apostila grelha Versao2006

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Universidade Federal de Minas Gerais 
 
Escola de Engenharia 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
Análise Estrutural I 
 
 
 
 
Estudo das Grelhas Isostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
Autor 
Prof. Estevão Bicalho Pinto Rodrigues 
 
 
 
 
 
 
Segunda Edição – Ano 2006 
 
 
 
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ESTUDO DAS GRELHAS ISOSTÁTICAS 
 
 
1-) GENERALIDADES 
 
 
1.1- Equações de Equilíbrio de um Sistema de Forças no 
Espaço 
 
Dado um sistema de eixos X, Y e Z, sabemos que um sistema de 
forças no espaço está em equilíbrio quando a resultante das forças é 
nula e o momento resultante também é nulo. 
 
 
Vetorialmente, teremos: F 0 e M 0= =r r . 
 
Se, entretanto, escrevermos as equações das componentes dos 
vetores segundo os eixos X, Y e Z, teremos: 
 
 ΣFX = 0 ΣMX = 0 
 ΣFY = 0 e ΣMY = 0 
 ΣFZ = 0 ΣMZ = 0 
 
 
1.2- Sistema de Forças Paralelas no Espaço 
 
Seja, agora, um sistema de forças paralelas ao eixo OZ (ver Figura 
1). 
 
 
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Neste caso, as equações ΣFX = 0 e ΣFY = 0 se transformam em 
meras identidades (0=0) pois as forças não tem componentes 
segundo os eixos X e Y. Além disso, a equação ΣMZ = 0 também se 
transforma em identidade pois as forças, sendo paralelas ao eixo OZ, 
não dão momento em relação a este eixo. 
 
Logo, ficam válidas as equações restantes, a saber: 
 ΣFZ = 0 
 ΣMX = 0 
 ΣMY = 0 
 
 
2-) GRELHAS 
 
2.1 – Definição 
 
“Grelha é uma estrutura plana, submetida a um carregamento 
perpendicular a este seu plano”. 
 
Admitindo-se o plano XY como sendo o plano da grelha, as cargas 
terão todas a direção Z. Neste caso, as equações de equilíbrio serão: 
 ΣFZ = 0 
 ΣMX = 0 
 ΣMY = 0 
 
Logo, uma grelha será isostática quando ela possuir apenas 3 
vínculos externos (3 incógnitas a determinar). 
 
 
2.2 – Grelhas Isostáticas 
 
Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são as indicadas abaixo: 
 
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 a-) GRELHA ENGASTADA 
 
 
 
Trata-se de uma grelha com 1 apoio engastado e os demais nós 
livres, cujas reações de apoio (VAZ, MAX e MAY) são obtidas através 
das equações de equilíbrio citadas no item 2.1. 
 
 
 b-) GRELHA SOBRE 3 APOIOS 
 
 
 
Nesta grelha, as reações de apoio (VA, VC e VD) são obtidas através 
das equações de equilíbrio citadas no item 2.1. 
 
Entretanto, os 3 apoios NÃO PODEM estar sobre a mesma reta pois, 
neste caso, teremos uma forma crítica, uma vez que a grelha não 
resistirá às forças verticais que não estiverem sobre a reta que une 
os 3 apoios. 
 
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2.3 – Esforços Solicitantes na Grelha 
 
Dada uma grelha no plano XY, se nós reduzirmos as forças atuantes 
em um dos lados da seção genérica “S” de uma barra ao seu centro 
de gravidade, obteremos a força cortante Q (que é perpendicular ao 
plano XY da grelha) e o momento m, situado no plano XY. 
 
 
 
Este momento mr , que tem direção genérica, sempre poderá ser 
decomposto em uma componente T
r
 na direção da barra (que dará 
torção nesta barra), e em uma componente M
r
, perpendicular ao eixo 
da barra (que produzirá flexão da barra no plano perpendicular ao da 
grelha). 
 
Logo, os esforços solicitantes que atuam na grelha são a força 
cortante Q, o momento torsor T e o momento fletor M. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
No caso de uma estrutura plana ser submetida a um 
carregamento oblíquo ao seu plano, ele deverá ser decomposto em 2 
carregamentos, sendo 1 perpendicular ao seu plano e o outro em seu 
próprio plano. 
Para o carregamento perpendicular ao plano, a estrutura deverá 
ser analisada como grelha. Entretanto, para o carregamento em seu 
próprio plano, ela deverá ser analisada como pórtico plano e 
necessitará possuir pelo menos três vínculos no próprio plano, para 
garantir a sua sujeição completa para este carregamento. 
 
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3-) EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
 
3.1 – Grelha Engastada 
 
Para a grelha abaixo, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de 
barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes 
 
 
 
a-) reações se apoio 
 
* ΣV = 0 * ΣMXBC = 0 
 VA – 2 - 3*2,5 = 0 -9,5*4 + 8 – MXA = 0 
 VA = 9,5 t MXA = -30 tm 
 
* ΣMYAB = 0 
 MYA – 2*2,5 –7,5*1,25 = 0 
 MYA = 14,38 tm 
 
b-) equilíbrio de barras e nós 
 
 
 
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b.1 – barra BC 
ΣMXB = 0 → MXB = 0 
ΣMY = 0 → -2*2,5 – 3*(2,5)2/2 + MYB = 0 → MYB = 14,38 tm 
 
b.2 – barra AB (verificação) 
ΣV = 0 → OK 
ΣMY = 0 → OK 
ΣMX = -9,5*4 + 8 + 30 = 0 → OK 
 
c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras) 
 
 
 
d-) relatório do Programa INSANE 
 
Observação: 
 
Nos exemplos apresentados nestas notas de aula, as barras 
da grelha encontram-se no PLANO XY (eixo Y horizontal, para 
direita; eixo X vertical, para baixo) conforme indicado nas figuras 
ilustrando a geometria das grelhas em planta. O carregamento 
transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento 
tem a direção do eixo Z. 
 
Entretanto, no Programa INSANE, as barras da grelha 
encontram-se no Plano XZ (eixo X horizontal, para a direita; eixo Z 
vertical, para cima), e o carregamento transversal é perpendicular a 
este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Y. 
 
 
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3.2 – Grelha sobre 3 Apoios 
 
Para a grelha a seguir, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio 
de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes: 
 
 
 
a-) reações de apoio 
 
* ΣMYAC = 0 
-4*VF + 3*3 + 5 + 8*4 = 0 
 VF = 11,5 t 
 
* ΣMXA = 0 
11,5*13 – 8*3 +8*VC –16*4 = 0 
 VC = -7,688 t 
 
* ΣV = 0 
VA + 11,5 – 7,688 – 16 – 8 = 0 
 VA = 20,18 t 
 
b-) equilíbrio de barras e nós 
 
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Decomposição da barra BE 
 
 
 
 
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b.1 – barra DE 
ΣMY = 0 → 3*3 + MEY’ = 0 → MEY’ = -9 tm 
ΣMXE = 0 → 8*3 – MEX’ = 0 → MEX’ = 24 tm 
 
b.2 – barra EF 
ΣMY = 0 → MEY’’ = 0 
ΣMXE = 0 → 11,5*7 – MEX’’= 0 → MEX’’ = 80,5 tm 
 
b.3 – barra BE 
ΣMXB = 0 → 104,5 + 3,5*3 - MBX’ = 0 → MBX’ = 115 tm 
ΣMYB = 0 → -3,5*4 + 9 + 5 – MBY’ = 0 → MBY’ = 0 
 
b.4 – barra AB 
ΣMY = 0 → MBY’’ = 0 
ΣMXB = 0 → -20,188*3 + 6*1,5 – MBX’’ = 0 → MBX’’ = -51,564 tm 
 
b.5 – barra BC 
ΣMY = 0 → MBY’’’ = 0 
ΣMXB = 0 → -7,688*5 – 10*2,5 – MBX’’’ = 0 → MBX’’’ = -63,44 tm 
 
c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras) 
 
 
 
d-) relatório do Programa INSANE 
 
 
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