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PONTO DOS CONCURSOS MATEMÁTICA ATUARIAL DE PESSOAS SUSEP Aula 7 André Cunha 29/03/2010 Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de ensino) e aborda o seguinte tópico: Múltiplas vidas. Página 2 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Conteúdo 1. Introdução .......................................................................... 3 2. Vida conjunta ...................................................................... 3 2.1. Probabilidades ............................................................ 3 2.2. Anuidades e seguros .................................................... 4 3. Último sobrevivente ............................................................. 5 3.1. Probabilidades ............................................................ 5 3.2. Anuidades e seguros .................................................... 6 4. Relações entre os status vida conjunta e último sobrevivente .... 6 4.1. Relações envolvendo probabilidades ............................... 7 4.2. Relações envolvendo anuidades e seguros ...................... 7 5. Funções de contingência ....................................................... 8 5.1. (x) morre antes de (y) ................................................. 8 5.2. (x) morre depois de (y) ................................................ 9 5.3. Anuidades reversíveis ................................................ 10 6. Exercícios de Fixação ......................................................... 12 7. GABARITO ........................................................................ 15 8. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 16 Página 3 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 1. Introdução Tudo o que estudamos até agora foi relativo à vida de uma pessoa. Probabilidades de morte e sobrevivência, anuidades, seguros, reservas, prêmios, tudo foi calculado com base no status do indivíduo (se vivo ou não). Hoje vamos estudar funções de duas vidas. Anuidades que são pagas, por exemplo, enquanto duas pessoas estiverem vivas. Apesar de o edital citar múltiplas vidas, vamos estudar apenas funções de duas vidas, pois o conceito é facilmente generalizável para três vidas ou mais e, além disso, a ESAF não cobra questões envolvendo mais de duas vidas. Para quem tiver interesse, há material sobre 3 vidas em [JOR91], mas não estude isso antes da prova da SUSEP. 2. Vida conjunta Para uma vida, as probabilidades estudadas giram em torno da sobrevivência de um indivíduo. Quando falamos em duas ou mais vidas, temos de definir sobrevivência de outra forma, visto que algumas dessas pessoas podem estar vivas e outras não. A sobrevivência do status de vida conjunta requer que todas as pessoas estejam vivas. Notação para duas vidas de idades x e y: xy . 2.1. Probabilidades A probabilidade do status vida conjunta sobreviver n anos é definida por xyn p , e a de “morrer” 1 é dada por xyn q . • Cálculo de xyn p Aqui e para o resto da aula, quando nada for falado, fica estabelecido que as vidas em questão são independentes. Como as duas pessoas têm de estar vivas para a sobrevivência do status, temos que 1 Daqui em diante omitiremos as aspas para falar da morte de um status. Página 4 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 (1) ynxnxyn ppp ⋅= • Cálculo de xyn q É imediato que (2) ynxnxynxyn pppq ⋅−=−= 11 Também poderíamos calcular de outra forma, percebendo que para o status vida conjunta morrer, pelo menos uma das pessoas tem de morrer em até n anos. Assim teríamos (3) ynxnynxnxyn qqqqq ⋅−+= É trivial provar a equivalência entre (2) e (3). 2.2. Anuidades e seguros As anuidades e seguros para o status vida conjunta são calculados de forma inteiramente análoga à que vimos nas aulas 4 e 5. Por exemplo, um seguro que paga uma u.m. no final do ano da morte da primeira de duas pessoas de idades x e y é dado por ∑∞ = += 0 / 1 j xyj j xy qvA , e uma anuidade contínua diferida de n anos, temporária de m anos, paga enquanto as duas pessoas de idades x e y estiverem vivas tem por fórmula ∫+= mn n xyt t xmn dtpva/ . Na verdade, todas as fórmulas para seguros, anuidades, prêmios e reservas funcionam aqui também, basta trocar o x pelo xy (no caso de reservas, o x+t pelo x+t:y+t). Página 5 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 3. Último sobrevivente Se por um lado o status vida conjunta morre, acaba, finda com a primeira morte, o status último sobrevivente só termina quando morrem todos. Posto de outra forma, enquanto houver alguém vivo o status sobrevive. Notação para duas vidas de idades x e y: ___ xy . Vamos definir (x) como sendo uma pessoa de idade x. 3.1. Probabilidades A probabilidade do status vida conjunta sobreviver n anos é definida por ___ xy n p , e a de morrer é dada por ___ xy n q . • Cálculo de ___ xy n q , Para o status morrer em até n anos, (x) e (y) têm de morrer. Dessa forma, (4) ynxn xy n qqq ⋅=___ • Cálculo de ___ xy n p , É imediato que (5) ynxn xy n xy n qqqp ⋅−=−= 11 ______ Também poderíamos calcular de outra forma, percebendo que para o status último sobrevivente sobreviver n anos, pelo menos uma das pessoas tem de viver mais n anos. Assim teríamos (6) ynxnynxn xy n ppppp ⋅−+=___ Mais uma vez, não é difícil de provar a equivalência entre (5) e (6). Página 6 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 3.2. Anuidades e seguros Aqui, absolutamente nenhuma novidade em relação ao subitem 2.2. Mais uma vez, todas as fórmulas para seguros, anuidades, prêmios e reservas funcionam aqui, bastando trocar o x pelo ___ xy (no caso de reservas, o x+t pelo ________________ : tytx ++ .). Exemplificando, uma anuidade que paga uma u.m. no começo do ano enquanto (x) ou (y) estiverem vivos tem seu VPA dado por ∑∞ = = 0 ______ j xy j j xy pva&& . 4. Relações entre os status vida conjunta e último sobrevivente Essa é a parte que a ESAF mais cobra. Vamos definir: • xyT como o tempo até a morte do status xy • ___ xy T como o tempo até a morte do status ___ xy Como definido acima, xyT é o tempo decorrido até a primeira morte entre (x) e (y), e ___ xy T o tempo decorrido até a segunda. Sendo xT e yT os tempos decorridos até as mortes de (x) e (y), respectivamente, segue direto que (7) yx xy xy TTTT +=+ ___ Guarde a relação (7). Ela cai muito em prova. Vejamos algumas relações derivadas dela. Página 7 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 4.1. Relações envolvendo probabilidades De (7), segue (8) (8) ynxn xy nxyn pppp +=+ ___ E de (8), sabendo que cada probabilidade acima obedece p = 1 – q, temos (9) ynxn xy nxyn qqqq +=+ ___ 4.2. Relações envolvendo anuidades e seguros (10) yx xy xy AAAA +=+ ___ A lógica por trás de (10) é que fazendo-se um seguro individual para (x) e outro para (y) (lado direito da equação), será paga uma u.m. quando o primeiro morrer e quando o segundo morrer também (lado esquerdo). Continuando, adivinhem como serão as relações (11) e (12)! (11) yx xy xy aaaa +=+ ___ (12) yx xy xy aaaa &&&&&&&&+=+ ___ Ou seja, comprando-se uma anuidade para (x) e outra para (y), serão pagas 2 u.m. até o primeiro morrer, 1 u.m. no período entre as mortes, e nada após as duas mortes. Página 8 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 5. Funções de contingência Muitas vezes queremos calcular a probabilidade de (x) morrer antes de (y), especialmente se formos calcular anuidades reversíveis, como veremos mais adiante. Quando uma probabilidade relativa a (x) envolve vidas de outras pessoas chamamos de funções de probabilidade de contingência. Aqui veremos as mais comuns. 5.1. (x) morre antes de (y) À probabilidade de (x) morrer antes de (y), desde que dentro de n anos, foi dada a notação yxn q1 , com o número 1 em cima de quem morre primeiro. Vimos na Aula 2 que a probabilidade de (x) morrer exatamente após t anos é igual a dtp txxt +⋅ μ . Usando raciocínio análogo, a probabilidade de (x) morrer antes de (y), e exatamente no instante t é dada por dtp txxyt +⋅ μ . Somando (Integrando) todos os instantes t no intervalo de 0 a n, temos que (13) ∫ +⋅= n txxytyxn dtpq 0 1 μ Apesar de possível, é pouco provável que seja cobrada a fórmula (13). É bem mais o estilo da ESAF cobrar fórmulas do estilo de (14). (14) xyn yx n yx n qqq =+ 11 A relação (14) é bem intuitiva. Ela nos diz que a probabilidade de a primeira morte ocorrer em n anos é igual à probabilidade de (x) ser o primeiro a morrer mais a probabilidade de (y) ser o primeiro, desde que em até n anos. Página 9 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 5.2. (x) morre depois de (y) À probabilidade de (x) morrer depois de (y), desde que dentro de n anos, foi dada a notação yxn q 2 , com o número 2 em cima de quem morre depois. Agora, a probabilidade de (x) morrer depois de (y), e exatamente no instante t é dada por dtqp txytxt +⋅⋅ μ . Somando (Integrando) todos os instantes t no intervalo de 0 a n, temos que (15) ∫ +⋅⋅= n txytxtyxn dtqpq 0 2 μ , e a relação favorita da ESAF correspondente à (14) é (16) ___22 xy n yx n yx n qqq =+ A relação (16) estabelece que a probabilidade de a segunda morte ocorrer em até n anos é igual à probabilidade de essa segunda morte ser de (x) mais a probabilidade de a segunda morte ser de (y), desde que no mesmo intervalo. Na linha de (14) e (16), vamos agora dar duas fórmulas de funções de seguro de contingência. (17) xy yxyx AAA =+ 11 (18) ___22 xyyxyx AAA =+ O que (17) nos diz é que uma anuidade paga no momento da morte da primeira pessoa (dentre (x) e (y)) equivale à soma de duas anuidades: uma paga no momento da morte de (x), caso (x) morra antes de (y) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ yx A1 , e outra paga no momento da morte de (y), caso contrário ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 1 yx A . Página 10 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Deixamos para você interpretar a fórmula (18), bem como a notação nela empregada. 5.3. Anuidades reversíveis Anuidades reversíveis são aquelas que pagam um determinado valor para uma das pessoas, enquanto ela viver, mas somente após a morte da outra. Elas podem funcionar como um “seguro” em caso de morte do provedor de uma família. Vamos calcular uma anuidade imediata que paga uma u.m. a (y), no final de cada ano, enquanto (y) viver e somente depois da morte de (x). Notação: yxa / No final do j-ésimo ano temos: • Probabilidade de (y) estar vivo: yj p • Probabilidade de (x) estar morto: xj q • Probabilidade de (x) estar morto e (y) estar vivo: xjyj qp ⋅ Prova-se facilmente que (19) xyjyjxjyj ppqp −=⋅ Assim, trazendo a VP todos os possíveis fluxos, (20) ( )∑∞ = −= 1 / j xyjyj j yx ppva Desenvolvendo (20), ( ) xyy j xyj j j yj j j xyjyj j yx aapvpvppva −=−=−= ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = 111 / , Resumindo: (21) xyyyx aaa −=/ Página 11 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 A equação (21), que é bem possível de ser cobrada, afirma que a anuidade paga para (y) após a morte de (x) é a diferença entre a paga a (y) e a paga enquanto os dois estiverem vivos. Caso se trate de uma anuidade temporária de m anos, temos (22) ______ :::/ mxymymyx aaa −= Página 12 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 6. Exercícios de Fixação 1. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Assinale a opção correta. Sendo “x” a idade do marido e “y” a idade de sua esposa, a probabilidade do casal estar vivo, após 10 anos é dada por: Atenção: - observe que nas opções há “x” como idade e como operador matemático (donde a interpretação faz parte da questão). A) xyxy qp −= 110 B) 1010 1010 10 ++ ++ + −= yx yx xy ll ll p C) yx yx xy xll xll p 101010 ++= D) 60 5060 10 1 l llpxy −−= E) 50:601010 1 qpxy −= 2. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Assinale a opção correta. Se 10Px é igual a 0,85 e 10Py é igual a 0,80, a probabilidade de termos apenas um (1) vivo ao final dos 10 anos é de: A) = 0,290. B) = 0,425. C) = 0,500. D) = 0,825. E) = 1,000. 3. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Para um Benefício de Pensão de R$ 1.000,00, que já esteja sendo recebido no final de cada mês, 80% para o cônjuge e os outros 20% para o filho universitário, sem que haja contribuição futura, a reserva matemática correspondente será obtida por: Atenção: observe que nas opções há “x” como operador matemático (donde a interpretação faz parte da questão). Página 13 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 A) { } 00,000.1$)12()(24/)12( Raa tztzty ×+= ++−+ B) { } 00,000.12$5,05,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ C) { } 00,000.1$)12(24/)12( Raa zzy ×+= − D) { } 00,000.12$2,08,0 )12(24/)12( Raa zzy ××+×= − E) { } 00,000.1$2,08,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ 4. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) No cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade x e outra de idade y, de pelo menos 1 morrer após “n” anos e dentro dos “m” seguintes, representada por n/m Qxy , é dada pela equação: A) n/mQxy = 1 - mpxy B) n/mQxy = n/mQx x mpxy C) n/mQxy = n/mQx x mpy D) n/mQxy = mpx x mpy E) n/mQxy = n/mQy x mpx 5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Indique qual das expressões abaixo é falsa: A) ax|y = ay - axy B) npy|x = npx - npy C) axy = ayx D) npxy = npx npy E) a_ = ax + ay - axy xy Página 14 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Assinalar a afirmativa correta que expressa o cálculo do valor atual de uma anuidade vitalícia postecipada imediata em que viva pelo menos uma das 2 pessoas de idades “x” e “y”: A) ax - ay - axy B) ay - axy C) ax + ay - axy D) ax + ay + axy E) ax - axy 7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer nesta idade “x” e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer nesta idade “y”, e px = (1 – qx), e py = (1 - qy), pode-se afirmar que o resultado da equação [1 – px py] indica: A) A probabilidade de ambos vivos. B) A probabilidade de pelo menos um vivo. C) A probabilidade de ambosmortos. D) A probabilidade de pelo menos um morto. E) A probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” vivo. 8. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) Se tpx = 0,85 e tpy = 0,80, a probabilidade de que ao menos um dos dois (x ou y) sobrevivam t anos é igual a: A) 0,29; B) 0,68; C) 0,90; D) 0,93; E) 0,97. Página 15 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 7. GABARITO 1 – C 2 – A 3 – E 4 – ANULADA 5 – B 6 – C 7 – D 8 – E Página 16 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 8. Resolução dos Exercícios de Fixação 1. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Assinale a opção correta. Sendo “x” a idade do marido e “y” a idade de sua esposa, a probabilidade do casal estar vivo, após 10 anos é dada por: Atenção: - observe que nas opções há “x” como idade e como operador matemático (donde a interpretação faz parte da questão). A) xyxy qp −= 110 B) 1010 1010 10 ++ ++ + −= yx yx xy ll ll p C) yx yx xy xll xll p 101010 ++= D) 60 5060 10 1 l ll pxy −−= E) 50:601010 1 qpxy −= Resolução O problema pede xyp10 . yx yx y y x x yxxy ll ll l l l lppp ⋅ ⋅=⋅=⋅= ++++ 10101010101010 Repare que a ESAF assumiu a independência das duas vidas na resposta, mas não no enunciado. Gabarito: C Página 17 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 2. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Assinale a opção correta. Se 10Px é igual a 0,85 e 10Py é igual a 0,80, a probabilidade de termos apenas um (1) vivo ao final dos 10 anos é de: A) = 0,290. B) = 0,425. C) = 0,500. D) = 0,825. E) = 1,000. Resolução P{1 vivo} = P{(x) vivo e (y) morto} + P{(x) morto e (y) vivo } 29,080,015,020,085,0)1()1(}1{ 10101010 =⋅+⋅=⋅−+−⋅= yxyx ppppvivop Gabarito: A 3. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Para um Benefício de Pensão de R$ 1.000,00, que já esteja sendo recebido no final de cada mês, 80% para o cônjuge e os outros 20% para o filho universitário, sem que haja contribuição futura, a reserva matemática correspondente será obtida por: Atenção: observe que nas opções há “x” como operador matemático (donde a interpretação faz parte da questão). A) { } 00,000.1$)12()(24/)12( Raa tztzty ×+= ++−+ B) { } 00,000.12$5,05,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ C) { } 00,000.1$)12(24/)12( Raa zzy ×+= − D) { } 00,000.12$2,08,0 )12(24/)12( Raa zzy ××+×= − E) { } 00,000.1$2,08,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ Página 18 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Resolução Muito mal formulada essa questão. (y) foi definido? (z) foi definido? E a idade de 24 anos, de onde surgiu? Felizmente, ele facilitou as coisas para nós. Sem pensar muito: Se 80% vão para uma pessoa e 20% para outra, a resposta tem de contemplar isso, e as únicas candidatas são a D e a E. Além disso, a resposta é o valor de uma reserva, a estar constituída em um momento t, sobrando apenas o item E. Para chegarmos à resposta correta sem ser por eliminação, precisamos definir: • (y) como o cônjuge; • (z) como o filho universitário • Que o benefício para o filho universitário é pago somente até os 24 anos de idade Repare que a reserva matemática, dado que não haverá mais pagamento de prêmios, é o VPA dos benefícios a serem pagos. Assim, para o benefício de um real anual, sendo 80% pago a (y) e 20% a (z), )12( )(24/ )12( 2,08,0 tztztyBFt aaVPAV ++−+ ×+×== Como o enunciado estipulou que o valor pago é de R$ 12.000 anuais, segue que o valor da reserva é { } 00,000.12$2,08,0 )12()(24/)12( RaaV tztztyt ××+×= ++−+ . A opção que mais se aproxima disso é a E. Gabarito: E 4. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) No cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade x e outra de idade y, de pelo menos 1 morrer após “n” anos e dentro dos “m” seguintes, representada por n/m Qxy , é dada pela equação: A) n/mQxy = 1 - mpxy B) n/mQxy = n/mQx x mpxy C) n/mQxy = n/mQx x mpy D) n/mQxy = mpx x mpy E) n/mQxy = n/mQy x mpx Página 19 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Resolução Quando a questão pede “a probabilidade de pelo menos um”, normalmente o melhor caminho é calcular a probabilidade do evento complementar, pois costuma dar muito menos trabalho, e esse caso não é uma exceção. Sendo H = número de mortes entre n e n + m anos no futuro, o espaço amostral de H é dado por {0,1,2}, pois trata-se de 2 pessoas. A questão pede P{H ≥ 1} Mas P{H ≥ 1} = 1 - P{H = 0} (a) • Cálculo de P{H = 0} A mortes podem ocorrer em três intervalos distintos: em até n anos, entre n e n+m anos, e após n+m anos. As possibilidades para H = 0 estão resumidas na tabela abaixo: Por exemplo, se houver 2 mortes no primeiro intervalo e zero nos demais, definimos a probabilidade de isso ocorrer como P(2,0,0). Prob./Intervalo (0,n) (n, n+m) (n+m, ∞) P(2,0,0) 2 0 0 P(0,0,2) 0 0 2 P(1,0,1) 1 0 1 Assim, P{H = 0} = P(2,0,0) + P(0,0,2) + P(1,0,1) (b) • Cálculo de P(2,0,0) É a probabilidade de os dois morrerem em até n anos. É equivalente ao status último sobrevivente morrer, e é dado por ___ xy n q . • Cálculo de P(0,0,2) É a probabilidade de os dois morrerem após n + m anos. É equivalente ao status vida conjunta sobreviver a esse período, e é dado por xymn p+ . Página 20 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 • Cálculo de P(1,0,1) Para haver uma morte antes de n anos e outra após n + m, há duas possibilidades: ou (x) morre primeiro e (y) depois ou vice versa. Essa probabilidade é dada por xmnynymnxn pqpq ++ ⋅+⋅ . Substituindo tudo isso em (b), teremos xmnynymnxnxymn xy n pqpqpqHP +++ ⋅+⋅++== ___}0{ (c) E finalmente, substituindo (c) em (a), xmnynymnxnxymn xy n pqpqpqHP +++ ⋅−⋅−−−=≥ ___1}1{ , ou ainda xmnynymnxnxymn xy n pqpqppHP +++ ⋅−⋅−−=≥ ___}1{ , que são duas das formas finais de resposta. Importante: A questão foi anulada, pois nenhuma das opções está correta. Coloquei essa questão de propósito aqui. Se você gastou muito tempo, quebrou a cabeça e, obviamente, não encontrou a opção correta (pois não existia), não temos tempo para isso na prova. Está muito difícil, pula e volta no final da prova, se sobrar tempo. Você pode também eliminar as mais obviamente erradas, como as opções A e D, que nem de n dependiam. Além disso a ESAF pode muito bem errar uma questão, como foi o caso aqui. Acredito que quem bolou essa questão pensou em outra coisa, por isso a relativa complexidade envolvida nos cálculos. GABARITO: ANULADA 5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Indique qual das expressões abaixo é falsa: A) ax|y = ay - axy B) npy|x = npx - npy C) axy = ayx D) npxy = npx npy Página 21 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 E) a_ = ax + ay - axy xy Resolução Item A: É exatamente a equação (21). Afirmação verdadeira. Item B: Desconheço a notação empregada para o lado esquerdo da equação. Entretanto, vou reescrever a equação (20) invertendo x e y. ( )∑∞ = −= 1 / j xyjxj j xy ppva A equação refere-se a uma renda paga enquanto (x) viver e somente depois da morte de (y). A expressão entre parêntesis reflete a probabilidade de (x) estar vivo e (y morto) ao final doano j. Ora, é muito razoável supor (tenho quase certeza disso, não vejo como ser outra coisa) que jpy|x denote essa probabilidade. Assim teríamos xyjxjxyj ppp −=/ , ou usando n no lugar de j, xynxnxyn ppp −=/ . Afirmação falsa. Item C: Pela definição do status vida conjunta a ordem xy ou yx é irrelevante. Afirmação verdadeira. Item D: A expressão npxy = npx npy só é verdadeira se as vidas de (x) e (y) forem independentes, o que não foi dito no enunciado. Entretanto, marcar a letra D como falsa seria um excesso de rigor, pois nos textos atuariais normalmente se usa a hipótese de independência. Além disso a ESAF também costuma supor as vidas independentes. Para finalizar, o item B está “muito mais errado” que o D, o que nos leva, sendo práticos e não teóricos, a considerar a afirmação como verdadeira. Item E: É a equação (11), quando se isola o ___ xy a . Afirmação verdadeira. Gabarito: B Página 22 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Assinalar a afirmativa correta que expressa o cálculo do valor atual de uma anuidade vitalícia postecipada imediata em que viva pelo menos uma das 2 pessoas de idades “x” e “y”: A) ax - ay - axy B) ay - axy C) ax + ay - axy D) ax + ay + axy E) ax - axy Resolução O enunciado definiu o status último sobrevivente, ___ xy . Isolando o ___ xy a em (11), xyyx xy aaaa −+=___ . Gabarito: C 7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer nesta idade “x” e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer nesta idade “y”, e px = (1 – qx), e py = (1 - qy), pode-se afirmar que o resultado da equação [1 – px py] indica: A) A probabilidade de ambos vivos. B) A probabilidade de pelo menos um vivo. C) A probabilidade de ambos mortos. D) A probabilidade de pelo menos um morto. E) A probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” vivo. Página 23 de 23 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Resolução A probabilidade de ambos sobreviverem um ano é dada por pxpy, supondo as vidas independentes. O evento complementar, cuja probabilidade é 1 - pxpy, é haver pelo menos um morto. Gabarito: D 8. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) Se tpx = 0,85 e tpy = 0,80, a probabilidade de que ao menos um dos dois (x ou y) sobrevivam t anos é igual a: A) 0,29; B) 0,68; C) 0,90; D) 0,93; E) 0,97. Resolução Questão copiada da CGU, com leve adaptação, que resolvemos acima. A probabilidade de pelo menos um dos dois sobreviver é 1 – Pr{2 mortos}. P{2 mortos } = P{(x) morto e (y) morto} 03,020,015,0)1()1(}2{ =⋅=−⋅−= ytxt ppmortosp Assim, a P{pelo menos 1 sobrevive} = 1 – 0,03 = 0,97 Gabarito: E
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