Apostila de Construções Geométricas

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APOSTILA DE DESENHO GEOMÉTRICO - 8º ano / EF 
elaborada pela professora Rosely Maria Wischral, para o Colégio Militar de Curitiba 
 
Aluno(a): __________________________________________ Número: _______ Turma: _______ 
 
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ÍNDICE DE ASSUNTOS POR UNIDADE DIDÁTICA (UD) 
UD ASSUNTO Pág 
1 Entes geométricos: ponto, reta e plano 3
 
I Entes geométricos e ângulo 
2 Ângulo 14
 
1 LG 1 - Circunferência 24
 
Retas perpendiculares 30
 
2 
LG 2 - Mediatriz 34
 
LG 3 - Retas paralelas 36
 
3 
Divisão de segmentos 39
 
LG 4 - Bissetriz 44
 
4 
Construção de ângulos 48
 
II Os lugares geométricos (LG) 
5 LG 5 - Arco capaz 52
 
Introdução 57
 
1 Estudo geral dos triângulos 59
 
2 Construção de triângulos escalenos 64
 
3 Construção de triângulos eqüiláteros 67
 
4 Construção de triângulos isósceles 68
 
III Triângulos 
5 Construção de triângulos retângulos 71
 
1 Estudo geral dos quadriláteros 74
 
2 Construção de quadrado 75
 
3 Construção de losango 77
 
4 Construção de retângulo 79
 
5 Construção de paralelogramo 81
 
IV Quadriláteros 
6 Construção de trapézio 83
 
1 Circunferência: estudo geral e determinação 88
 
V Circunferências 
2 Divisão de circunferências e construção de polígonos regulares inscritos 92
 
Introdução 103
 
Retas tangentes a circunferências 105
 
1 
Construção de polígonos regulares circunscritos
 
110
 
2 Circunferências tangentes a retas 112
 
VI Posições relativas de retas e cir-
cunferências 
3 Circunferências tangentes a circunferências 115
 
1 Princípios fundamentais da concordância 119
 
VII Concordância 
2 Concordância dupla 126
 
1 Processo de Arquimedes 136
 
2 Processo do segmento-soma 138
 
3 Processo de Terquem 139
 
4 Problemas inversos sobre retificação 140
 
5 Retificação de arcos - problema direto 145
 
VIII Retificação de circunferência 
6 Retificação de arcos - problema inverso 152
 
Referências bibliográficas 154
 
 
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O plano, a linha e o ponto são entes ideais. Nossa capacidade de imaginar nos permite entendê-los e reco-
nhecê-los no vasto espaço que nos rodeia. 
O PONTO - é o elemento básico da geometria. Os pontos são representados por letras MAIÚSCULAS 
do nosso alfabeto. Exemplos: 
 
A LINHA - é uma seqüência infinita de pontos. Se os pontos estiverem alinhados numa mesma direção, 
temos uma RETA. As linhas (retas) são identificadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplo: 
O PLANO - é um conjunto infinito de pontos. Representamos a idéia de plano por meio de figuras como 
esta: 
 Os planos são identificados por letras minúsculas do alfabeto grego, como por exemplo: alfa ( ), beta 
( ), gama ( ), delta ( ), ômega ( ), lâmbda ( ), entre outros. 
Agora responda: 
1. Quais são os entes ideais da geometria?___________________________________ 
2. Pontos são identificados por letras_______________________________________ 
3. Retas são identificadas por letras_________________________________________ 
4. Planos são identificados por ____________________________________________ 
5. Por um ponto passam ______________________________________________retas. 
6. Por dois pontos passa ______________________________________________reta. 
7. Identifique os entes geométricos abaixo: 
 r 
 a
 
UNIDADE DIDÁTICA I - ENTES GEOMÉTRICOS E ÂNGULO 
Assunto 1. Entes Geométricos: ponto, reta e plano. 
Assunto 2. Ângulo. 
UD I - Ass 1. ENTES GEOMÉTRICOS: ponto, reta e plano. 
 A
 
 B
 
. C 
 
 P 
 t 
 F 
 
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8. No desenho abaixo, complete as sentenças usando os símbolos , , e . 
Ponto = elemento Reta = subconjunto Plano = conjunto 
A_____s B_____s r_____a A_____r B_____a B_____r A_____a 
C_____r t_____a D_____a C_____s D_____s C_____a E_____a 
A RETA NO PLANO
 
Retas coincidentes - duas retas são coincidentes quando possuem todos os pontos comuns. 
 Indicação: r = s 
Temos que r e s são conjuntos 
formados pelos mesmos pontos. 
Retas concorrentes - duas retas são concorrentes ou secantes quando possuem um único ponto comum. 
r s = P 
P é o ponto de intersecção entre as retas r e s. 
Retas paralelas - duas retas de um plano são paralelas quando não possuem ponto comum. Dizemos que 
duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si. 
Indicação: r // s 
• E
 
 t 
 A 
• B • C 
 • D 
 a 
 s 
 r 
r 
s 
 r 
 P 
 s 
 r 
 s 
ATENÇÃO 
1.Use e para ponto e reta e para ponto e plano. 
2.Use e para reta e plano. 
 
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9. Observando os seguintes pares de retas, complete de acordo com a posição relativa entre elas: 
 
 a. r e s são retas_______________________ b. m e n são retas_______________________ 
 
 c. a e b são retas _______________________ d. t e u são retas _______________________ 
Postulados: princípios primários que são admitidos, para se estabelecer uma demonstração; princípios 
reconhecidos como certos, mas não demonstrados. 
P. 1: Num plano existem infinitos pontos. 
P. 2: Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. 
 
 . 
 . 
 . 
 
P. 3: Dois pontos distintos determinam uma reta. 
Indicação: AB
 
(reta AB) 
 r 
 s 
 n 
 m 
 a = b 
 t 
 u 
 • 
 A
 
• 
 C
 
 • 
 B
 
 • D 
 
B A 
• A 
• B 
• C 
 
 
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P. 4: Um ponto de uma reta divide-a em duas partes (semirretas), às quais ele pertence. 
Indicação: Ar
 
(semirreta Ar) 
O ponto A é a origem. 
P. 5: Uma reta de um plano divide-o em duas partes, nas quais ela está contida. 
Indicação: Semi-plano (r, A) (semi-plano de 
origem na reta r e que passa pelo ponto A). 
Semi-reta - a semirreta é limitada apenas em um sentido. Ela tem um ponto de origem. 
Indicação: Ar
 
O ponto A é a origem. 
10. Indique as semirretas representadas nas figuras abaixo, que tenham como origem o ponto O. 
 a. ___________ b. 
 _______ e ______ 
Segmento de reta - uma parte limitada da reta. A reta AB é chamada reta suporte do segmento AB . 
 Indicação: AB (segmento AB) 
11. Indique segmentos de reta nas figuras dadas: 
 a.b. ______, 
______, 
______, 
______ e 
 ______, ______ e ______ ______. 
 D 
 A 
 B 
 C 
 E
 
 A r 
• 
 A 
 r 
a 
 r 
• A 
 A B 
 
A 
 B 
 C 
 D 
 
O 
 O A 
 A B C 
 
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TIPOS DE SEGMENTOS
 
Segmentos colineares - segmentos contidos na mesma retas suporte. 
AB , BC e CD são colineares. 
Segmentos consecutivos - segmentos com uma extremidade comum. 
 
 
 AB e BC são consecutivos e colineares. EF
 
e FG são consecutivos e não colineares. 
Segmentos congruentes - segmentos com a mesma medida. 
 4,8 cm 4,8 cm 
 
 AB e CD são congruentes (têm a mesma medida), ou seja, AB = CD = 4,8 cm. 
 Indicação: AB CD 
Segmentos coincidentes ou sobrepostos - dois segmentos AB e CD são coincidentes (ou sobrepostos) 
se cada ponto de AB
 
coincide com um ponto de CD e, reciprocamente, cada ponto de CD coincide 
com cada ponto de AB . É evidente que os extremos de dois segmentos coincidentes irão coincidir. Na 
figura abaixo estão representados os segmentos coincidentes AB
 
e CD em que A = C e B = D, o que se 
representa por AB
 
= CD , e que se lê: AB coincide com CD ou AB está sobreposto a CD . 
 
 
A B C D r 
 A B C r 
 F 
E G 
F é comum 
B é comum 
A B C D
 
A = C B = D 
 
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12. Observando a figura, marque nos itens abaixo C (certo) ou E (errado). 
a. ( ) AB e BC são colineares. g. ( ) BC e CD são consecutivos e não colineares. 
b. ( ) AB e CD são congruentes. h. ( ) AB e CD são colineares e consecutivos. 
c. ( ) BC e OC são consecutivos. i. ( ) BO e DO são consecutivos e colineares. 
d. ( ) OC e CD são colineares. j. ( ) AB e BD são congruentes. 
e. ( ) AB e BC são consecutivos. k. ( ) AC e AE são coincidentes. 
f. ( ) AD e BC são congruentes. l. ( ) CD e EF
 
são coincidentes. 
Posição absoluta de uma reta - posição absoluta de uma reta é posição que uma reta ocupa sozinha no 
plano e está relacionada com a linha do horizonte. Há três posições absolutas: horizontal, vertical e in-
clinada. 
 
 horizontal 
 vertical inclinadas 
13. Trace os segmentos AB , CD e EF de modo que: 
AB = 3,2 cm é inclinada; CD = 2,7 cm é vertical; EF
 
= 4,5 cm é horizontal. 
 A 
 B 
 C =
 
F 
 D = E 
 O 
 a 
 b 
 c 
d 
 
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TRANSPORTE DE SEGMENTOS
 
- é a mudança de lugar de um segmento de reta, usando o compasso. 
Na prática: 
1. Palitos de fósforo são segmentos congruentes. 
 
2. As toras são segmentos que estão sendo transportados para o caminhão. 
 
14. Transporte o segmento AB
 
dado para as retas a, b e c. 
 a 
 A
 
 B
 
 b 
 c 
 
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OPERAÇÕES COM SEGMENTOS DE RETA
 
Adição de segmentos - para efetuar a adição de dois ou mais segmentos, basta coloca-los consecutivamente na 
mesma reta suporte. 
Na prática: 
# O trem da figura abaixo representa uma adição, na qual cada vagão corresponde a um segmento de reta. 
 
Assim: 
• AB é uma máquina; 
• BC , CD e DE são vagões; 
• AE é a soma desses segmentos ( AB + BC + CD + DE ). 
# Emendando três pedaços de cano, obtemos um pedaço maior. 
AB + CD + EF = AF
 
Atenção: é importante indicar e identificar os pontos coincidentes. 
 
 
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15. Dados os segmentos AB = 7,5cm, MN = 5,8cm, SP = 3,7cm e FG = 7,1cm, efetue graficamente
 
as 
operações a seguir solicitadas (primeiro trace os segmentos no espaço abaixo para depois trabalhar 
somente com o compasso): 
 a. AB + SP = ____________ 
 b. FG + MN = ____________ 
 c. MN + AB + SP = ___________ 
d. AB + MN
 
= ____________ 
 ______________________________________________________________ 
Subtração de segmentos - realizamos essa operação colocando o segmento menor sobre o maior, de 
forma que tenham uma extremidade comum. Os pontos não comuns constituem a diferença. 
Na prática: 
Na escada abaixo, é preciso substituir o degrau que quebrou. Se tirarmos do sarrafo a parte que necessi-
tamos, quanto sobrará? 
 
 s
 
 n 
 u 
 t 
 
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AB é a medida do comprimento do sarrafo. CD é a medida do comprimento de cada degrau. Se, de AB
 
tirarmos CD , que corresponde ao degrau que está faltando, sobrará BD . 
16. Dados os segmentos AB , CD , MN
 
e OP , efetue graficamente
 
as operações a seguir solicitadas, 
sobre as retas suporte dadas. 
a. AB
 
- CD = _________ 
b. MN
 
- OP = ___________ 
 r 
 A
 
 B
 
 C
 
 D
 
 M 
 N 
 O 
 P 
 s 
 
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c. ( MN + OP ) - AB = __________ 
d. ( AB + CD ) - ( MN + OP ) = 
Multiplicação de segmentos - basta colocar o segmento consecutivamente numa reta suporte tantas ve-
zes quantas forem pedidas. 
Ex: Dado AB , efetue graficamente 3 x AB . 
Construção: - traçamos a reta suporte r auxiliar; 
- transportamos AB para a reta r tantas vezes quantas foram pedidas (soma): 
3 x AB = A1B3. 
Na prática: 
Para canalizar o esgoto de uma rua, a prefeitura utiliza tubulões de cimento, conforme o modelo abaixo. 
Quantos desses tubulões serão necessários para canalizar o trecho a seguir? 
 
Resp: 8 tubos 
17. Dado o segmento CD , determine graficamente 5 x CD sobre a reta suporte t. 
 t 
 r 
 A B 
 r 
 A1 B1 A2 B2 A3 B3 
 C D 
 
t 
 
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Idéia de ângulo - um ângulo representa uma mudança de direção. Podemos reconhecer essa mudança: 
 
DEFINIÇÃO DE ÂNGULO: é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que 
possuem a mesma origem, dividindo este plano em duas partes. O ângulo pode ser identificado das se-
guintes formas: 
 Indicação: MÔN (ângulo MON) ou 
 ou (ângulo alfa) 
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO: as duas semi-retas são chamadas de lados ( OM e ON ) e a origem 
(O) comum aos dois lados é denominada de vértice. 
18. Observe o ângulo e complete relacionando a 1ª coluna com a 2ª: 
( 1 ) lados ( ) AÔB 
( 2 ) vértice ( ) OB e OA 
( 3 ) ângulo ( ) O 
O 
M 
 NO 
 A
 
 B
 
UD I - Ass 2. ÂNGULO
 
 
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19. Observando a figura do transferidor baixo, complete as medidas dos ângulos indicados: 
 
 Linha de fé 
a. med (AÔB) = ____________ d. med (AÔC) = ____________ 
b. med (AÔD) = ____________ e. med (AÔN) = ____________ 
c. med (AÔP) = ____________ f. med (AÔQ) = ____________ 
20. Usando o seu transferidor, determine as medidas dos ângulos abaixo: 
a. CÔD= ________________ b. EÔF=___________________ 
c. GÔH=___________________ d. AÔB=_______________ 
 C
 
 O
 
 D
 
 G
 
 O 
 H 
 O E
 
 F
 
 O 
 A
 
 B
 
 
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21. Usando o seu transferidor, construa os ângulos: 
a. AÔB = 45° b. EÔF = 135° 
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS: com relação à abertura dos seus lados (suas medidas), os ângulos 
podem ser classificados como: 
1. Ângulo nulo - quando a abertura é zero ( a = 0° ) 
2. Ângulo agudo - sua medida é maior do que 0° e menor do que 90° ( 0° < a < 90° ). 
3. Ângulo reto - sua medida é exatamente 90°. Seus lados são semi-retas perpendiculares entre si (a = 
90°). 
4. Ângulo obtuso - sua medida está entre 90° e 180° ( 90° < a < 180° ). 
 O •
 
 O •
 
a 
 
a 
 
a 
a b 
 
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5. Ângulo raso - mede exatamente 180° e os seus lados são semi-retas opostas ( a = 180° ). Também 
pode ser chamado de ângulo de meia volta. 
6. Ângulo côncavo - mede mais de 180° e menos de 360° ( 180° < a < 360° ) 
7. Ângulo Giro ou Completo - mede 360º ( a = 360° ) Também pode ser chamado de ângulo de uma 
volta. 
22. Classifique os ângulos de acordo com a abertura dos lados. 
a. 180° = ______________________ b. 75° = ______________________ 
c. 360° = ______________________ d. 60° = ______________________ 
e. 135° = ______________________ f. 90° = ______________________ 
g. 175° = ______________________ h. 195° = ______________________ 
23. Classifique os ângulos abaixo de acordo com a abertura dos lados. 
a. AÔB = ____________________ b. AÔA = ____________________ 
 
A 
 B 
 O 
 
 O A 
 
O 
 
a
 
b 
 
a 
a b 
a 
 
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c. MÔN = ____________________ d. TÔU (maior) = ____________________ 
Ângulos congruentes
 
- são dois ângulos que possuem a mesma medida. 
Notação: BÂC DÊF 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE ÂNGULOS
 
1. Ângulos consecutivos - dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado em 
comum (pertence aos dois ângulos). Podem possuir ponto comum ou não. 
No exemplo abaixo, são consecutivos os ângulos: 
- AÔB e BÔC 
- AÔB e AÔC 
- AÔC e BÔC 
2. Ângulos adjacentes - são denominados ângulos adjacentes dois ângulos que possuem um lado comum 
(são ângulos consecutivos, tais que os lados não comuns estão em semi-planos opostos em relação ao lado 
comum). Não possuem ponto comum. 
No exemplo abaixo, são adjacentes os ângulos: 
- CÔD e DÔF 
 M 
 O
 
 N
 
 T 
 O 
 U 
 A
 
 B
 
 C
 
 O
 
 C
 
 O
 
 D
 
 F
 
Lado comum 
 A
 
 B
 
 C
 
 E
 
 D
 
 F
 
 
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3. Ângulos complementares - são aqueles cuja soma corresponde a 90°. 
a + ß = 90° 
4. Ângulos suplementares - são aqueles cuja soma corresponde a 180°. 
a + ß = 180° 
5. Ângulos replementares - são aqueles cuja soma corresponde a 360°. 
a + ß = 360° 
6. Opostos pelo vértice (OPV) - são dois ângulos tais que os lados de um são semi-retas opostas aos la-
dos do outro. Os ângulos opv são congruentes (possuem a mesma medida). 
# a1 e a2 são ângulos 
opostos pelo vértice 
# 1 e 2 são ângulos 
opostos pelo vértice 
 
 a 
 a
 
 ß
 
a1 a2 
1 
2 
 a
 
 ß
 
 
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24. Sendo dados os ângulos abaixo, escreva, nos espaços indicados, se os respectivos ângulos são conse-
cutivos ou adjacentes. 
Ângulos consecutivo ou adjacente? 
EÔF e FÔG 
EÔG e EÔF 
FÔG e EÔG 
MÔN e MÔP 
NÔP e PÔM 
MÔN e NÔP 
 
25. Coloque nos parênteses C ou E, conforme a afirmação seja certa ou errada: 
( ) Um ângulo de meia volta mede 90°. 
( ) Um ângulo obtuso mede mais de 90°. 
( ) Os lados de um ângulo são semi-retas. 
( ) Um ângulo de 60° é obtuso. 
( ) O ângulo de meia volta mede o dobro do ângulo reto. 
( ) Para medir um ângulo, utiliza-se o esquadro. 
( ) Um ângulo agudo mede menos de 90°. 
( ) Um ângulo de volta inteira é reto. 
( ) O ângulo de 90° é reto. 
( ) Um ângulo pode medir mais de 360°. 
O
 
 E
 
 F
 
 G
 
 O
 
 M
 
 N
 
 P
 
 
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26. Marque com “X” a(s) alternativa(s) correta(s): 
 
( ) Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 180°. 
( ) Dois ângulos são consecutivos quando possuem um lado e um vértice comum. 
( ) Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida. 
( ) Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 90°. 
( ) Dois ângulos são retos quando a soma de suas medidas for 120°. 
27. Complete as frases com uma das duas palavras que estão dentro dos parênteses: 
a. A abertura de um ângulo é medida em ____________________ (graus / centímetros) 
b. As semirretas em um ângulo correspondem aos ____________________(lados / vértices) 
c. A origem das semirretas que formam um ângulo é o __________________(lado / vértice) 
d. O instrumento com o qual se mede ângulos chama-se __________________________________ 
(transferidor / esquadro) 
TRANSPORTE DE ÂNGULOS COM COMPASSO
 
28. Construa com o transferidor o ângulo solicitado sobre a reta t e depois o transporte, graficamente, 
sobre a semi-reta dada: 
 a. DÔG = 53º 
 b. 
 
= 156º 
 t 
 t 
 
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ADIÇÃO GRÁFICA DE ÂNGULOS CONHECIDOS
 
29. Efetue, sobre a semirreta, a soma gráfica dos ângulos dados: 
a. 
 + = 
b. 
 + = 
c. 
 + = 
 
 
 N M 
 O 
 P 
 A 
 C
 
 B 
 K 
 L
 
 J 
 E 
 S
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 23 
 
SUBTRAÇÃO GRÁFICA DE ÂNGULOS CONHECIDOS
 
30. Efetue, sobre a semirreta, a subtração gráfica dos ângulos dados: 
 a. 
 _ = 
 b. 
 _ = 
c. 
 _ = 
 
T R 
S
 
Z 
Y 
X 
 B 
 KL 
 J 
 E 
 S 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 24 
 
Introdução - Lugar Geométrico (LG) 
Para compreender o conceito de lugar geométrico: 
Num shopping center, todas as lojas do último andar são iluminadas pela luz solar durante o dia, enquan-
to nos demais andares a iluminação é artificial. De acordo com essa afirmação, complete as frases abaixo: 
# ________________ as lojas do último andar têm iluminação natural. 
# A _______________________________ é uma propriedade comum a todas as lojas do último andar. 
# As lojas dos outros andares __________________________ iluminação natural. Portanto, a iluminação 
natural é uma propriedade exclusiva das lojas do ___________________________________________. 
Podemos concluir então que: 
O último andar do shopping é um conjunto de lojas que possuem uma propriedade _________________ 
e ___________________________. 
UD II - Ass 1. LG-1 CIRCUNFERÊNCIA 
UNIDADE DIDÁTICA II - OS LUGARES GEOMÉTRICOS (LG) 
Assunto 1. LG-1 Circunferência 
Assunto 2. Retas perpendiculares e LG-2 mediatriz 
Assunto 3. LG-3 Retas paralelas 
Assunto 4. LG-4 Bissetriz 
Assunto 5. LG-5 Arco Capaz 
LUGAR GEOMÉTRICO (LG)
 
É um conjunto de pontos que possuem uma propriedade COMUM e EXCLUSIVA. 
COMUM: a propriedade pertence a TODOS os pontos desse conjunto 
EXCLUSIVA: a propriedade pertence SOMENTE a esses pontos. 
 
 LG-1 CIRCUNFERÊNCIA 
 É o LG dos pontos do plano que estão eqüidistantes (a uma mesma distância) de um ponto fixo 
desse plano. A essa distância chamamos de raio (r) e o ponto fixo chamamos de centro (O). 
 Notação: C ( O ; r ) - circunferência de centro no ponto O e raio de medida r. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 25 
 
Elementos da circunferência: 
•Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência. 
•Arco - é um pedaço da curva da circunferência. 
•Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer 
dois pontos da circunferência. 
•Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio. 
•Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente. 
•Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). 
A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda. 
•Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência). 
•Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro. 
O - centro da circunferência. 
DT
 
= diâmetro 
OA = OD = OT = raio 
DGE = um arco da circunferência 
DE
 
= uma corda da circunferência, correspondente ao ar-
co DGE 
FG = flecha do arco DGE 
reta s = secante 
H e I = pontos de secância 
HI
 
= corda determinada pela secante s 
reta t = tangente 
T = ponto de tangência 
Ângulos da circunferência
 
a. Ângulo central – é aquele que tem o vértice b. Ângulo inscrito – é o que tem o vértice na 
 no centro da circunferência (O). circunferência e os seus lados são cordas. 
 AÔB AÛB 
O 
• 
H 
 I 
 D 
s 
 T
 
 A 
 E 
F 
 G 
 t 
O• 
A 
B 
•O U 
A 
B 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 26 
 
31. De acordo com os elementos da circunferência abaixo, complete as lacunas: 
a. O = _______________________ f. CÔE= _______________________ 
b. AB
 
= _______________________ g. EÔD =________________________ 
c. CD = _______________________ h. CDE =_______________________ 
d. OE = _______________________ i. OD = _______________________ 
e. ED = _______________________ 
32. Construa geometricamente uma circunferência de centro em O e raio r = 1,2cm. 
33. Construa geometricamente as seguintes circunferências: 
 a. C ( A ; 1,5 cm ) b. C ( B ; 2,5 cm ) 
O • 
A
 
B
 
C
 
D 
E
 
O . 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 27 
 
34. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de um ponto conhecido? 
R: ________________________________________________________________ 
35. Construa o LG dos pontos situados a 21 mm do ponto P. 
 P 
36. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 que estejam a 2 cm do ponto A e também a 3 cm do 
ponto B. 
37. Determine, geometricamente, os pontos T1 e T2 que estejam à distância d do ponto A
 
e estejam à dis-
tância s do ponto B.
 
 A • 
 • B 
 d
 
x
 
B 
A x 
 s
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 28 
 
38. Determine, geometricamente, os pontos X e Y que pertencem à reta t e que estejam à distância d do 
ponto P. 
39. Dado o quadrilátero ABCD, determine geometricamente os pontos T1 e T2 dos lados CD e BC , res-
pectivamente, distantes 5,9 cm do ponto A. 
 A 
B 
 D 
 C 
 t 
 P • 
 d
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 29 
 
40. A casa de Rosely fica a 550 m de distância da casa de sua amiga Raquel, e a distância entre as casas 
de Rosely e Rosângela é de 450 m. Para visitar Rosângela, Rosely precisa passar pela ponte sobre o 
rio. Assinale no mapa o local onde Rosely mora ( R ), sabendo que 1 cm no papel corresponde a 100 
m no terreno. 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 30 
 
Retas perpendiculares
 
- são retas concorrentes que formam ângulo de 90º entre si (“cruz”, “x”). 
a. Perpendicular a uma reta por um ponto pertencente a ela
 
41. Construa, geometricamente, a perpendicular s à reta r que passa pelo ponto P pertencente à reta. 
 Notação: s
 
r 
 
UD II - Ass 2. RETAS PERPENDICULARES 
• 
P 
 r 
• 
P 
 r 
2º passo: com raio maior que a distância entre A e P, 
trace dois arcos com centros em A e B, obtendo o 
ponto C na sua intersecção. Trace CP = s 
1º passo: com centro em P e raio qualquer, trace 
um arco que determine A e B na reta r. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 31 
 
 b. Perpendicular a uma reta por um ponto não pertencente a ela
 
42. Construa, geometricamente, a perpendicular à reta r pelo ponto P não pertencente à reta. 
 Indicação: s
 
r 
 
 
 • P 
 r 
 • P 
 r 
2º passo: com o mesmo raio, trace dois arcos com centros 
em A e B obtendo C na sua intersecção. Trace PC = s 
 
1º passo: com centro em P e raio qualquer, trace um 
 arco que determine A e B na reta. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 32 
 
c. Perpendicular pela extremidade de um segmento
 
43. Construa, geometricamente, as perpendiculares nas extremidades do segmento AB dado. 
 
44. Construa, geometricamente, retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A, B, C e D dados: 
 
B . 
 
.
 
C 
r 
 
. 
A 
. 
D 
 AB
 
1º passo: com centro em A e raio qualquer, trace um arco (maior que 90º) determi-
nando o ponto C no segmento dado. 
2º passo: com o mesmo raio e ponta seca em C, marque no arco duas vezes a mesma 
medida, determinando os pontos D e E. 
3º passo: ainda com o mesmo raio, trace dois arcos com centros em D e E, obtendo o 
ponto F na sua intersecção. Trace a perpendicular AF . 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 33 
 
45. Construa, usando o par de esquadros, retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A, B, C e D 
dados: 
 
46. Construa, geometricamente, retas perpendiculares às retas s e t pelo ponto J. 
 s 
 
 t 
47. Na parede da casa abaixo, P indica o ponto de onde deverá descer um cano perpendicular ao chão. 
Construa, geometricamente, essa perpendicular r, representando o cano. 
 
 J 
B . 
 
.
 
C 
r 
 
. 
A 
. 
D 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 34 
 
 
Mediatriz
 
- é a reta que passa perpendicularmente (formando um ângulo de 90º) no ponto médio (M) de 
um segmento, dividindo-o em duas partes congruentes. 
 AM MB
 
 Notação: Mtz AB
 
48. Construa as mediatrizes dos segmentos dados, determinando os pontos médios: 
 
LG-2 MEDIATRIZ 
É o LG dos pontos equidistantes de dois pontos fixos. 
 
M
 
 A
 
 B
 
 A
 
 B
 
 D 
 E
 
 F
 
 G 
 
2º passo: trace CD = mediatriz de AB. O ponto M - 
intersecção do segmento com sua mediatriz, é o ponto 
médio do segmento 
1º passo: com centro em A e em B e raio maior 
que a metade da medida de AB, trace dois arcos 
obtendo C e D. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 35 
 
49. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de dois pontos conhecidos? 
R: ________________________________________________________________ 
50. Determine, geometricamente, o ponto P eqüidistante dos pontos X e Y e pertencente à reta r dada: 
51. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 tais que estejam eqüidistantes de A e B
 
e estejam à 
distância m do ponto D.
 
 Y . 
X . 
r 
 m
 
 B
 
 A
 
• D
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 36 
 
Na figura abaixo, as retas s e t estão a uma distância d da reta r. Assim, as retas s e t estão equi-
distantes da reta r e são as paralelas que distam d de r (LG-3), pois TODOS os pontos que distam d da 
reta r NECESSARIAMENTE pertencem às retas s e t. 
Notação: s r t 
52. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de uma reta conhecida? 
R: ________________________________________________________________ 
53. Construa, geometricamente, o par de retas paralelas à reta v dada, que distam 2,2 cm dela. 
Passos: 
1. Trace perpendiculares por dois pontos A e B quaisquer da reta v (afastados). 
2. A partir da reta v, marque 2,2 cm para cima de A e de B em cada perpendicular determinando A1 e B1, e para baixo de A e 
de B em cada perpendicular determinando A2 e B2. 
3. Ligue A1 com B1 e A2 com B2, obtendo as duas retas paralelas. 
LG-3 RETAS PARALELAS 
É o LG dos pontos equidistantes de uma reta. 
UD II - Ass 3. LG-3 RETAS PARALELAS 
 
t 
r 
s 
 
d 
d 
 v 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 37 
 
54. Construa, geometricamente, uma reta w paralela à reta s dada, que passe pelo ponto P. 
Passos: 
1. Ponta seca em P, abertura qualquer, trace um arco e determine A na reta s. 
2. Mesma abertura (AP), ponta seca em A, trace um arco passando por P e determine B na reta s. 
3. Transporte medida BP para o outro arco com ponta seca em A, determinando C. 
4. Ligue PC = reta w. 
55. Determine os pontos que distam 1,8 cm da reta s e que pertencem à circunferência, ao triângulo e à 
reta t, sabendo que: 
- G e H estão na circunferência, 
- I e J pertencem ao triângulo e 
- L e M estão na reta t. 
 
 
 
s 
P 
• 
 
t 
s 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 38 
 
56. Traçar o par de paralelas distantes 3,3 cm da reta r, utilizando o par de esquadros. 
57. Determine geometricamente os pontos A, B, C e D distantes 1,5 cm da reta n e 2,5 cm do ponto P. 
58. Construa retas paralelas à reta y dada, que passem pelos pontos R, H e G, utilizando o par de es-
quadros. 
. P 
 n 
 
y 
 R 
• 
 G 
• 
 H 
• 
 r 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 39 
 
Divisão de segmentos
 
- na divisão de segmentos veremos dois processos: 
1º - Processo das mediatrizes: só pode ser aplicado quando o divisor for potência de 2 (2, 4, 8, ...) 
 
2º - Processo geral: permite dividir um segmento em qualquer número de partes. 
 Exemplo: dado AB = 8,0 cm, determinar graficamente 
4
AB
, pelos dois processos. 
1. Processo das mediatrizes 
2. Processo Geral 
A medida é de 2,0 cm. Portanto, os pontos que dividem o segmento em quatro partes iguais devem ter 
entre si a distância de 2,0 cm. Confira!! 
 
A B 
 
B A 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 40 
 
Na prática: 
Quero cortar o sarrafo abaixo em quatro partes congruentes para usar como pernas de um banquinho. In-
dicar os pontos de corte. 
AB
 
= 10,0 cm 
Resposta: os pontos _____, _____ e _____são os pontos de corte. 
59. Dados os segmentos abaixo, determine graficamente: 
a. 
2
CD
 = ________ 
b. 
8
AB
 = ________ 
 
 C D 
 A B 
 A B 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 41 
 
60. Dado o segmento AB , determine graficamente 
5
AB
. 
61. Determine, graficamente, 6
3
de MN
 
= 9,0 cm. 
62. Determine, graficamente, 
7
4
 de SP = 10 cm. 
 
A B 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 42 
 
63. Determine, graficamente, 8
3
 de DE
 
= 11 cm. 
Divisão em partes proporcionais
 
64. Divida graficamente SP na proporção 5:3:2. 
 
65. Divida graficamente MN na proporção 2:1:3. 
 S P 
 
M 
 N 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 43 
 
66. Divida graficamente o segmento VF na proporção 3:2:4. 
67. Pelo processo das mediatrizes de divisão de segmentos, divida o segmento CD em 8 partes congru-
entes. 
Dica: para facilitar a construção da 1ª mediatriz, reduza o tamanho de CD , diminuindo a mesma me-
dida em ambas as extremidades. 
V 
 F 
 
C D 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 44 
 
- Bissetriz de um ângulo é o segmento que divide o ângulo em duas partes congruentes. 
68. Construa, geometricamente,a bissetriz do ângulo dado. 
Notação: Btz 
Passos: 
1. Trace um arco qualquer com centro em O, determinando os pontos A e B nos lados. 
2. Ponta seca em A, trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). O mesmo em B, com a mesma abertura, cruzando com 
o arco anterior, determinando o ponto D. 
3. Ligue OD = bissetriz 
69. Construa geometricamente o LG dos pontos equidistantes das retas r e s dadas. 
Passos: 
1. Trace um arco de 180°, com centro em O, determinando os pontos A, B e C nas retas r e s. 
2. Ponta seca em A, trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). O mesmo em B, com a mesma abertura, cruzando com 
o arco anterior, determinando o ponto D. 
3. Ligue OD - bissetriz 1 
4. Repita o passo 2 nos pontos B e C, determinando o ponto E. 
5. Ligue OE - bissetriz 2 
UD II - Ass 4. LG-4 BISSETRIZ 
 LG-4 BISSETRIZ 
É o LG dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes conhecidas. 
 
s 
r 
O 
 O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 45 
 
70. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de duas retas conhecidas? 
R: ________________________________________________________________ 
71. Construa, geometricamente, as bissetrizes dos ângulos dados: 
a. b. 
c. d. 
 e. 
 O 
O 
O 
O 
O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 46 
 
72. Determine, geometricamente, os pontos P, Q, R e S que se encontram a 2,7 cm de O e que sejam e-
quidistantes das retas v e w dadas. 
73. Trace, graficamente, a reta s equidistante das retas y e z, sem recorrer ao vértice. 
Passos: 
1. Marque dois pontos quaisquer: A na reta y e B na reta z e ligue AB. 
2. Ao ligar AB, determinamos quatro ângulos “no interior” das retas y e z, sendo dois de um lado de AB e os outros dois do 
outro lado. 
3. Construa as quatro bissetrizes desses quatro ângulos, determinando os pontos C e D nos cruzamentos das bissetrizes, um 
de cada lado de AB. 
4. Ligue CD = s 
w 
O . 
v 
 z 
y 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 47 
 
74. Determine, geometricamente, o ponto P que pertence à reta r e está equidistante das retas s e t. 
75. Determine, geometricamente, os pontos U e T equidistantes das retas r e s, e que distam 2,0 cm do 
ponto C. 
76. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 equidistantes das retas m e n, e que distam 1,8 cm 
da reta k. 
 r 
 t 
 s
 
 O 
 s 
 r 
 • C 
 
k 
n 
 m 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 48 
 
77. A figura abaixo representa a área de um hotel fazenda que será ampliado. Será construído um salão 
de festas (S) a 30 mm do restaurante e a 50 mm do salão de jogos, bem próximo da piscina. Pretende-
se construir também uma quadra poliesportiva (Q) a 40 mm da cachoeira e que esteja eqüidistante 
das retas AB e AC (linhas de divisa do terreno da fazenda com a estrada e com o sítio primavera). 
Determine na figura os pontos onde o salão (S) e a quadra (Q) serão construídos. 
 
78. Construa graficamente, nas semirretas dadas, os seguintes ângulos: 
a. 90° 
b. 60° 
B r 
A r 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 49 
 
c. 30° 
d. 15° 
e. 45º 
f. 75º 
g. 120° 
E C
’
 
D r 
C r 
G r 
F r 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 50 
 
h. 150º 
i. 135º 
j. 67º 30’ 
H r 
J r 
I r 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 51 
 
k. 165º 
l. 82º 30’ 
m. 105º 
L r 
M r 
K r 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 52 
 
Arcos como lugares geométricos - introdução 
Quando você olha para um poste na rua, você o vê segundo certo ângulo. 
Esse ângulo pode variar em função da posição de onde você esteja olhando. 
 
Observe a figura abaixo. 
O ponto P é vértice de um ângulo de medida a, cujos la-
dos passam pelas extremidades do segmento AB. 
Dizemos que o ponto P “enxerga” o segmento AB se-
gundo um ângulo de medida a. 
Agora, observe a figura. Uma vez que todos os ângulos inscritos num mesmo arco possuem medidas i-
guais, podemos concluir que todos os pontos do arco APB enxergam AB
 
segundo um mesmo ângulo a. 
FIGURA 5 cm 
Nesse caso, dizemos que o arco APB é um ARCO CAPAZ do ângulo a descrito sobre AB . 
Sobre um mesmo segmento AB é possível descrever dois arcos capazes do ângulo a, cada um de um la-
do de AB . 
UD II - Ass 5. LG-5 ARCO CAPAZ 
 
A B 
a 
P 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 53 
 
A reunião dos dois arcos capazes é um lugar geométrico, pois os seus pontos satisfazem as seguintes 
condições: 
• Todo ponto pertencente a qualquer um dos arcos enxerga AB
 
segundo um ângulo a. 
• Somente os pontos pertencentes a qualquer um dos arcos enxergam AB
 
segundo um ângulo a. 
79. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar AB sob o ângulo a dado. 
Passos 
1. Transporte o ângulo a para baixo de AB, com o vértice em A e um lado coincidindo com AB. O outro lado chame de t. 
2. Trace a reta s, perpendicular a t passando por A. 
3. Construa a mediatriz de AB, determinando O1 no cruzamento com s. 
4. Na mediatriz, marque o simétrico de O1 em relação a AB, determinando O2. 
5. Construa os dois arcos, com centros em O1 e O2 e raios O1A = O2A. 
 
a 
LG-5 ARCO CAPAZ 
É o LG dos seus pontos que “enxergam” um segmento conhecido 
sob um determinado ângulo. 
 
A
 
B 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 54 
 
80. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar CD sob um ângulo de 60°. 
81. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar AB sob um ângulo de 120°. 
A B 
 C
 
D 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 55 
 
82. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar FG sob um ângulo de 90º. 
83. Construa, geometricamente, somente um arco capaz de enxergar AB sob um ângulo de 75°. 
 F G 
 A B 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 56 
 
84. Um faroleiro em vigília foi contatado por um barco em dificuldade que, logo após enviar sua mensa-
gem, perdeu seu sistema de comunicação. Ao relatar a ocorrência, o faroleiro indicou o local exato do 
barco, pois o marinheiro havia informado que podia ver o farol ( F ) e as ruínas do forte ( R ) segundo 
um ângulo 60° e que enxergava o farol ( F ) e a torre de petróleo ( T ) sob um ângulo de 90°. 
Com essas informações, determine na figura, geometricamente, a localização do barco ( B ) no mo-
mento da ocorrência. 
 
85. Considere o desenho a seguir como sendo a sua sala de aula. Marque o quadrinho que corresponde à 
sua posição na sala. Descubra se mais algum aluno observa o quadronegro sob o mesmo ângulo que 
você. 
 
. . .
 
. .
 
. 
 
. . .
 
. .
 
. 
 
. . .
 
. .
 
. 
 
. . .
 
. .
 
. 
 
. . .
 
. .
 
. 
 
. . .
 
. .
 
. 
 
quadro negro
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 57 
 
INTRODUÇÃO
 
Linha poligonal aberta 
Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, ou seja, seg-
mentos de reta que não estão alinhados na mesma reta e que não se fecham. 
Linha poligonal fechada (polígono) 
Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli (muitos) + 
gonos (ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não 
colineares que se fecham. 
A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono. 
Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região 
localizada dentro da linha poligonal fechada, mas é bom deixar claro que polígono representa apenas a 
linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou 
no outro sentido. 
UNIDADE DIDÁTICA III - TRIÂNGULOS
 
Assunto 1. Estudo geral. 
Assunto 2. Construção de triângulos escalenos. 
Assunto 3. Construção de triângulos equiláteros. 
Assunto 4. Construção de triângulos isósceles. 
Assunto 5. Construção de triângulos retângulos. 
 
 Q 
 P 
 N 
 M 
 D 
 C B 
 A 
 J I 
 H 
 G 
 F 
 S R 
 Q P 
 I 
 H 
 G 
 F 
 E 
 C 
 B 
 A 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 58 
 
Considerando a figura ao lado, observamos que: 
Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono. 
Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono. 
Os ângulos do polígono são: A, B, C, D e E. 
Polígonos quanto à convexidade 
1. Polígono convexo: É uma região poligonal que não apresenta re-
entrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de 
reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente conti-
do na região poligonal. 
2. Polígono não convexo: É uma região poligonal que apresenta 
reentrâncias no corpo da mesma. Ela possui segmentos de reta cujas 
extremidades estão na região poligonal mas não estão totalmente 
contidos na região poligonal. 
Polígono regular: é o polígono que possui
 
todos os lados congruentes e todos os ângulos internos con-
gruentes. 
Polígono irregular: é o polígono que não possui
 
todos os lados congruentes e todos os ângulos internos 
congruentes. 
Nomes dos polígonos 
Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes: 
nº de lados polígono nº de lados polígono 
1 não existe 11 undecágono 
2 não existe 12 dodecágono 
3 triângulo 13 tridecágono 
4 quadrilátero 14 tetradecágono 
5 pentágono 15 pentadecágono 
6 hexágono 16 hexadecágono 
7 heptágono 17 heptadecágono 
8 octógono 18 octadecágono 
9 eneágono 19 eneadecágono 
10 decágono 20 icoságono 
 
 B 
 A 
 C 
 E D 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 59 
 
# Definição: triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. 
Talvez seja o polígono mais importante que existe. 
# Elementos - seja o triângulo AOE ao lado: 
 a = lado de extremidades O e E 
- lados e = lado de extremidades A e O 
 o = lado de extremidades A e E 
 A = oposto ao lado a 
- vértices E = oposto ao lado e 
 O = oposto ao lado o 
 Â = ângulo correspondente ao vértice A 
- ângulos internos Ê = ângulo correspondente ao vértice E 
 Ô = ângulo correspondente ao vértice O 
- a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180º 
# Classificação 
 eqüilátero = três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um) 
- quanto aos lados isósceles = dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes 
 escaleno = três lados diferentes e três ângulos diferentes 
 acutângulo = três ângulos agudos (< 90º) 
- quanto aos ângulos obtusângulo = um ângulo obtuso (> 90º) 
 retângulo = um ângulo reto (90º) 
- o triângulo retângulo é o único cujos lados recebem nomes: 
hipotenusa (a) = lado oposto ao ângulo reto 
 
catetos (b, c) = lados que formam o ângulo reto 
UD III - Ass 1. ESTUDO GERAL DOS TRIÂNGULOS 
 
o 
a E O 
A 
 
e 
 
Ê Ô 
 
 
 
a
 
b
 
c
 
A 
 C 
B 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 60 
 
# Ceviana: é todo segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao 
seu prolongamento. 
# Cevianas notáveis e pontos notáveis 
- Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado 
oposto. AMa é uma mediana. o encontro das três medianas 
determina o baricentro ou centro de gravidade (G), sempre 
no interior do triângulo. 
Observação: o baricentro situa-se a 1/3 do comprimento da me-
diana a partir do ponto médio do lado. 
- Altura: é a ceviana perpendicular ao lado oposto ou ao seu prolongamento (forma um ângulo reto). 
BHb e AHa são alturas. o encontro das três alturas determina o ortocentro (O), podendo estar 
dentro ou fora do triângulo. 
 
- Bissetriz interna: é a ceviana que divide um ângulo em duas partes iguais. Os ângulos CˆeBˆ,Aˆ es-
tão divididos ao meio. o encontro das três bissetrizes determina o incentro (I) = centro da circun-
ferência inscrita no triângulo, sempre no interior do triângulo. 
- Mediatriz (não é ceviana) o encontro das três mediatrizes determina o circuncentro (C) = centro 
da circunferência circunscrita ao triângulo, podendo estar dentro ou fora do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 61 
 
86. Construa geometricamente as três medianas dos triângulos dados e determine os seus baricentros (G). 
87. Construa geometricamente as três alturas dos triângulos dados e determine os seus ortocentros (O). 
B C 
A 
 P Q 
R 
B C 
A 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 62 
 
88. Construa geometricamente as três bissetrizes internas
 
dos triângulos dados, determine os seus incen-
tros (I) e trace as circunferências inscritas nos triângulos. 
Observação: após determinar o incentro, há necessidade de se determinar o raio da circunferência, traçan-
do uma perpendicular do incentro a qualquer um dos lados. 
 
B C 
A 
 P Q 
R 
 P Q 
R 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 63 
 
89. Construa geometricamente as mediatrizes
 
dos três lados dos triângulos dados, determine os seus cir-
cuncentros (C) e trace as circunferências circunscritas aos triângulos. 
 
B C 
A 
 Z 
 Y 
 X 
 P Q 
R 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 64 
 
Triângulo escaleno: possui trêslados diferentes e três ângulos diferentes. 
Dica: para resolver os problemas envolvendo construção de figuras planas, analise o enunciado, veja bem 
o que está sendo solicitado, faça uma figura auxiliar e decida o caminho para a solução da questão. 
Traçados auxiliares fracos e solução reforçada. 
90. Construa geometricamente o triângulo XYZ de lados x = 35 mm, y = 49 mm e z = 58 mm. 
91. Construa geometricamente o triângulo FGH de 112 mm de perímetro sabendo que as medidas de 
seus lados obedecem à proporção 2:3:4. 
Dica: perímetro é a soma de todos os lados; use divisão proporcional de segmento. 
UD III - Ass 2. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ESCALENOS 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 65 
 
92. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 4,5 cm, b = 2,5 cm e  = 45º. 
Dica: use arco capaz. 
93. Construa geometricamente o triângulo AOE, sendo a = 5,8 cm, Ô = 45º e Ê = 60º. 
94. Construa geometricamente o triângulo RST sendo dados: r = 68 mm, s = 53 mm e hr = 32 mm. 
Dica: trace uma paralela ao lado r distante hr (hr é a altura relativa ao lado r). 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 66 
 
95. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 5,5 cm, b = 3,6 cm e ma = 4 cm. 
Dica: base a, ponto médio, ma e b (ma é a mediana relativa ao lado a). 
96. Construa geometricamente o triângulo UIQ sendo dados: u = 7 cm, Û = 60º e Î = 30º. 
Dica: arco capaz 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 67 
 
 
Triângulo equilátero: possui três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um) 
# No triângulo equilátero as cevianas notáveis e os pontos notáveis coincidem. 
97. Construa geometricamente o triângulo eqüilátero ABC de lado 4,3 cm 
98. Construa geometricamente o triângulo equilátero OAP com h = 5 cm. (duas soluções) 
UD III - Ass 3. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 68 
 
99. Construa geometricamente o triângulo equilátero PQR de 108 mm de perímetro. 
Triângulo isósceles: possui dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes 
Lembrando => No triângulo AOE abaixo temos: 
100. Construa geometricamente o triângulo isósceles ABC de base c = 6,5 cm e  = 45°. 
UD III - Ass 4. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ISÓSCELES 
 
e e o = lados congruentes 
 a = base (lado diferente) 
 Ô e Ê = ângulos da base (congruentes) 
a + e + o = perímetro (2p) do triângulo 
 
 A 
O a 
e o 
E 
Ê Ô 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 69 
 
101. Construa geometricamente o triângulo isósceles MNR de lado m = 5 cm e h base n = 3,5 cm. 
102. Construa geometricamente o triângulo isósceles JKL de base k = 6,5 cm e hk = 4,2 cm. 
103. Construa geometricamente o triângulo isósceles AMU de base a = 6,5 cm e  = 75°. (arco capaz) 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 70 
 
104. Construa geometricamente o triângulo isósceles ABC de perímetro 2p = 10 cm, sabendo que a base 
b mede a metade dos lados congruentes a e c. 
105. Construa geometricamente o triângulo isósceles e acutângulo PON, sendo CN = 2,8 cm, com C o 
circuncentro e N um dos vértices do triângulo, sabendo que o lado n é congruente ao lado o e NO = 
4 cm. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 71 
 
Triângulo retângulo: possui um ângulo reto (90º) 
Lembrando => No triângulo AEO abaixo temos: 
Construa o triângulo retângulo ABC, retângulo em  (hipotenusa a e catetos b e c) sendo dados: 
106. b = 3,7 cm e c = 4,5 cm 
107. a = 6,3 cm e b = 4,6 cm. 
UD III - Ass 5. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
e e a = catetos (formam o ângulo reto) 
 o = hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) 
 Ô = ângulo reto (90º) 
a + e + o = perímetro (2p) do triângulo 
 Obs: Quando for retângulo isósceles, temos: 
 e = a e  = Ê = 45º 
 
A 
 
o 
a E O 
e 
 
Ê Ô 
 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 72 
 
108. a = 58 mm e ângulo do vértice C = 30º. 
109. b + c = 8,5 cm e b = 3c. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 73 
 
110. b = 5,5 cm e ha = 3,6 cm. 
Dica para uma solução: paralelas distantes ha, marque A qualquer, trace b, ... 
111. 2p = 120 mm e 
5
a 
= 
4
b 
= 
3
c
. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 74 
 
Classificação Principal 
característica Tipos Principal característica (exemplo) 
 
1. Genéricos 
(Trapezóides) 
Não possuem 
lados paralelos - 
 
QUADRADO 
Quatro lados congruentes; 
quatro ângulos retos; 
diagonais congruentes e 
perpendiculares. 
LOSANGO 
Quatro lados congruentes; 
ângulos opostos congruentes; 
diagonais perpendiculares. 
RETÂNGULO 
Quatro ângulos retos; 
lados opostos congruentes; 
diagonais congruentes. 
 2. Paralelogramos
Os lados 
opostos são 
paralelos 
entre si 
Obs: as dia-
gonais cru-
zam-se no 
meio - ponto 
médio. 
PARALELOGRAMO 
Lados opostos congruentes; 
ângulos opostos congruentes. 
 
ESCALENO Lados não paralelos 
não congruentes 
ISÓSCELES Lados não paralelos congruentes. 3. Trapézios 
Apenas 
dois lados 
paralelos, cha-
mados de 
base maior 
e 
base menor. RETÂNGULO Dois ângulos retos. 
 
UNIDADE DIDÁTICA IV - QUADRILÁTEROS
 
Assunto 1. Estudo geral. 
Assunto 2. Construção de quadrado. 
Assunto 3. Construção de losango. 
Assunto 4. Construção de retângulo. 
Assunto 5. Construção de paralelogramo. 
Assunto 6. Construção de trapézio. 
 
UD IV - Ass 1. ESTUDO GERAL DOS QUADRILÁTEROS 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 75 
 
Quadrilátero qualquer AEIO: 
Quadrado - é um paralelogramo eqüilátero e eqüiângulo - possui lados e ângulos congruentes. 
O quadrado é o único quadrilátero regular. Valem para o quadrado todas as propriedades dos paralelo-
gramos: ele é um retângulo e é também um losango. 
# Podemos observar no quadrado ABCD: 
• os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos 
• as diagonais são congruentes e perpendiculares entre si 
 AC = BD
 
e AC 
 
BD
 
• as diagonais são também bissetrizes dos ângulos dos vértices 
• a intersecção das diagonais se dá no ponto médio M 
• o ponto M é o centro do quadrado. 
• as alturas coincidem com os lados (medida h). 
• o raio da circunferência inscrita no quadrado é o apótema = distância de M ao ponto médio de um lado 
• o raio da circunferência circunscrita ao quadrado é a distância de M a um vértice 
- Vértices: A, E, I, O 
- Lados: AE , EI , IO e AO 
- Lados opostos: AE
 
e IO ; EI
 
e AO 
- Ângulos internos:Â, Ê, Î e Ô 
- Ângulos opostos: Â e Î; Ê e Ô 
- Soma dos ângulos internos = 360º 
- Diagonais d1 e d2: AI
 
e OE 
 
E 
O 
A 
 
Ê 
Ô 
 
 
 
I 
 
Î 
 
d1 
d2 
UD IV - Ass 2. CONSTRUÇÃO DE QUADRADO 
 
 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 76 
 
# Construa geometricamente o quadrado
 
ABCD, sendo dado: 
112. diagonal = 6,0 cm 
113. lado l = 4,0 cm 
114. apótema = OM 
 Dica: lado do quadrado = dobro do apótema (distância do centro O ponto médio M de um lado) 
 • O 
M 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 77 
 
Losango - é o paralelogramo eqüilátero: os quatro lados são congruentes. 
# Podemos observar no losango ABCD: 
• as diagonais são perpendiculares entre si e com medidas diferentes. 
São chamadas de diagonal maior e diagonal menor e se cruzam no 
ponto médio: AC
 
BD 
• as diagonais de um losango são bissetrizes dos seus ângulos internos 
• os ângulos opostos são congruentes: Aˆ Cˆ
 
e Bˆ Dˆ
 
• dois ângulos consecutivos são suplementares: Aˆ + Bˆ = 180° 
• a distância de um vértice ao lado oposto chama-se altura do losango 
( h ) 
• o triângulo BCD é isósceles (BC CD) 
# Construa geometricamente o losango
 
ABCD, sendo dados: 
115. lado = 3 cm e diagonal maior = 5 cm 
116. diagonais d1 = 5,0 cm e d2 = 7,0 cm 
UD IV - Ass 3. CONSTRUÇÃO DE LOSANGO 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 78 
 
117. Â = 60° e AB = 4,5 cm 
118. diagonal BD = 4 cm e lado = 5 cm 
119. altura h = 3,0 cm e  = 45° 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 79 
 
Retângulo - é o paralelogramo eqüiângulo: os quatros ângulos são congruentes (retos). 
# Podemos observar no retângulo ABCD: 
• as duas diagonais são congruentes e se cruzam no ponto médio: 
 AC
 
BD 
• podemos chamar BC de base e AB de altura (= CD ) 
• o retângulo possui uma circunferência circunscrita, cujo cen-
tro é o ponto M (intersecção das diagonais). Esse ponto é eqüi-
distante dos vértices do retângulo, pois é o ponto médio das dia-
gonais. O raio da circunferência é a distância de M a qualquer 
um dos vértices (Ex: AM ), e mede a metade da diagonal 
2
d 
# Construa geometricamente o retângulo
 
ABCD, sendo dados: 
120. base = 5,2 cm e altura = 3 cm 
121. diagonal = 6,2 cm e ângulo formado pelas diagonais = 45º 
 A 
 B
 
 D
 
C
 
M 
UD IV - Ass 4. CONSTRUÇÃO DE RETÂNGULO 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 80 
 
122. perímetro (2p) = 13 cm e base = dobro da altura 
123. lado AB = 6,5 cm e a diagonal BD = 7,0 cm. 
124. base = 5,5 cm e altura = 2,4 cm. Depois construa a circunferência circunscrita. 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 81 
 
Paralelogramo - é o quadrilátero de lados opostos paralelos. 
# Podemos observar no paralelogramo ABCD: 
• os lados opostos são congruentes: AB DC e 
AD BC 
• os ângulos opostos são congruentes: Aˆ Cˆ
 
e Bˆ Dˆ
 
• dois ângulos consecutivos são suplementares: Aˆ + Bˆ = 
180° 
• as diagonais cruzam-se em seus pontos médios 
• a distância de um vértice ao lado oposto ou ao prolongamento desse lado chama-se altura do paralelo-
gramo ( h ou h’ ) 
• cada uma das diagonais divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes: ABC CDA e 
ABD CDB 
# Construa geometricamente o paralelogramo
 
ABCD, sendo dados: 
125. l1 = 3,5 cm, l2 = 6,5 cm e  = 60º 
UD IV - Ass 5. CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMO 
 
 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 82 
 
126. l1 = 2,7 cm, l2 = 5,0 cm e d1 = 6,3 cm 
127. l1 = 4,7cm, l2 = 8,0 cm e altura h relativa a l2 = 3,5cm 
128. diagonal maior = 9,0 cm, diagonal menor = 6,5 cm e o ângulo formado pelas diagonais = 45° 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 83 
 
Trapézio - é todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos. 
# Podemos observar no trapézio ABCD: 
• os segmentos paralelos são chamados de: base maior 
( BC ), base menor ( AD ) e base média ( MN ) 
• lados transversais (não paralelos): AB e CD 
• diagonais: AC e DB
 
• ângulos internos: Aˆ , Bˆ , Cˆ
 
e Dˆ
 
• a distância entre a base maior ( BC ) e a base menor ( AD ) é a altura h ( AH ) do trapézio 
• os ângulos adjacentes a um lado transversal são suplementares: Aˆ + Bˆ = 180° e Cˆ
 
+ Dˆ = 180° 
• a base média do trapézio é um segmento paralelo às bases maior e menor, e suas extremidades são os 
pontos médios dos lados transversais 
• a medida da base média é a média aritmética das bases menor e maior: MN = 
2
BC+AD 
Classificação dos trapézios e suas principais características 
1. Trapézio escaleno - possui os lados transversais não congruentes. 
2. Trapézio isósceles - possui os lados transversais, os ângulos das bases e as diagonais congruentes. 
3. Trapézio retângulo - possui um dos lados transversais perpendicular às bases, formando dois ângulos 
retos. 
UD IV - Ass 6. CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIO 
 
 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 84 
 
# Construa geometricamente o trapézio ABCD, sendo dados: 
129. base menor = 4 cm, lado1 = 6 cm, lado2 = 5 cm e altura h = 3,5 cm. Apresente uma solução. 
Passos: 
1. construa duas paralelas distantes 3,5 cm (h) 
2. na superior trace b (AB) 
3. de A trace l1 determinando D na outra paralela (D’) 
4. de B trace l2, determinando C na outra paralela (C’) 
5. reforce a solução 
130. Base maior CD = 85 mm, lado AD
 
= 50 mm, base menor AB = 40 mm e a = 30º (ângulo for-
mado pela diagonal CA com CD ). Apresente somente uma solução. 
Passos: 
1. numa reta suporte qualquer trace CD 
2. em C construa ângulo 30° (suporte da diagonal AC) 
3. de D trace AD determinando A ou A’ na diagonal 
4. por A construa uma paralela a CD 
5. de A trace AB, determinando B 
6. reforce a solução 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 85 
 
131. base maior AB = 6 cm, base menor CD = 3 cm, lado AD
 
= 5,9 cm e altura h = 5 cm 
Passos: 
1. construa duas paralelas distantes 5 cm (h) 
2. na inferior trace AB 
3. de A trace AD determinando D ou D’ na outra paralela (uma solução) 
4. de D trace CD, determinando C 
5. reforce a solução 
132. bases AB = 10,6 cm e CD = 4,8 cm, altura h = 5,9 cm e  = 45° 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 86 
 
# Construa geometricamente o trapézio isósceles
 
ABCD, sendo dados: 
133. base maior AB
 
= 6,0 cm, lado BC = 4,0 cm e  = 75° 
 Dica: Bˆ = Â e AD = BC 
134. base menor BC = 6,0 cm, lado AB
 
 = 4,0 cm e altura h = 3,0 cm 
 Dica: similar ao 129 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma:_______Pág. 87 
 
135. base maior BC = 8,5 cm, base menor AD
 
 = 4,3 cm e altura h = 4,2 cm 
 Dica: os pontos médios das duas bases pertencem à mesma mediatriz, onde você pode marcar h 
136. Construa geometricamente o trapézio retângulo
 
ABCD, sendo dados: base maior AB
 
= 7,5 cm, 
altura h = 5,6 cm e base menor CD = 4,8 cm 
 Dica: dois ângulos retos 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 88 
 
Elementos da circunferência: 
• Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência. 
• Arco - é um pedaço da curva da circunferência. 
• Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer 
dois pontos da circunferência. 
• Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio. 
• Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente. 
• Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). 
A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda. 
• Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência). 
• Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro. 
• Notação: C ( O ; r ) - circunferência de centro no ponto O e raio de medida r. 
• Círculo - é a porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo é, portanto, uma superfície. Daí 
afirmar-se que a circunferência é o contorno do círculo. 
O - centro da circunferência. 
DT
 
= diâmetro 
OA = OD = OT = raio 
DGE = um arco da circunferência 
DE
 
= uma corda da circunferência, correspondente ao ar-
co DGE 
FG = flecha do arco DGE 
reta s = secante 
H e I = pontos de secância 
HI
 
= corda determinada pela secante s 
reta t = tangente 
T = ponto de tangência 
UNIDADE DIDÁTICA V - CIRCUNFERÊNCIAS 
Assunto 1. Circunferência: estudo geral e determinação. 
Assunto 2. Divisão de circunferências. 
 
UD V - Ass 1. CIRCUNFERÊNCIA: estudo geral e determinação. 
 
• 
O 
H 
 I 
 D 
 s 
 T
 
 A 
 E 
F 
 G 
 t 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 89 
 
138. Construa geometricamente uma circunferência de centro em O e raio r = 4,3cm. 
139. Construa geometricamente UMA circunferência de raio = 3,7 cm que passa pelos dois pontos F e 
G dados. 
O . 
F • 
• 
G 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 90 
 
PROPRIEDADES DA CIRCUNFERÊNCIA 
140. Na circunferência ao lado: 
- marque dois pontos A e B e trace a corda AB; 
- trace a mediatriz m dessa corda, determinando o ponto médio M de AB; 
- nomeie C e D os pontos comuns da circunferência e da mediatriz. 
 
O centro O pertence à reta mediatriz m. Então CD é um diâmetro da circunferência. 
 
O ponto C é ponto médio do arco ACB: AC BC 
 
O ponto D é ponto médio do arco ADB: AD BD
 
Baseado nas informações acima, complete a importante propriedade da circunferência: 
141. Dada uma circunferência e três pontos P, R e S, determine geometricamente o centro O da circunfe-
rência. 
 
- Trace as mediatrizes de PR e de SR. Essas mediatrizes cruzam-se em apenas UM PONTO, eqüidistante 
dos pontos P, R e S. Então podemos concluir que esse ponto é o CENTRO da circunferência. 
Baseado no exercício acima, complete esta outra importante propriedade da circunferência: 
•o 
 P. . R 
. 
S 
 
“A ______________________ de uma corda passa pelo ________________ da circunferência 
e pelos ________________________________________ dos arcos determinados pela corda” 
 
“As __________________ de duas cordas não paralelas determinam o ____________ de uma 
circunferência. Por três pontos não colineares podemos traçar uma única ____________________” 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 91 
 
142. Determine geometricamente o centro O e construa a circunferência que passa pelos três pontos da-
dos P, T e U, não colineares. 
143. Construa geometricamente um diâmetro qualquer PC na circunferência dada, de centro desconheci-
do. 
P • 
T 
• 
• 
U 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 92 
 
# construção de polígonos regulares inscritos # 
polígono regular inscrito: polígono cujos lados são congruentes e cujos vértices pertencem à circunfe-
rência circunscrita. 
1. DIVISÕES EXATAS: 3, 4, 6 e 8 partes 
144. Divida geometricamente a circunferência dada em 3 partes iguais. 
 
 
Passos: 
1. trace um diâmetro AB qualquer 
2. centro em B abertura BO, trace um arco determinando C e D 
3. AC = AD = CD = l3 
145. Divida geometricamente as circunferências dadas em 3 partes iguais
 
e inscreva o triângulo eqüiláte-
ro. 
UD V - Ass 2. DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS 
 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 93 
 
146. Divida geometricamente a circunferência dada em 4 partes iguais. 
Passos: 
1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, determinando os pontos A, B, C e D 
2. AB = BC = CD = DA = l4 
147. Divida geometricamente as circunferências dadas em 4 partes iguais e inscreva o quadrado. 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 94 
 
148. Divida geometricamente a circunferência dada em 6 partes iguais. 
Passos: 
1. a partir de um ponto A (qualquer) da circunferência, abertura igual ao 
raio, marque os pontos B, C, D, E e F 
2. r = l6 
149. Divida geometricamente as circunferências dadas em 6 partes iguais e inscreva o hexágono regular. 
 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 95 
 
150. Divida geometricamente a circunferência dada em 8 partes iguais. 
Dica: divida em 4 partes e trace as bissetrizes dos ângulos retos 
151. Divida geometricamente as circunferências dadas em 8 partes iguais e inscreva o octógono regular. 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
• 
O 
 
.O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 96 
 
2. DIVISÕES APROXIMADAS: 5, 7, 9 e 10 partes 
152. Divida geometricamente a circunferência dada em 5 partes iguais. 
Passos: 
1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, obtendo o ponto X 
2. determine o ponto médio M de OX 
3. centro em M, raio MB, trace um arco, determinando N 
4. BN = l5 (aproximado) 
153. Divida geometricamente as circunferências dadas em 5 partes iguais e inscreva o pentágono regular. 
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O 
 
.O 
 
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O 
 
.O 
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O 
 
.O 
 
Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 97 
 
154. Divida geometricamente