, 4 ), tem-se, mt ( 2 ) = 2 . 2 ⇒ mt ( 2 ) = 4. 
Para encontrar a inclinação da reta r, faz-se: 
mt . mr = – 1 ⇒ 4 . mr = – 1 ⇒ mr = − 
1
4
 
Aplicando-se os resultados obtidos na equação da reta, vem: 
y – f (x1) = m (x – x1) ⇒ y – 4 = − 
1
4
(x – 2) ⇒ x + 4y – 18 = 0. 
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Graficamente, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: A equação da reta normal à curva y = x2 no ponto P ( 2 , 4 ) é dada por x + 4y – 18 = 0. 
 
5) Seja a função dada por f ( x ) = x2 + 1. Determinar, interpretando os resultados obtidos: 
a) a taxa de variação média de “y” em relação a “x” no intervalo [ 3 , 5 ]. 
b) a taxa de variação instantânea de “y” em relação a “x” no ponto x = – 4. 
Solução: 
 a) Para encontrar a taxa de variação média devemos encontrar a inclinação da reta secante nos pontos extremos do 
intervalo dado, ou seja, x1 = 3 e x2 = 5. Portanto: 
 msec =
Δy
Δx
=
f x2 ( ) − f x1( )
x2 − x1
 ⇒ msec =
Δy
Δx
=
f 5 ( ) − f 3( )
5 − 3
 ⇒ msec =
52 +1( ) − 32 +1( )
2
 ⇒ msec =
26 −10
2
 ⇒ msec = 8 
 Interpretação: No intervalo [ 3 , 5 ], para cada unidade de aumento da variável “x” a variável “y” aumenta 8 unidades. 
 b) Para o cálculo da taxa de variação instantânea devemos encontrar a a inclinação da reta tangente da função dada 
no ponto x1 = – 4. Portanto: 
 mtg = limx2 → x1
Δy
Δx
= lim
x2 → x1
f x2 ( ) − f x1( )
x2 − x1
 ⇒ mtg = limx2 → − 4
 x2
2 +1 ( ) − − 4( )2 +1⎛⎝ ⎞⎠
x2 − − 4( )
 ⇒ mtg = limx2 → − 4
 x2
2 +1 ( ) −17
x2 + 4
 ⇒ 
 mtg = limx2 → − 4
x2
2 − 16
x2 + 4
. Substituindo x2 pelo valor – 4, mtg =
− 4( )2 − 16
− 4 + 4
 ⇒ mtg =
0
0
, uma indeterminação. 
 Fatorando x2
2 − 16 , obtemos: ( x2 + 4 ) . ( x2 – 4 ). Procedendo a substituição da forma fatorada no cálculo do limite, 
temos: 
 mtg = limx2 → − 4
x2
2 − 16
x2 + 4
 ⇒ mtg = limx2 → − 4
x2 + 4( ) . x2 − 4( )
x2 + 4
 ⇒ mtg = limx2 → − 4
x2 − 4( ) ⇒ mtg = − 4 − 4 ⇒ mtg = − 8 . 
 Interpretação: Sendo a taxa de variação instantânea negativa, significa que a função y = f ( x ) é uma função 
decrescente no ponto de abscissa x = – 4 a uma taxa de 8 unidades da variável “y” por unidade de acréscimo da variável “x”. 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO 
 
DEFINIÇÃO 
 
 Seja f ( x ) uma função e x1 um ponto do domínio dessa função. Chama-se derivada da função f no ponto x1, se existir 
e for finito, o limite dado por: 
lim
Δx→0
Δy
Δx
= lim
Δx→0
f x1 + Δx( ) − f x1( )
Δx
. 
 
Conforme visto anteriormente, a reta de equação y – f (x1) = m (x – x1) é a reta tangente ao gráfico da função f ( x ) no 
ponto P(x1 , f ( x1)). 
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Assim, a derivada da função f ( x ), no ponto P, é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico da 
função f ( x ) no ponto de abscissa x1. 
 
NOTAÇÃO 
 Indica-se a derivada de uma função f ( x ), no ponto x1, por: 
• f ’ ( x1 ) , notação devida a Lagrange, lê-se: f linha de x no ponto x1; 
 
• , notação de Leibniz, que se lê: derivada da função f no ponto x1; 
 
• 
dy
dx
x1( ) , que se lê: derivada de y em relação a x, no ponto x1; 
 
• Dx f ( x ), lê-se: derivada da função f ( x ) em relação à variável x; 
• Dx y, lida como: derivada de y em relação a x; 
• dy
dx x=x1
, lê-se: derivada de y, em relação à variável x, no ponto x1, , ou ainda 
• d
dx
f x( )( )
x=x1
, lida da seguinte maneira: derivada da função f ( x ), em relação à variável x, no ponto x1. 
Observação: A forma mais utilizada de notação é a primeira, seguida pelas demais. 
 
MÉTODO GERAL DE DERIVAÇÃO 
 
 O método geral de derivação é realizado por intermédio da aplicação da definição de derivada de uma função em um 
ponto, ou seja, utilizando-se limites. 
 
EXEMPLOS 
 1) Dada a função f ( x ) = 5x2 + 6x – 1, determine o valor de f ‘ ( 2 ). 
 Solução: 
 f ‘ ( 2 ) = lim
Δx→0
f 2 + Δx( ) − f 2( )
Δx
⇒ f ‘ ( 2 ) = lim
Δx→0
5 2 + Δx( )2 + 6 2 + Δx( ) −1 − 5 . 22 + 6 . 2 −1 ( )
Δx
⇒ 
 f ‘ ( 2 ) = lim
Δx→0
20 + 20Δx + 5 Δx( )2 + 12 + 6Δx − 20 −12
Δx
⇒ f ‘ ( 2 ) = lim
Δx→0
26Δx + 5 Δx( )2
Δx
⇒ 
f ‘ ( 2 ) = lim
Δx→0
Δx 26 + 5Δx( )
Δx
⇒ f ‘ ( 2 ) = lim
Δx→0
26 + 5Δx( )⇒ f ‘ ( 2 ) = 26 
 
2) Dada a função f ( x ) = 
x − 2
x + 3
, determine a derivada da função. 
Solução: 
f ' ( x ) = lim
Δx → 0
f x + Δx( ) − f x( )
Δx
 ⇒ f ' ( x ) = lim
Δx → 0
x + Δx −  2
x + Δx + 3 −
x −  2
x + 3
Δx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ 
f ' ( x ) = lim
Δx → 0
x + Δx −  2( ) x + 3( )− x −  2( ) x + Δx + 3( )
x + Δx + 3( ) x + 3( )Δx 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
 f ' ( x ) = lim
Δx → 0
x2 + x + xΔx + 3Δx −  6 − x2 − xΔx − x + 2Δx + 6
x + Δx + 3( ) x + 3( )Δx ⇒ f ' ( x ) =
lim
Δx → 0
 5Δx
x + Δx + 3( ) x + 3( )Δx ⇒ 
df
dx
x1( )
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f ' ( x ) = lim
Δx → 0
 5
x + Δx + 3( ) x + 3( ) ⇒ f ' ( x ) =
 5
x + 3( ) x + 3( ) ⇒ f ' ( x ) =
 5
x + 3( )2 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. 
a) f ( x ) = x2 – 1, nos pontos x = 1, x = 0 e x = a (a ∈ ); d) f ( x ) = 1
x
, nos pontos x = 1
3
 e x = 3; 
b) f ( x ) = x2 – 3x + 6, nos pontos x = – 1 e x = 2; e) f ( x ) = 1
x − a
, ∈  – { 1 – 2, 4}, nos pontos x = – 2 e x = 4. 
c) f ( x ) = x ( 3x – 5), nos pontos x = 1
2
 e x = a (a ∈ ); f) f ( x ) = 2 x , nos pontos x = 0, x = 3, x = a, a > 0. 
2) Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x2 – 2x + 1, no ponto (– 2, 9). 
 
3) Utilizando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
a) f ( x ) = 1 – 4x2 b) f ( x ) = 2x2 – x – 1 c) f ( x ) = 1
x + 2 
d) f ( x ) = 1− x
x + 3
 e) f ( x ) = 1
2x −1
 f) f ( x ) = x + 33 
4) Determinar a taxa média de variação da função definida por f ( x ) = 5x + 8. 
 
5) Encontre a taxa média de variação da função definida por f ( x ) = x2 + 3x, no ponto x = 2. 
 
6) Determine a taxa média de variação da variável “y” em relação à variável “x” e a taxa instantânea de variação da variável “y” 
em relação à variável “x” no ponto extremo esquerdo do intervalo, para: 
a) a função definida por f ( x ) = x2 + 2 e o intervalo [ 3 ; 3,5 ]. 
b) a função definida por f ( x ) = 3 – 2x2 e o intervalo [ 2 ; 2,4 ]. 
 
7) Dadas as funções f ( x ) = 5 – 2x e g ( x ) = 3x2 – 1, determine: 
a) f ‘ ( 1) + g ‘ (1) b) 2 . f ‘ ( 0 ) – g ‘ ( – 2 ) c) f ( 2 ) – f ‘ ( 2 ) d) g ' 0 ( )⎡⎣ ⎤⎦
2
+ 1
2
g ' 0 ( ) + g 0 ( )
 
e) f 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 − 
f ' 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
g ' 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
RESPOSTAS 
 
1) a) 2x – y – 2 = 0; y = – 1; 2ax – y – a2 – 1 = 0 b) 5x + y – 5 = 0; x – y + 2 = 0 c) 8x + 4y + 3 = 0; (6a – 5)x – y – 3a2 = 0 
d) 9x + y – 6 = 0; x + 9y – 6 = 0 e) x + (2 + a)2 y + 4 + a = 0; x + (4 – a)2 y – 8 + a = 0 f) x = 0; x – 3 y + 3 = 0; x – a y + a = 0 
2) 6x + y + 3 = 0 e x – 6y + 56 = 0 3) a) – 8x b) 4x – 1 c) −1
x + 2( )2
 d) − 4
x + 3( )2
 e) − 1
2x −1( ) 2x −1
 f) 1
3 x + 3( )23
 
4) 5 5) 7 + Δx 6) a) msec = 6,5 e mtg = 6 b) msec = – 8,8 emtg = – 8 7) a) 4 b) 8 c) – 1 d) – 1 e) 
2
15