Estatística Descritiva - 2

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
 PROFª.: PATRÍCIA TAVARES e PATRÍCIA DE LIMA
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Por constituir-se no tipo de tabela mais importante para a Estatística Descritiva, será apresentado um estudo completo das distribuições de frequências. A seguir são descritos os procedimentos usuais na construção dessas tabelas. Eis alguns conceitos fundamentais:
4.1 POPULAÇÃO
É um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum. A população pode ser finita ou infinita. Na prática, quando uma população é finita, com um número grande de elementos, considera-se como população infinita.
4.2 AMOSTRA
Considerando-se a impossibilidade, na maioria das vezes, do tratamento de todos os elementos da população, retira-se uma amostra. Para os propósitos dessa apresentação, admite-se que uma amostra já tenha sido escolhida de conformidade com alguma técnica de amostragem.
4.3 Variável Discreta e Variável Contínua
A variável é discreta quando assume valores em pontos da reta real. Exemplo: o número de erros em um livro: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Por outro lado, quando a variável pode assumir teoricamente qualquer valor em certo intervalo da reta real, ela será uma variável contínua. Exemplo: peso de alunos, pois, teoricamente, um indivíduo poderá ter 50,5 kg; 50,572 kg; 50,585 kg; ...
4.4 REPRESENTAÇÃO DA AMOSTRA
4.4.1 Dados Brutos
O conjunto de dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados constitui-se nos dados brutos.
Assim: 24 - 23 - 22 -28 - 35 - 21 - 23 - 33 - 34 - 24 - 21 - 25 - 36 - 26 - 22 - 30 - 32 - 25 - 26 - 33 - 34 - 21 - 31 - 25 - 31 - 26 - 25 - 35 - 33 -31 são exemplos de dados brutos.
4.4.2 Rol
É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente.
Assim: 21 - 21 - 21 - 22 - 22 - 23 - 23 - 24 - 25 -25 - 25 - 25 - 26 - 26 - 26 - 28 - 30 - 31 - 31 - 31 - 32 - 33 - 33 - 33 - 34 - 34 - 34 - 35 - 35 - 36 constituem o rol.
4.4.3 Amplitude Total ou "Range" (R)
É a diferença entre o maior e o menor valor observados.
No exemplo: 
.
4.4.4 Frequência Absoluta 
É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe.
No exemplo, 
.
4.4.5 Distribuição de Frequência
É o arranjo dos valores e suas respectivas frequências.
Assim, a distribuição de frequências para o exemplo será:
	
	
	21
	3
	22
	2
	23
	2
	24
	1
	25
	4
	26
	3
	28
	1
	30
	1
	31
	3
	32
	1
	33
	3
	34
	3
	35
	2
	36
	1
	
	30
Observe: 1. 
 representa a variável
 2. 
 3. 
tamanho da amostra
Exemplo de distribuição de frequências para variável contínua:
Seja 
 o peso de 100 indivíduos:
	Classe
	
	45 ˫ 55
	15
	55 ˫ 65
	30
	65 ˫ 75
	35
	75 ˫ 85
	15
	85 ˫ 95
	5
	
	100
4.4.6 Número de Classes (K)
Não há uma fórmula exata para o número de classes.
a) 
 para 
 e 
, para 
.
b) Fórmula de Sturges 
, em que 
tamanho da amostra.
Exemplo: Seja 
, então:
 ou 
.
4.4.7 Amplitude das Classes (h)
Assim como no caso do número de classes (K), a amplitude das classes (h) deve ser aproximada para o maior inteiro.
Assim, se 
, usa-se 
 ou 
, usa-se 
.
4.4.8 Limites das Classes
Existem diversas maneiras de expressar os limites das classes. Eis algumas:
a) 10 ⊢⊣ 12: compreende todos os valores entre 10 e 12;
b) 10 ⊢ 12: compreende todos os valores de 10 a 12, excluindo o 12;
c) limite aparente 10 - 12; limite real 9,5 - 11,5;
d) 10 ⊣ 12 compreende todos os valores, excluindo o 10.
Usaremos a forma expressa no exemplo b.
4.4.9 Pontos Médios das Classes 
É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe.
Assim, se a classe for 10 ⊢ 12, teremos:
, como ponto médio da classe.
4.4.10 Frequência Absoluta Acumulada 
É a soma das frequências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado.
	
	
	
	0
	3
	3
	1
	5
	8
	2
	2
	10
	
	10
	
4.4.11 Frequência Relativa 
A frequência relativa de um valor é dada por 
, ou seja, é a porcentagem daquele valor na amostra.
	
	
	
	1
	5
	
	2
	7
	
	3
	2
	
	
	14
	1
Note: 
. Assim 
 dos elementos correspondem ao 2.
4.4.12 Histograma
É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de retângulos justapostos.
	Idade dos Alunos da Escola
	Idade
	
	2 ˫ 4
	3
	4 ˫ 6
	5
	6 ˫ 8
	10
	8 ˫ 10
	6
	10 ˫ 12
	2
	
	26
4.4.13 Polígono de Frequências
É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono.
		
4.4.14 Polígono de Frequência Acumulada
	Classes
	2 ˫ 4
	4 ˫ 6
	6 ˫ 8
	8 ˫ 10
	10 ˫ 12
	
	3
	5
	10
	6
	2
	
	3
	8
	18
	24
	26
Exemplo 4.4.1
Dado o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em classes e construir os gráficos:
33 - 35 -35 - 39 - 41 -41 - 42 - 45 - 47 - 48
50 - 52 - 53 - 54 - 55 - 55 - 57 - 59 - 60 - 60
61 - 64 - 65 - 65 - 65 - 66 - 66 - 66 - 67 - 68
69 - 71 - 73 - 73 - 74 - 74 - 76 - 77 - 77 - 78
80 - 81 - 84 - 85 - 85 - 88 - 89 - 91 - 94 - 97
Solução:
Amplitude total (R): 
Número de classes (K): 
Amplitude de classe (h): 
Limites das classes, frequências e pontos médios: para facilitar a contagem das frequências, inicia-se a primeira classe por 30. Todavia, poder-se-ia iniciar com 33. Assim, a distribuição de frequência será:
	Classes
	
	
	
	
	30 ˫ 40
	4
	4
	0,08
	35
	40 ˫ 50
	6
	10
	0,12
	45
	50 ˫ 60
	8
	18
	0,16
	55
	60 ˫ 70
	13
	31
	0,26
	65
	70 ˫ 80
	9
	40
	0,18
	75
	80 ˫ 90
	7
	47
	0,14
	85
	90 ˫ 100
	3
	50
	0,06
	95
	
	50
	
	1
	
O histograma e o polígono de frequência são dados por:
EXERCÍCIOS - SÉRIE II
1. Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) construir a distribuição de frequência;
b) construir o gráfico das frequências;
c) determinar as frequências relativas;
d) determinar as frequências acumuladas;
e) qual é a amplitude amostral;
f) qual a porcentagem de elementos maiores que 5.
2. Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos (dadas em cm):
Pede-se determinar:
a) a amplitude amostral;
b) o número de classes;
c) a amplitude das classes;
d) os limites das classes;
e) as frequências absolutas das classes;
f) as frequências relativas;
g) os pontos médios das classes;
h) a frequência acumulada;
i) o histograma - polígono de frequência;
j) os gráficos de frequência acumulada.
3. As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
Determinar:
a) o rol;
b) as distribuições de frequências (variável contínua). (Sugestão: iniciar por 0 e intervalo de classe 1,5);
c) o maior e menor graus;
d) a amplitude total;
e) qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4;
f) qual o limite superior da segunda classe;
g) qual o ponto médio da quarta classe;
h) qual o ponto médio da terceira classe;
i) os gráficos (histograma e gráfico da 
).
4. Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
a) construir a tabela de distribuição de frequência, dado 
.
b) construir os gráficos da distribuição.
5. Completar os dados que faltam:
	Valores
	
	
	
	1
	4
	
	0,08
	2
	4
	
	
	3
	
	16
	0,16
	4
	7
	
	0,14
	5
	5
	28
	
	6
	
	38
	
	7
	7
	45
	0,14
	8
	
	
	
�
Exemplo de distribuição de frequências de uma variável discreta.
Exemplo de distribuição de frequências de uma variável contínua.
Polígono de Frequência
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