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Sala 509 CÁLCULO BÁSICO – AULA 1 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 	
  
CONJUNTOS 
 
Introdução 
Analise a seguinte situação-problema: 
Em uma pesquisa realizada por uma agência de marketing com 50 pessoas para saber que esporte elas preferem 
entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de 
futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. Com base nesses 
dados, responda: 
a) quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? 
b) quantas gostam somente de futebol? 
c) quantas pessoas gostam só de vôlei, ou só de basquete, ou de ambos? 
 
Para resolver questões desse tipo, deve-se utilizar conhecimentos de conjuntos. 
Desde a Antiguidade há indícios de que filósofos e matemáticos se interessaram pelo assunto. 
Arquimedes (287-212 a.C) desenvolvia ideias sobre a natureza do infinito em coleções de objetos. Galileu no século XVII 
relacionou elementos de dois conjuntos tentando explicar ideia de infinito atual (infinito como algo completo). Mas, graças ao 
russo Georg Ferdinand Cantor (1845 – 1918), que se interessou pela natureza dos conjuntos infinitos, nasceu a Teoria dos 
Conjuntos, considerada um capítulo autônomo da Matemática. 
Além de desenvolver a habilidade de utilização de linguagem simbólica matemática, deve-se também à teoria dos 
Conjuntos o importante papel de poder ser utilizada em diversos conteúdos de outras áreas que não só a da Matemática. 
Não há definição de conjunto e adota-se apenas a noção intuitiva. A ideia é a mais simples e fundamental da 
Matemática, pois a partir dela podem se expressar todos os conceitos matemáticos. 
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. 
Exemplo 
• conjunto dos países do Mercosul: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai e Venezuela. 
• conjunto das regiões brasileiras: Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sul, Sudeste. 
• conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 
 
Nomenclatura 
É usual dar nomes aos conjuntos usando letras maiúsculas A, B, C, D, ... . 
Um conjunto é formado por elementos. 
 
Representação 
Os conjuntos podem ser representados por diferentes modos. 
A representação tabular, ou de enumeração, é aquela em que os elementos são apresentados entre chaves e 
separados por vírgula. Ela é usada quando a quantidade de elementos não é muito grande. 
Há, também, a representação por meio de diagrama de Venn (John Venn, 1834 – 1923) onde os elementos são 
simbolizados por pontos interiores a uma região plana e limitada por uma linha fechada que não se entrelaça. Essa forma de 
representação é muito útil para realizar operações com conjuntos. 
Ainda é possível a representação por uma propriedade característica que descreve os elementos de um conjunto. 
 
Exemplos 
1) Representação tabular: 
a. M = {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai, Venezuela}; 
b. A = {a, e, i, o, u}, e; 
c. B = {1, 2, 3, 4}. 
2) Representação por uma propriedade característica: 
a. M = {x | x é país do Mercosul} (lê-se: “M é o conjunto de todos os elementos x tal que x é país do Mercosul”); 
b. A = {x | x é vogal} 
c. C = {x | x possui a propriedade p} (lê-se: “C é o conjunto de todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”) 
3) Representação por diagramas de Venn: 
a. Conjunto das vogais do alfabeto latino: b. Conjunto dos números naturais maiores que zero e menores 
 que seis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE CONJUNTOS 
A seguir descrevem-se alguns tipos de conjuntos. 
• Conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento. 
Exemplo 
P = {x | x é primo e par} = {2}. 
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• Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum. 
Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou por { }. 
Exemplo 
O conjunto C = {x ∈ | x = }. 
Observação: i = é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, não reais. 
• Conjunto finito é todo conjunto que, contando os elementos, um a um, chega-se ao fim da contagem. Exemplo: B = {x | x é 
brasileiro} 
• Conjunto infinito é todo conjunto que não é finito. 
Exemplo 
O conjunto dos números naturais:  = {0, 1, 2, 3, ...}. 
• Conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elementos desse estudo. 
Exemplo 
Ao se estudar os números que podem resultar da contagem de unidades, o “conjunto universo” (U) é o conjunto dos 
números naturais (U = ). 
 
Relação de pertinência 
Um objeto “x” qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A, ou não. 
Quando “x” for elemento de A, indica-se por x ∈ A (lê-se “x pertence ao conjunto A”). 
Se “x” não pertencer ao conjunto A, representa-se por x ∉A (lê-se “x não pertence ao conjunto A”). 
 
Exemplo: 
1) Seja M o conjunto dos países que compõem o Mercosul. 
O Brasil pertence ao conjunto M, logo pode-se indicar: Brasil ∈M. 
O Chile não integra esse grupo, portanto, Chile ∉M. 
2) Sendo P o conjunto dos números pares. Pode-se indicar: 8 ∈P e 21 ∉P. 
 
Subconjuntos e relação de inclusão 
Considere o conjunto B formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos formar o conjunto H, de 
todos os homens brasileiros, e o conjunto M de todas as mulheres brasileiras. 
Diz-se que os conjuntos H e M são subconjuntos de B. 
Se um conjunto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja brasileira, dizemos que T 
não é subconjunto de B. 
Indicam-se esses fatos por: 
• H ⊂ B (lê-se “H está contido em B”); 
• M ⊂ B (lê-se “M está contido em B”). 
 Embora menos comum também encontramos B ⊃ H (“B contém H”) e B ⊃ M (“B contém M”). 
• T ⊄ B (lê-se “T não está contido em B”); com pouca frequência, vemos B ⊃ T (“B não contém T”). 
 
Desta maneira, pode-se dizer que: 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. 	
  
Exemplos 
a) {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9} 
b) {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3} 
c) B ⊂ A 
	
  
d) {2, 5, 3} ⊄ {2, 5, 8, 9} 	
  
Observações: 
• A ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A. 
• ∅ = { } ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A. 
 
 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 
União (ou reunião) de conjuntos 
A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A ∪ B (lê-se “A união B”), é o conjunto cujos 
−1
−1
/ 
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elementos são todos aqueles que pertencem a A ou a B. 
 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} ou A ∪ B = {x | x ∈ A v x ∈ B} 	
  
Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn 
 A representação gráfica da união de dois conjuntos pode apresentar três tipos distintos: 
 Observe as figuras a seguir: 
 
 
Nas três situações, toda a região hachurada representa a união dos conjuntos A e B, ou seja, A ∪ B. 
 
Propriedades da união de conjuntos 
1) B ⊂ A ⇔ A ∪ B = A, ∀ A, B. Em particular, tem-se: ∅ ∪ A = A e A ∪ A = A, ∀ A 
2) A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B 
3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B e C 
 
Intersecção (ou interseção) de conjuntos 
A intersecção de dois conjuntos A e B, que indica-se por A ∩ B (lê-se “A intersecção B”), é o conjunto cujos 
elementos são todos aqueles que pertencem a A e a B. 
 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} ou A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} 
 
Representação da intersecção de conjuntos em diagramas de Venn: 
A representação da interseção de dois conjuntospode ser visualizada pelos diagramas representados a seguir: 
 
 
 
Toda a região hachurada representa A ∩ B. 
 
Observação: Como na última representação não aparece nada hachurado, diz-se que os conjuntos A e B são 
disjuntos, isto é, A ∩ B = ∅ . 
 
Propriedades da intersecção de conjuntos: 
1) B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B, ∀ A, B. Em particular, temos: ∅ ∩ A = ∅ e A ∩ A = A, ∀ A. 
2) A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B. 
3) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B e C. 
 
Diferença de conjuntos (ou conjunto diferença) 
A ideia de diferença de conjuntos é usada frequentemente no nosso dia-a-dia. 
Analise o seguinte questionamento: Alguém vai à universidade todos os dias da semana? 
Provavelmente a resposta será: “Todos os dias menos sábado e domingo”. 
Na verdade, para dar essa resposta utilizou-se o conceito de diferença de conjuntos, ou seja, retirou-se do conjunto 
A = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}, o conjunto B = {sábado, domingo}. 
Essa ideia é formalizada pela definição a seguir: 
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, que indicaremos por A – B (lê-se “A menos B”), é o conjunto cujos 
elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B. 
 
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} ou A – B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} 
 
Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn 
 A representação da diferença entre dois conjuntos pode ser visualizada por intermédio de diagramas de Venn. Os 
casos mais comuns são os discriminados abaixo (observação: a parte hachurada é a parte que representa a diferença do 1º 
conjunto menos o 2º conjunto): 
 
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A – B B – A A – B 	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  
 B – A A – B B – A 
 (se B ⊂ A, então B – A = ∅) 
Se B ⊂ A, a diferença A – B recebe o nome particular de complementar de B em relação a A e representa-se por 
CA B. Se A corresponde ao próprio conjunto universo, simplesmente se diz complementar de B e indica-se por BC. 
 
Observação 
Para realizarmos a diferença entre dois conjuntos, basta retirarmos do primeiro os elementos do segundo conjunto, 
inclusive aqueles que estão na interseção dos dois conjuntos. 
 
Exemplos 
1) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {3, 6, 7}, tem-se que: 
• A ∪ B = {1, 2, 3, 6, 7}; 
• A ∩ B = {3}; 
• A – B = {1, 2}, e; 
• B – A = {6, 7} 
 
2) Considere os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} , B = { 3, 4, 5, 6} e C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Tem-se que: 
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
• A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9} = C 
• B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9} = C 
• A ∩ B = {3, 4} 
• A ∩ C= {1, 2, 3, 4} = A 
• B ∩ C= { 3, 4, 5, 6} = B 
• A – B = { 1, 2 } 
• B – A = { 5, 6} 
• A – C = { } ou ∅ 
• C – A = { 0, 5, 6, 7, 8, 9} esse conjunto representa o Complementar de A em relação a C, ou seja CC A 
• C – B = { 0, 1, 2, 7 ,8 ,9} esse conjunto representa o Complementar de B em relação a C, ou seja CC B. 
 
3) Em um grupo de 40 pessoas, 22 afirmaram ter casa própria e 27 disseram possuir veículo, quitados ou não. 
Quantas pessoas tem casa própria e possuem veículo? 
Solução: 
Como algumas pessoas podem ter casa própria e possuir veículo, considere, então, que “x” pessoas responderam às 
duas perguntas afirmativamente. Ou seja, das 22 pessoas que têm casa própria, “x” também têm veículo e, portanto, (22 – x) 
têm somente casa própria. De modo semelhante, “x” pessoas têm casa própria e veículo e (27 – x) têm somente veículo. Em 
forma de diagrama representa-se da maneira a seguir. 
 
 
 
 
 
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Portanto, sendo o total é igual a 40, tem-se: 
(22 – x) + x + (27 – x) = 40 ⇒ 49 – x = 40 ⇒ 49 – 40 = x ⇒ x = 9 
Conclusão: 
• 9 pessoas responderam que possuem casa e veículo; 
• 22 possuem casa própria; 
• (22 – 9) = 13 pessoas possuem somente casa própria; 
• 27 têm veículo; 
• (27 – 9) = 18 têm somente veículo. 
 Resposta: Das pessoas entrevistadas, 9 têm casa própria e possuem veículo. 
 
 4) Em uma pesquisa realizada por uma agência de marketing com 50 pessoas para saber que esporte elas preferem 
entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de 
futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. 
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? 
b) Quantas gostam somente de futebol? 
c) Quantas pessoas gostam só de vôlei, ou só de basquete, ou de ambos? 
Solução: 
Representando-se a situação exposta por diagramas de Venn: 
Inicia-se pelos 5 elementos comuns aos três conjuntos F, B e V na intersecção dos três conjuntos. 
 
	
  
Depois, vai-se subtraindo do número de respostas comuns dos conjuntos, dois a dois: 
• basquete e vôlei → 8 • somente basquete e vôlei → 8 – 5 = 3 
• futebol e vôlei → 9 • somente futebol e vôlei → 9 – 5 = 4 
• futebol e basquete → 10 • somente futebol e basquete → 10 – 5 = 5 
O diagrama se completa um pouco mais ... 
 
 
 Do número de elementos de cada conjunto, subtrai-se as quantidades comuns: 
• vôlei → 14 • somente vôlei → 14 – 4 – 5 – 3 = 2 
• basquete → 18 • somente basquete → 18 – 5 – 5 – 3 = 5 
• futebol → 23 • somente futebol → 23 – 5 – 5 – 4 = 9 
E assim, quase conclui-se o diagrama. 
É necessário considerar as “x” pessoas que não gostam de nenhum dos três esportes. 
 
Somente casa Somente veículo 	
  
Casa e veículo 
22 – x x 27 – x 
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 Respostas: 
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? 
x + (9 + 5 + 5 + 4) + (5 + 3) + 2 = 50 
x = 17 pessoas não gostam de nenhum desses esportes. 
b) Quantas gostam somente de futebol? 
Nove pessoas. 
c) Quantas pessoas gostam só de vôlei, ou só de basquete, ou de ambos? 
2 + 5 + 3 = 10 gostam somente de vôlei, somente de basquete ou de ambos. 
 
EXERCÍCIOS 
 
 1) Observe os diagramas dados a seguir e classifique as afirmações em verdadeira (V) ou falsas (F): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp.: a) V; b) V; c) F; d) V; e) F; f) F; g) V; h) V; i) F e j) V 
 
 2) Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {x / x é número par positivo menor que 10} e D = {x / x é número ímpar 
compreendido entre 4 e 10}, determine: 
 a) A ∪ B f) C ∩ D k) (A ∩ B) ∩ C 
b) A ∪ C g) A ∩ B l) (A ∩ C) ∩ D 
c) A ∪ D h) A ∩ C 
d) C ∪ D i) A ∩ D 
e) B ∪ D j) B ∩ C 
 Resp.: 
 a) {0, 1, 2, 3, 5}; b) {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}; c) {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}; d) {2, 4, 5, 6, 7, 8. 9}; e) {0, 2, 3, 5, 7, 9}; f) { }; g) {0, 2, 3}; 
 h) { 2 }; i) { }; j) { 2 }; k) { 2 } e l) { } 
 
3) Sejam A = { x / x é número par compreendido entre 3 e 15}, B = { x / x é número par menor que 15} e C = { x / x é 
número par diferente de 2}. Usando os símbolos ⊂ ou ⊄, complete: 
a) A ___ B b) A ___ C c) B ___C 
Resp.: a) A ⊂ B; b) A ⊂ C e c) B ⊄ C 
 
4) Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F):2 
4 
6 
7 
8 
1 
3 
5 
a) ( ) 1 ∈A f) ( ) 4 ∉B 
b) ( ) 2 ∈A g) ( ) 5 ∈A 
c) ( ) 2 ∉A h) ( ) 5 ∉B 
d) ( ) 3 ∈A i) ( ) 7 ∉B 
e) ( ) 3 ∈B j) ( ) 8 ∈B 
 
1 
2 
3 
8 
5 
4 
6 
12 
11 
7 
9 
13 
14 
17 
16 
15 
10 
a) ( ) 1 ∈A g) ( ) 10 ∉ C m) ( ) A ⊂ B 
b) ( ) 4 ∈ A h) ( ) 14 ∉ C n) ( ) B ⊂ C 
c) ( ) 7 ∈ A i) ( ) 15 ∉ U o) ( ) A ⊄ C 
d) ( ) 7 ∈ B j) ( ) 9 ∉ A p) ( ) C ⊂ U 
e) ( ) 3 ∈ B k) ( ) 17 ∉ A q) ( ) A ⊄ U 
f) ( ) 11 ∈ C l) ( ) 14 ∉ B r) ( ) U ⊂ B 
U A B 
C 
A B 
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Resp.: a) V; b) F; c) V; d) V; e) V; f) V; g) F; h) V; i) F; j) F; k) V; l) V; m) F; n) F; o) V; p) V; q) F e r) F 
 
5) Dados os conjuntos: A = {a, b, c, f, g, j}, B = {a, b, c, d, e, h, I}, C = {a, b, d, e, f, g, l, m} e qual conjunto representa o 
conjunto da expressão (A ∩ B) ∩ C. 
Resp.: (A ∩ B) ∩ C = {a, b} 
 
6) No diagrama dado a seguir, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada uma das sentençaas 
conforme ela seja verdadeira ou falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: a) V; b) V; c) F; d) F; e) V; f) V; g) V e h) F. 
6) No diagrama dado a seguir, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada uma das seguintes 
sentenças conforme ela seja verdadeira ou falsa: 
 
 7) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} determine o conjunto A – B e B – A. 
Resp.: A – B = { 1, 2 } e B – A = { 6, 7 } 
 
 8) Dados os conjuntos A = {x | x é número inteiro par entre 1 e 11} e B = {x | x é número inteiro entre 0 e 10} determine 
A – B e B – A. 
 Resp.: A – B = { 10 } e B – A = { 1, 3, 5, 7, 9 } 
 
 9) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine o que se pede: 
 a) A – B e) C – (A ∪ B) 
 b) B – A f) (A ∩ C) – (B ∩ C) 
 c) A – C g) (A ∪ B) – C 
 d) C – A 
 Resp.: a) { 1, 2}; b) {6, 7, 8}; c) { } ; d) {6, 7, 8, 8, 10}; e) {9, 10} f) {1, 2} e g) { }. 
 
10) Dados os conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7} e D = {2, 4}, determine: 
 a) (A ∩ B) ∪ C d) B – (C ∪ D) 
 b) (C ∩ D) ∪ A e) (A – B) ∪ (B – C) 
 c) (B – A) ∪ D 
Resp.: a) {2, 3, 5, 6, 7}; b) {2, 3, 4}; c) {2, 4, 5, 6, 7}; d) { 3 } e e) {2, 3, 4} 
 
11) Três conjuntos A, B e C são tais que: A ∩ B ∩ C = {a, i} ; A ∩ B = {a, i, j} ; C – (A ∪ B) = { d } ; A – (B ∪ C) = { g } ; 
B ∩ C = {a, i, j}; A ∩ C = {a, i, e, f} e B – (A ∪ C) = {b, c}. Determine os conjuntos A, B e C. Sugestão: utilize diagramas de 
Venn. 
Resp.: A = {a , e, f, g, h , i }; B = {a, b, c, h, i, j} e C = {a, d, e, f, i, j} 
 
12) Sabendo que M = {2, 3, 4, 5, 6}, M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e M ∩ N = {2, 3, 4}, determine o conjunto N. 
Resp.: N = { 1, 2, 3, 4, 7 } 
 
13) Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A ∩ B = {5, 6}, determine o conjunto B. 
Resp.: B = { 2, 5, 6, 7 } 
 
14) Dados A ∩ B = {2, 3, 8}, A ∩ C = {2, 7}, B ∩ C = {2, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8} e A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine os conjuntos A, B e C. 
Resp.: A = {1, 3, 4, 8, 2, 7}; B= { 3, 8, 9,10, 2, 5, 6} e C = { 2, 5, 6, 7} 
 
 15) Suponha que A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}. Determine o conjunto B. 
Resp.: B = { d, e, f, g, h } 
 
16) Um conjunto A tem 13 elementos, A ∩ B tem 8 elementos e A ∪ B tem 15 elementos. Quantos elementos tem B? 
Resp.: B tem 10 elementos 
 
17) Num grupo de 22 universitários há 8 que cursam Engenharia, 10 que cursam Administração e 3 que cursam 
ambos. Quantos não estão cursando nem Engenharia nem Administração? 
Resp.: 7 estudantes 
 
18) Uma escola tem 20 professores, sendo que 6 lecionam apenas matemática, 5 apenas física e 7 lecionam outras 
disciplinas distintas de matemática e física. Quantos são os professores que lecionam matemática e física? 
Resp.: São dois professores. 
A 
11	
   C 11	
  
B 
11	
   a) ( ) A ⊂ B e) ( )B ⊄ A 
b) ( ) C ⊂ B f) ( ) A ⊄ C 
c) ( ) B ⊂ A g) ( ) B ⊃ A 
d) ( ) A ⊂ C h) ( ) A ⊃ C 
Sala 509 CÁLCULO BÁSICO – AULA 1 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 	
  
 
19) Em uma classe de 45 meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos castanhos, 35 têm cabelos pretos 
e 20 têm olhos castanhos. Determine o número de meninas que têm cabelos pretos e olhos castanhos. 
Resp.: São 10 meninas. 
 
20) Em um levantamento com 100 vestibulandos, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de 
Matemática, Física e Português foi o seguinte: Matemática: 47, Física: 32, Português: 21, Matemática e Física: 7, Matemática e 
Português: 5, Física e Português: 06; as três matérias: 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram 
nenhuma das três matérias? 
 Resp.: São 16 alunos. 
 
21) Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores revelou que, dos 350 entrevistados: 
· 197 preferem o televisor x; · 85 preferem tanto x como y; 
· 183 preferem o televisor y; · 92 preferem tanto x como z; 
· 210 preferem o televisor z; · 103 preferem tanto y como z. 
· 20 não tem preferência por estas marcas; 
a) Quantos consumidores preferem as três marcas? Resp.: São 20 consumidores. 
b) Quantos preferem somente uma das marcas? Resp.: São 90 consumidores. 
 
22) Nas favelas, devido às péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em exames de 
fezes, feitos em 41 crianças faveladas, foi constatada a presença de três tipos de bactérias (A, B e C). Exatamente: 
· 23 crianças têm a bactéria A; · 11 crianças têm as bactérias A e B; 
· 25 crianças têm a bactéria B; · 12 crianças têm as bactérias B e C; 
· 22 crianças têm a bactéria C; · 11 crianças têm as bactérias A e C. 
Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias, quantas crianças apresentaram 
as três bactérias? 
Resp.: Foram 5 crianças. 
 
23) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas 
questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? 
 Resp.: Foram 5 alunos. 
 
24) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes 
resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 ao programa C. Sabe-
se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias 
assistem aos três programas. 
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? Resp.: São 54 famílias. 
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? Resp.: São 315 famílias. 
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B? Resp.: São 311 famílias. 
 
25) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, 
de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. 
a) Quantos alunos leram Iracema? Resp.: 25 alunos. 
b) Quantos leram só Helena? Resp.: 15 alunos. 
c) Qual é o número de alunos nessa classe? Resp.: 50 alunos. 
 
26) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o jornal C, 
13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os três jornais. 
a) Quanto por cento não lê nenhum desses três jornais?Resp.: 43% não lê nenhum jornal. 
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C? Resp.: 35%. 
c ) Quanto por cento lê pelo menos um jornal? 57%. 
 
27) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois refrigerantes: o Grud-Cola e o Pimba Cola. Para se saber 
qual o preferido numa certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade e foram computados os seguintes 
resultados: 
135 jovens bebem Grud-Cola; 75 jovens bebem os dois refrigerantes e 40 jovens não bebem nenhum dos 
dois refrigerantes. 
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante preferido por eles e quantos jovens bebem 
esse refrigerante. 
Resp.: O refrigerante preferido é o Pimba Cola e 145 jovens o preferem. 
 
28) Uma empresa, fabricante de achocolatados, pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso 
encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 
pessoas, e o resultado foi precisamente o seguinte: 
· 150 pessoas gostaram somente da embalagem A; 
· 240 pessoas gostaram da embalagem B; 
· 60 pessoas gostaram das duas embalagens. 
Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, sabendo que todas as 402 pessoas opinaram? 
Resp.: 12 pessoas.