Matemática - Livro 1-325-327

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F
R
E
N
T
E
 3
325
31 Fuvest 2011 As circunferências C1 e C2 estão centradas
em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e
tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente
a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e intercepta
a reta O1O2 no ponto Q. Sendo assim, determine:
a) o comprimento P1P2.
) a área do quadrilátero O1O2 P2P1.
c) a área do triângulo QO2P2.
32 Na figura a seguir, os ângulos CAE , ADE e ABD são
retos. O ângulo AED mede 30° e AC = x
A
B
C D
30º
E
Escreva em função de x as medidas dos seguintes
segmentos:
a) CE
) CD
c) BD
33 No muro do quintal de uma casa foi desenhado um
triângulo de lados 15 cm, 20 cm e 25 cm, como mostra
a figura
A
B
M
H
N
C
15 cm
20 cm
25 cm
Uma formiga parte do vértice A do triângulo e segue
pelo lado AB até seu ponto médio M. Depois disso,
ela atravessa a base média MN do triângulo ABC e,
ao chegar ao ponto N, segue sobre o lado AC até
chegar ao vértice C. Então, nalmente, ela percorre
parte do lado horizontal BC do triângulo até chegar a
um pequeno orifício situado no ponto H, bem abaixo
do vértice A do triângulo.
Se os pontos A e H determinam uma reta vertical, en-
tão o comprimento total da trajetória percorrida por
essa formiga é de:
A 30 cm.
b 36 cm.
C 40 cm.
d 46 cm.
E 56 cm.

34 Um tapete retangular comemorativo da Copa do
Mundo de 2014 contém um desenho que imita a ban-
deira brasileira. Nesse desenho, há um losango com
os vértices sobre os pontos médios dos lados do ta-
pete e um círculo que é tangente aos quatro lados
desse losango.
Se as dimensões do tapete retangular são de 3 m por
4 m, determine a medida do raio do círculo inscrito no
losango
35 EsPCEx 2017 Na figura, o raio da circunferência de
centro O é
25
2
cm e a corda MP mede 10 cm.
P
Q O
NM
A medida, em centímetros, do segmento PQ é:
A
25
2
b 10
C 5 21
d 21
E 2 21
36 Fuvest 2015 Na figura a seguir, a circunferência de cen-
tro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo
ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E.
Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo
ACO é reto. Determine, em função de r:
C
O
D
BA E
a) a medida do lado AB do triângulo ABC.
) a medida do segmento CO
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas326
37 ITA 2015 Seja ABCD um trapézio isósceles com a base
maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo
ADB reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em
que as diagonais se cortam é:
A
21
8
b
27
8
C
35
8
d
37
8
E
45
8
38 ITA 2014 Considere o trapézio ABCD de bases AB e CD
Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e
BD , respecti vamente Então, se AB tem comprimento
x e CD tem comprimento y < x, o comprimento de MN
é igual a:
A x y
b
1
2
x y−( )
C
1
3
x y−( )
d
1
3
x y+( )
E
1
4
x y+( )
39 FGV 2014
a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade
de cruzá-lo, foram feitas várias medições, como
mostra a figura a seguir. Calcule a largura x do rio.
C
A
x
24 m
2,5 m
2 m
E
D
B
) Demonstre que a distância do vértice B ao bari-
centro M de um triângulo é o dobro da distância
do ponto E ao baricentro M.
A
M
E
C
D
B
40 Determine o comprimento da diagonal de um pentá
gono regular de lado l cm.
4
CAPÍTULO Teorema dos senos e dos cossenos
Devido à sua enorme importância para a arquitetura e a construção civil, entre outras
áreas da tecnologia, as razões de semelhança existentes entre cada par de triângulos
retângulos se mostraram insucientes em estabelecer uma forma prática e padronizada
para os cálculos de comprimentos nessas guras. Assim, as razões de semelhança –
que resultam do quociente entre medidas de elementos de guras diferentes – foram
substituídas pelas razões trigonométricas que provêm do quociente entre os compri-
mentos dos lados de uma mesma gura.
Acontece que, depois de estabelecido o padrão de cálculo regido pelas tabelas de
senos e cossenos, alguns geômetras procuraram estender sua aplicação a todos os
triângulos, mesmo os não retângulos.
FRENTE 3
F
a
c
to
ry
T
h
/
iS
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m