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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
A DEPRECIAÇÃO LINEAR 
 
 Devido ao desgaste e ao envelhecimento, os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a 
desvalorizações. A depreciação linear é o sistema de depreciação que é aceito pela Receita Federal, ou seja, aquele que o 
bem é depreciado em partes iguais durante a vida útil. 
Por exemplo, se uma máquina foi comprada por R$ 20.000,00 e após 5 anos foi vendida por R$ 8.000,00, esta, teve 
uma depreciação de R$ 12.000,00. 
Assim, depreciação é a diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de revenda (valor residual). 
 
Exemplo 
 1) Considere o exemplo citado acima e supondo linear essa depreciação, qual a função que relaciona o valor V da 
máquina em função de tempo x em anos? 
 Solução: 
 Uma vez que a depreciação é linear, o valor da máquina descreve uma função polinomial do 1º grau e pode-se 
representa-lo por V = ax + b. 
 Pelo dados apresentados, monta-se a seguinte tabela sendo que x = 0 representa o momento em que a máquina foi 
comprada: 
x (tempo) V (valor em R$) 
0 20000 
5 8000 
 Note que, em 5 anos o valor da máquina diminuiu R$ 12000,00 e, portanto: a = ΔV
Δx
⇒ a = − 12000
5
⇒ a = − 2400 . 
 Qual o significado desse coeficiente angular? 
 Pode-se escrevê-lo como sendo: a = ΔV
Δx
= − 12000
5
= − 2400
1
 
 Significa que, a cada ano que passa o valor da máquina diminui R$ 2400,00. 
 Como V = ax + b ⇒ V = – 2400 x + b 
 No momento em que foi comprada, ou seja para x = 0, o valor da máquina era R$ 20 000,00 e, portanto: 
 20000 = – 2400.0 + b ⇒ b = 20000. 
 Assim, V = – 2400 x + 20000 
 Graficamente tem-se que, a partir do valor R$ 20000,00, a máquina foi sofrendo desvalorização de R$ 2400,00 por 
ano: 
 
 Pergunta-se: após quantos anos o valor da máquina reduz-se à zero? 
 Pela análise do gráfico se conclui que após 8 anos isso deverá ocorrer. Para ser mais exato, é possível determinar 
algebricamente o tempo exato, ou seja: 
 Deve-se fazer V = 0: 
 – 2400 x + 20000 = 0 ⇒ – 2400 x = – 20000 ⇒ x = 8,33 aproximadamente. 
 Ou seja: 8 anos mais 0,33 de um ano = 8 anos e 1/3 de um ano = 8 anos e 4 meses. 
 
 2) Qual será a depreciação anual de um equipamento que foi adquirido por R$ 220.000,00, que terá uma vida útil de 
cinco anos e valor residual após cinco anos nulo? Suponha depreciação linear. Apresente o valor V do equipamento em função 
do número x de anos. 
 Consideremos como V0 o valor inicial do equipamento. Tem-se, portanto, Vo = 220000. 
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 Uma vez que esse equipamento terá vida útil de 5 anos, ao final desse período o valor do equipamento será V = 0, o 
que significa que seu valor diminuiu 220000. 
 Assim, considerando a depreciação linear, V = ax + b, tem-se: 
 a = ΔV
Δx
⇒ a = − 22000
5
⇒ a = − 44000 
 Qual o significado de a = – 44000? 
 Esse coeficiente nos indica que, a cada ano, o equipamento deprecia R$ 44000,00. 
 Pode-se representar, portanto, a depreciação em função do número de anos decorridos desde a aquisição por: 
 D = 44000 . x 
 Essa função é crescente, uma vez que com o decorrer dos anos, maior é a desvalorização ocorrida. 
 Agora, vai-se representar graficamente a situação exposta. 
O valor do equipamento por V = – 44000 x + 220000, em que x representa o número de anos, que é uma função 
decrescente visto que quanto maior o tempo decorrido desde a aquisição, menor o valor do equipamento. 
 Observa-se a depreciação ocorrida na seguinte tabela: 
x (tempo) V (valor em R$) 
0 220000 
1 176000 
2 132000 
3 88000 
4 44000 
5 0 
 
 Então, o valor da máquina, em função do tempo, pode ser representado graficamente por: 
 
 
FUNÇÃO CONSUMO E FUNÇÃO POUPANÇA 
 
 Para um fechamento ao estudo de funções polinomiais do 1º grau, tratar-se-á de mais duas funções: função 
Poupança e função Consumo. 
A proposta é, por meio de exemplos, apresentar-se os conceitos dessas funções lineares. 
 
Exemplos 
 1) Uma família tem um consumo autônomo de R$ 800,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha 
a função consumo e a função poupança. 
Solução: 
 O consumo autônomo C0 representa um gasto fixo, existente mesmo que a renda disponível seja nula, uma vez que 
a propensão marginal a consumir na função consumo representa o coeficiente angular “m” dessa função temos: 
 Logo: 
 A função consumo: C = C0 + m . Y, C representa o consumo e Y a renda disponível e, para a situação descrita, 
C = 800 + 0,8 Y. 
 A diferença entre a renda disponível e o consumo é chamada de função poupança e indicada por S. 
Desse modo: 
 S = Y – C ⇒ S = Y – (800 + 0,8 Y) ⇒ S = Y – 800 – 0,8 Y ⇒ S = 0,2 Y – 800 que representa a função poupança para 
a situação descrita. 
Observa-se que as duas funções são crescentes, uma vez que para ambas o coeficiente angular é positivo. 
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 Resposta: A função consumo procurada é C = 800 + 0,8 Y e a função poupança é S = 0,2 Y – 800. 
 2) Dada a função consumo de uma família C = 500 + 0,6 Y, pede-se determinar a função poupança e a renda mínima 
para que a poupança não seja negativa. 
 Solução: 
 A função será determinada por: 
 S = Y – C ⇒ S = Y – (500 + 0,6 Y) ⇒ S = Y – 500 – 0,6 Y ⇒ S = 0,4 Y – 500 que representa a função poupança para 
a situação descrita. 
 Para encontrar a renda mínima, faz-se: 
 S ≥ 0 ⇒ 0,4 Y – 500 ≥ 0 ⇒ 0,4 Y ≥ 500 ⇒ Y ≥ 1250. Logo, a renda mínima da família de ser superior a R$ 1.250,00. 
 Resposta: A função poupança procurada é S = 0,4 Y – 500 e a renda mínima da família para que a poupança não 
seja negativa é de R$ 1.250,00. 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Há situações em que uma função é constituída a partir de outra ou de outras, o que se denomina composição de 
funções ou função composta. 
 
Definição 
A função definida por g ( f ( x )), é uma função composta que se representa por ( g o f )( x ), cujo domínio é o 
conjunto de todos os valores de x no domínio de f, de tal forma que f ( x ) pertence ao domínio de g. 
 
Exemplos 
1) Seja, por exemplo, g ( x ) = x2 – 4 e f ( x ) = x + 1. Calcular g ( f ( x )) e f ( g ( x )). 
Solução: 
a) Para calcular g ( f ( x )), deve-se, na função g ( x ), substituir a variável independente x por ( x + 1). 
Obtém-se, então: 
( g o f )( x ) = [ f ( x )]2 – 4 ⇒ ( g o f )( x ) = (x + 1)2 – 4 ⇒ ( g o f )( x ) = x2 + 2 . x + 1 – 4 ⇒ ( g o f )( x ) = x2 + 2 x – 3 
b) Para calcular f ( g ( x )), deve-se, na função f ( x ), substituir a variável independente x por (x2 – 4), ou seja: 
( f o g )( x ) = [ g ( x )] + 1 ⇒ ( f o g )( x ) = x2 – 4 + 1 ⇒ ( f o g )( x ) = x2 – 3 
 2) Seja a função e a função g ( x ) = ( x2 – 5 ). Determinar as funções compostas ( f o g )( x ) e 
( g o f )( x ). 
Solução: 
a) Para determinar a composição de funções ( f o g ) ( x ) deve-se, na função f, substituir a variável independente x 
por ( x2 – 5 ). 
Obtém-se, então: 
 ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = ⇒ ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = ⇒ 
( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = 
b) Para a determinação da função composta ( g o f ) ( x ) deve-se, na função g, substituir a variável independente x 
por . 
Assim, tem-se: 
( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = ⇒ ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = 5x + 3 – 5 ⇒ ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = 5x – 2 
f x( ) = 5x +3
 5 x2 − 5( ) + 3 5x2 − 25 + 3 
 5x2 − 22 
 5x + 3 
 5x + 3 ( )2 − 5
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Observação 
Nota-se que os resultados obtidos dos dois tipos de composição de funções, ( f o g )( x ) e ( g o f )( x ), são 
diferentes. 
 
FUNÇÕES INVERSAS 
Para determinar se uma função f possui função inversa, representada por f - 1, é preciso, em primeiro lugar, verificar 
se ela é uma função bijetora. 
Somente é possível determinar a função inversa de uma função f se esta for uma função bijetora. 
Assim, vai-se fazer uma explicação com a utilização da representação por diagramas de Venn. 
 
Exemplo 
Dados os conjuntos A = {– 2 , – 1, 0 ,1 , 2} e B = {– 5 , – 3, – 1 , 1 , 3} e a função f : A → B definida pela lei de 
formação y = 2x – 1 e y = f ( x ). O diagrama de Venn representativo dessa função é: 
 
Percebe-se, então, que f = {(– 2, – 5); (– 1, – 3); (0, – 1); (1, 1); (2, 3)} 
Verifica-se, também, que esta função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um único elemento 
de contradomínio, e vice-versa. 
No caso de funções bijetoras, sempre ocorre que o contradomínio da função coincide com o conjunto Imagem. 
Por ser uma função bijetora, a função f admite função inversa. 
A função inversa da função f será f – 1 : B → A, definida pela lei de formação em que y ∈B e f – 1 ( y ) = x. 
O diagrama de Venn representativo desta nova situação é: 
 
 
Então f – 1 = {(– 5, –2); (– 3, – 1) ; (– 1, 0); (1, 1) ; (3, 2)}. 
Conclui-se, então ,que: o conjunto Domínio de f é igual ao conjunto Imagem de f-1 e vice-versa. 
 
Determinação da função inversa de uma função dada 
Caso a função dada, y = f ( x ), seja uma função bijetora e, portanto, invertível, para encontrarmos a sua função 
inversa é preciso seguir alguns passos. 
A sequência de passos que devemos fazer é: 
• “trocamos” a variável “x” por “y” na lei de formação que define a função f ( x ); 
• em seguida, “isolamos” a variável “y”, e; 
• obtemos a lei que define a função inversa. 
 
Exemplos 
1) Obter a lei de formação da função inversa da função f ( x ) = x + 2. 
x =
y +1
2
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 Solução: 
 f ( x ) = x + 2 → copia-se a função f ( x ). 
 y = x + 2 → troca-se f ( x ) por y. 
 x = y + 2 → troca-se x por y e y por x. 
 y = x – 2 → isola-se y, obtendo a lei de formação da função inversa. 
 f – 1( x ) = x – 2 
2) Determinar a função inversa da função g ( x ) = , cujo domínio é D = IR – . 
Solução: 
g ( x ) = → copia-se a função g ( x ). 
y = → troca-se g ( x ) por y. 
 → troca-se x por y e y por x 
x . (2y – 3) = y + 5 → isola-se y, para obter a lei de formação da função inversa. 
2xy – 3x = y + 5 
2xy – y = 3x + 5 
y . (2x – 1) = 3x + 5 
 
g – 1( x ) = 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será de R$ 200,00. Admitindo depreciação linear: 
a) qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? Resp.: R$ 1.400,00. 
b) qual o total de sua depreciação daqui a 3 anos? Resp.: R$ 600,00. 
c) daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo? Resp.: 10 anos. 
2) Daqui a 2 anos o valor de um computador será de R$ 5.000,00 e daqui a 4 anos será de R$ 4.000,00. Admitindo-se 
depreciação linear: 
a) qual o valor do computador hoje? Resp.: R$ 6.000,00. 
b) qual o valor do computador daqui a 5 anos? Resp.: R$ 3.500,00. 
3) Daqui a 3 anos, a depreciação total de um automóvel será R$ 5.000,00, e seu valor daqui a 5 anos será de 
R$ 10.000,00. Qual seu valor hoje? Resp.: 18.333,33. 
4) Um equipamento de informática é comprado por R$ 10.000,00 e após 6 anos seu valor estimado é de R$ 2.000,00. 
Admitindo-se a depreciação linear: 
a) qual a equação do valor daqui a “x” anos? Resp.: V = 10000 − 4000x
3
 
b) qual a depreciação total daqui a 4 anos? Resp.: R$ 5.333,33. 
c) depois de quantos anos o valor do equipamento será nulo? Resp.: 7,5 anos. 
5) Uma família tem um consumo autônomo de R$ 8.000,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,8. 
Obtenha: 
a) a função consumo. Resp.: C = 800 + 0,8y 
b) a função poupança. Resp.: S = – 800 + 0,2y 
6) Dada a função consumo de uma família C = 500 + 0,6y. Determine: 
a) a função poupança. Resp.: S = 0,4y – 500 
b) a renda mínima para que a poupança seja não negativa. Resp.: R$ 1.250,00. 
7) Dada a função poupança de uma família S = 1 – 800 + 0,35y, pede-se determinar: 
a) a função consumo. Resp.: C = 800 + 0,65y. 
b) a renda que induz a um consumo de R$ 1.450,00. Resp.: R$ 1.000,00. 
8) Suponha que tudo o que é produzido em uma vila seja consumido nela mesma. Não há gastos com investimentos 
(visando aumento futuro da capacidade produtiva), nem governo. A função consumo anual é dada por C = 100 + 0,8y. 
Determine a renda de equilíbrio, aquela para a qual o que é produzido é consumido? Resp.: R$ 500,00. 
9) Com relação ao exercício anterior, suponha que os habitantes da vila decidam investir R$ 50,00 por ano, visando, 
com esses gastos, um aumento da capacidade produtiva. Qual será a renda anual de equilíbrio, aquela para a qual o que é 
produzido é gasto com consumo mais investimentos? Resp.: R$ 750,00. 
10) Ainda com relação ao exercício nº 8, qual será o valor do investimento anual – IA – necessário para que, no 
equilíbrio, a renda seja igual à renda de pleno emprego, suposta igual a R$ 800,00? (Observação: Renda de pleno emprego é 
aquela em que são utilizados totalmente os recursos produtivos). Resp.: IA = R$ 60,00. 
x + 5
2x - 3
 
3
2
 { }
x + 5
2x - 3
x + 5
2x - 3
x =
y + 5
2y - 3
y =
3x + 5
2x - 1
3x + 5
2x - 1
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11) Em uma economia fechada e sem nenhum tipo de governo, suponha que a função de consumo do país seja C = 
40 + 0,75y e a renda de pleno emprego seja igual a R$ 500,00. Qual o nível de investimento – I – necessário para que a 
economia esteja em equilíbrio a pleno emprego? Resp.: I = 85,00. 
12) Em um país, quando a renda é R$ 6.000,00, o consumo é de R$ 5.600,00 e, quando a renda é de R$ 7.000,00, o 
consumo é de R$ 6.200,00. Obtenha a função consumo e a função poupança, admitindo-as de 1º grau. Resp.: C = 0,6y + 2000 
e S = 0,4y – 2000. 
13) Dadas as funções f ( x ) = x2 + 4x – 5; g ( x ) = 2x + 1 e h ( x ) = 3x, determine: 
 a) f ( g ( h ( x ))). Resp.: f ( g ( h ( x ))) = 36 x 2 + 36x 
b) g ( f ( h ( x ))). Resp.: g ( f ( h ( x ))) = 18 x 2 +24 x – 9 
c) h ( f ( g ( x ))). Resp.: h ( f ( g ( x ))) = 12 x 2 + 36x 
 15) Dadas as funções f ( x ) = 2 x 2 – 6 e g ( x ) = 4 x – 3, determine as funções compostas 
f ( g ( x )) e g ( f ( x )). Resp.: f ( g ( x )) = 32 x 2 – 48 x + 12 e g ( f ( x )) = 8 x 2 – 27. 
16) Sendo f ( x ) = 5 x – 1 e g ( x ) = 2 x, determine o valor de f ( g ( – 2 )) e g ( f ( 0 )). Resp.: f ( g ( – 2 )) = – 21 e 
g ( f ( 0 )) = – 2. 
17) Dadas as funções f ( x ) = x – 3 e g ( x ) = x2 – 5x + 6, calcule quanto deve valer a variável x para que se tenha 
g ( f ( x )) = 42. Resp.: x = – 1 ou x = 12. 
18) Dada a função f ( x ) = x2 + 1 e g ( x ) = 3x – 4, determine f ( g ( 3)) + g ( f ( 5 )). Resp.: 
19) Sendo f ( x ) = 3x – 2 e g ( x ) = –2x + k, encontrar k, tal que f ( g ( x )) = g ( f ( x )). Resp.: k = 3. 
20) Para cada valor real de x, sejam f ( x ) = x2 e g ( x ) = f ( f ( x)). Calcule o valor de 
f g 3( )( )
g 3( ) . Resp.: 81. 
21) Dadas as funções reais f ( x ) = 2x – 6 e g ( x ) = ax + b. Se f ( g ( x )) = 12x + 8, determine o valor de a + b. Resp. 
a + b = 13 
22) Seja f uma função polinomial do 1º grau, decrescente, tal que f ( 3 ) = 2 e f ( f ( 1 )) = 1. Determine a abscissa do 
ponto onde o gráfico da função f corta oeixo x. Resp.: x = 5. 
23) O quadro dado abaixo fornece uma tabela para conversão de tamanho de chapéus masculinos para três países: 
 
Inglaterra 6 1
2
 65
8
 6 3
4
 67
8
 7 7 1
8
 7 1
4
 73
8
 
França 53 54 55 56 57 58 59 60 
Estados 
Unidos 6
5
8
 6 3
4
 67
8
 7 7 1
8
 7 1
4
 73
8
 7 1
2
 
 
A função g ( x ) = 8x + 1 converte os tamanhos ingleses para os franceses e a função f ( x ) = x
8
 converte os 
tamanhos franceses para os americanos. Com base no exposto, determine a função que determina a função h ( x ) que faz a 
conversão dos tamanhos de chapéus ingleses para os americanos. Resp.: h ( x ) = x + 1
8
. 
24) Sabendo-se que f ( g ( x )) = 3x – 7 e f ( x ) = x
3
 – 2, determine a função g ( x ). Resp.: g ( x ) = 9x – 15. 
25) Sejam f ( x ) = x2 + 1 e g ( x ) = x – 1 duas funções reais. Determine (g  f ) ( y – 1) . 
Resp.: (g  f ) ( y – 1) = y2 – 2y + 1 
26) Sejam as funções reais f x( ) = x2 − x − 2 e g x( ) = 1− 2x . 
a) Obtenha as funções f g( ) x( ) e g f( ) x( ) ; Resp.: f g( ) x( ) = 4x2 − 2x − 2 e g f( ) x( ) = − 2x2 + 2x + 5 
b) Calcule f g( ) − 2( ) + g f( ) − 2( ) . Resp.: 11. 
c) Determine os valores do domínio da função f g( ) x( ) que produzem imagem negativa. Resp.: x = 2 ou 
x = 3
2
. 
27) Sejam as funções reais f x( ) = 2 e g x( ) = 3x −1 . Obtenha as leis de formação de f g( ) x( ) e g f( ) x( ) . Resp.: 
f g( ) x( ) = 2 e g f( ) x( ) = 5 . 
28) Nas funções reais f x( ) = x2 + 2 e g x( ) = x − 3 , obtenha as leis de formação que definem: 
 a) f g( ) x( ) b) g f( ) x( ) c) f  f( ) x( ) d) gg( ) x( ) 
Resp.: a) f g( ) x( ) = x2 − 6x +11 b) g f( ) x( ) = x
2 −1 c) f  f( ) x( ) = x4 + 4x2 + 6 d) gg( ) x( ) = x − 6 
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 29) Dadas as funções reais definidas por f x( ) = 3x + 2 e g x( ) = 2x + a , determine o valor de a de modo que se tenha 
f g( ) x( ) = g f( ) x( ) . Resp.: a = 1. 
 30) Sejam as funções f x( ) = x −1 e g x( ) = 2x2 − 5x + 3 . Determine os domínios das funções f g( ) x( ) e g f( ) x( ) . 
Resp.: D f g( ) x( )⎡⎣ ⎤⎦ = x ∈ | x ≤
1
2
 ou x ≥ 2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 e D g f( ) x( )⎡⎣ ⎤⎦ = x ∈ | x ≥1{ } . 
 31) Sejam as funções reais f x( ) = 2x +1 e g x( ) = x2 −1 e h x( ) = 3x + 2 . Obtenha a lei que define hg( )  f( ) x( ) . 
Resp.: hg( )  f( ) x( ) = 12x2 +12x + 2 . 
 32) Dadas as funções f x( ) = 2x +m e g x( ) = ax + 2 , qual é a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha 
f g( ) x( ) = g f( ) x( ) ? Resp.: a = m + 2m . 
 33) Se f x( ) = 11− x , determine f  f  f( )( ) x( ) . Resp.: f  f  f( )( ) x( ) = x . 
 34) Sejam as funções f x( ) = 2x + 7 e f g( ) x( ) = x2 − 2x + 3 . Determine a lei de formação da função g x( ) . Resp.: 
g x( ) = x
2
2
− x − 2 . 
 35) Sejam as funções reais g x( ) = 2x − 3 e f g( ) x( ) = 2x2 − 4x +1. Determine a lei de formação da função f x( ) . 
Resp.: f x( ) = x
2 + 2x −1
2
. 
 36) Sendo f x( ) = 2x +10 e g x( ) = x
2 −100 , determine o valor de “x” para que a igualdade g f( ) x( ) = 0 seja 
verdadeira. Resp.: x = 0 ou x = 10. 
 37) Dadas f x( ) = 2x +1 e f g x( )( ) = 2x + 9 , calcule g x( ) . Resp.: g x( ) = x + 4 
38) Sejam f :  →  e g :  →  definidas por f x( ) = x2 − 2x − 3 e g x( ) = 4x +m . Sabendo que f g −1( )( ) = 12 , calcule 
o valor de “m”. Resp.: m = 1 ou m = 9. 
39) Dadas as funções f x( ) = x2 − 5x + 6 e g x( ) = x + 4 , pede-se: 
a) o valor de “x”, de modo que f g x( )( ) = 0 . 
b) o valor de “x”, para que f 2( ) + g x( ) = g f 4( )( ) . 
 Resp.: a) x = – 2 ou x = – 1 e b) x = 2. 
 40) Sendo f x( ) = x2 + 2x e g x( ) = 1− 3x , determine f g x( )( ) − g f x( )( ).Resp.: 12x2 – 6x + 2. 
41) Determine a função inversa das seguintes funções de  em . 
a) f ( x ) = x – 6. Resp.: f −1 x( ) = x + 6 
b) f ( x ) = 1 – 2x. Resp.: f −1 x( ) = 1− x2 
c) f ( x ) = 3x + 4. Resp.: f −1 x( ) = x − 43 
d) f ( x ) = 3x. Resp.: f −1 x( ) = x3 
42) Determine as inversas de cada uma das funções a seguir, apresentando domínio e imagem: 
a) y = x. Resp.: y −1= x ; D =  e Im =  
b) y = 2x + 4. Resp.: y −1= x − 4
2
 ; D =  e Im =  
c) y = − 2x + 6
5
. Resp.: y −1= 5x − 6
− 2
 ; D =  e Im =  
d) y = x + 3
2
. Resp.: y −1= 2x − 3 ; D =  e Im =  
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
e) y = 2x +1
x −1
. Resp.: y −1= x +1
x − 2
 ; D = y ∈ y ≠ 1{ } e Im = x ∈  x ≠ 2{ } 
f) y = x − 2
3x + 6
. Resp.: y −1= 6x + 2
1− 3x
 ; D = y ∈ y ≠ − 2{ } e Im = x ∈  x ≠ 13
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
 
g) y = 1
x
. Resp.: y −1= 1
x
 ; D =  e Im = x ∈  x ≠ 0{ } 
h) y = 1
x + 2
. Resp.: y −1= 1− 2x
x
 ; D = y ∈  x ≠ − 2{ } e Im = x ∈  x ≠ 0{ } 
i) y = x3 −1 . Resp.: y −1= x − 2 3 ; D =  e Im =  
j) y = x − 2 3 . Resp.: y −1= x3 + 2 ; D =  e Im =  
 
43) Determine a função inversa da função bijetora dada por f ( x ) = x
x − 2
, bem como seu domínio e imagem. 
Resp.: 
f −1 x( ) = 2xx −1
D = y ∈ y ≠ 2{ }
Im = x ∈ x ≠1{ }
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
44) Seja a função y = f(x) = 3x – 4 definida de IR em IR, determine: 
a) f −1 x( ) . Resp.: f −1 x( ) = x + 43 b) f
 −1 2( ) . Resp.: f −1 2( ) = 2 
45) Sendo f :  →  dada por f x( ) = 3 + 15 x , calcule f
 −1 0( ) . Resp.: f −1 0( ) = – 15. 
46) A função f é definida por y = f x( ) = 5x + 23x −1 , determine o domínio e a imagem para existir f
 −1 x( ) . 
Resp.: 
Df = x ∈ x ≠
1
3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
Imf = y ∈ y ≠
5
3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
 
47) A função f é definida por y = f x( ) = 2x + 34x − 5 , determine o domínio e a imagem para existir f
 −1 x( ) . 
Resp.: 
Df = x ∈ x ≠
5
4
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
Imf = y ∈ y ≠
1
2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
 
48) Seja a função f :  – { – 2 } →  – { 4 }, definida por f x( ) = 4x − 3x + 2 . Qual o valor do domínio da função f com 
imagem igual a 5? Resp.: x = 17
7
. 
 49) Considere a função f ( x ) = 2x2 + 1, para x ≥ 0. Se a função g ( x ) for a função inversa da função f ( x ), então, 
determine o valor de g ( f ( 6 )) + f ( g ( 6 )). Resp.: g ( f ( 6 )) + f ( g ( 6 )) = 12 
 
50) Sendo as funções f :  →  | f ( x – 5) = 3x – 8 e g :  →  | g ( x ) = 2x + 1, determine o valor de f ( 2 ) – g – 1 ( 7 ). 
Resp.: 10.