Resolução Algebra

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Álgebra Linear
2ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dadas 
	
	1
	-3
	2
	
	
	1
	4
	1
	0
	
	
	2
	1
	-1
	- 2
	A=
	2
	1
	-3
	
	B=
	2
	1
	1
	1
	
	C=
	3
	-2
	-1
	-1
	
	4
	-3
	-1
	
	
	1
	-2
	1
	2
	
	
	2
	-5
	-1
	0
Mostre que AB = AC.
	AB=
	-3
	-3
	0
	1
	
	AC=
	-3
	-3
	0
	1
	
	1
	15
	0
	-5
	
	
	1
	15
	0
	-5
	
	-3
	15
	0
	-5
	
	
	-3
	15
	0
	-5
2. Explique por que, em geral, 
 e 
Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade na operação de multiplicação. Não podemos confundir a operação de multiplicação nos números reais, onde ab = ba. E no caso dos produtos notáveis, temos (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba = 2ab. Na multiplicação de matrizes, A.B e B.A pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode não ser zero.
3. Dadas
	
	2
	-3
	-5
	
	
	-1
	3
	5
	
	
	2
	-2
	-4
	A=
	-1
	4
	5
	
	B=
	1
	-3
	-5
	
	C=
	-1
	3
	4
	
	1
	-3
	-4
	
	
	-1
	3
	5
	
	
	1
	-2
	-3
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
	AB=
	0
	0
	0
	
	BA= 
	 0
	 0
	0
	
	AC=
	 2
	-3
	-5
	
	CA=
	2
	-2
	-4
	
	0
	0
	0
	
	
	 0
	 0
	0
	
	
	 -1
	4
	5
	
	
	-1
	3
	4
	
	0
	0
	0
	
	
	 0
	 0
	0
	
	
	 1
	-3
	-4
	
	
	1
	-2
	-3
b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2.
Solução. 
i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0.
ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2.
iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.
4. Se , ache B tal que B2 = A.
Solução. A matriz B é da forma: 
	B=
	a
	b
	
	B2 =
	a
	b
	x
	a
	b
	=
	a2+ bc
	ab + bd
	
	c
	d
	
	
	c
	d
	
	c
	d
	
	ac + cd
	bc + d2
Igualando os termos com a matriz A, temos:
a2 + bc = 3 (*)
bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d. 
Observamos ainda que:
ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd = -2 ou bd = -1 implicando que b = (-1/d)
ac + cd = -4 Substituindo a = d, temos 2cd = -4ou cd = -2 implicando que c = 2b.
Substituindo em (*), temos: d2 + b(2b) = 3 ou d2 + 2b2 = 3 ou ainda, d2 + 2(1/d2) = 3. Multiplicando todos os termos por d2, temos:
d4 + 2 = 3d2. Substituindo o termo d2 = y, temos a solução de uma equação biquadrada.
y2 – 3y + 2 = 0, onde pela fatoração temos y = 1 ou y = 2. Ou seja, d = + 
 ou d = + 1.
Possíveis matrizes:
i) Se d = +
, a = 
, b = -1/
 e c = -2/
	B=
	
	-1/
	
	-2/
	
ii) Se d = -
, a = -
, b = 1/
 e c = 2/
	B=
	 -
	1/
	
	2/
	-
iii) Se d = -1, a = -1, b = -1/-1 e c = -2/-1
	B=
	-1
	1
	
	2
	-1
iv) Se d = 1, a = 1, b = -1/1 e c = -2/1
	B=
	1
	-1
	
	-2
	1
04. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: 
	   
	Camisa A
	Camisa B
	Camisa C
	Botões p
	3
	1
	3
	Botões G
	6
	5
	5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: 
	   
	Maio
	Junho
	Camisa A
	100
	50
	Camisa B
	50
	100
	Camisa C
	50
	50
  
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. 
  
SOLUÇÃO: O problema se resume na multiplicação das matrizes:
 X = 
	 
	Maio
	Junho
	Botões p
	500
	400
	Botões G
	1100
	1050
  
05. Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C.
 
Cada elemento é calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos:
A X B= X 
SOLUÇÃO: c23 = 2x3 + 4x6 + 6x9 = 6 + 24 + 54 = 84. 
6. Sejam
	
	
	
	
	A=
	1
	2
	3
	
	B=
	-2
	0
	1
	
	C=
	-1
	
	D=
	
	
	
	2
	-1
	1
	
	
	3
	0
	1
	
	
	2
	
	
	2
	-1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
a) 
	A+B=
	-1
	2
	4
	
	5
	-1
	2
b)
	AC=
	15
	
	0
c)
	BC=
	6
	
	1
d) 
	CD=
	
-2
	
1
	
	4
	-2
	
	8
	-4
e) 
	DA=
	0
	5
	5
f) 
	DB=
	-7
	0
	1
g) h) 
	3A=
	3
	6
	9
	
	- D=
	-2
	1
	
	6
	-3
	3
	
	
	
	
i) 
	D(2A+3B)=
	
2
	
-1
	
	2
	4
	6
	
	-6
	0
	
3
	
	
	
	
	4
	-2
	2
	+
	9
	0
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	= - 21 10 13
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
7. Seja A= 2 x2 . Se A = At encontre o valor de x.
 2x-1 0
Solução. Se A = At (matriz transposta), então: 
 
Duas matrizes são iguais, se cada elemento de Aij é igual a cada elemento de Atij. Logo, basta resolver a equação x2 = 2x – 1. Utilizando a fatoração, temos: x2 -2x +1 = 0 pode ser escrito como (x-1)2 = 0. A solução é a raiz dupla x=1.
8. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira.
a) (-A)t = - (At). Verdadeira. Basta observar que a matriz está somente multiplicada por (-1).
b) (A+B)t = Bt + At. Verdadeira. Observe que vale At + Bt, pois a adição entre matrizes é comutativa. 
c) (-A)(-B) = - (AB) Falso. Mesmo considerando as possibilidades de o produto existir, isto é, número de linhas de A ser igual ao número de colunas de B, o resultado do produto indicado é positivo: (AB).
EXEMPLO
. 
	
	1
	2
	3
	
	
	-2
	0
	1
	
	
	
	
	
	A=
	2
	-1
	1
	
	B=
	3
	0
	1
	
	
	
	
	
	
	5
	8
	2
	
	
	4
	2
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-1
	-2
	-3
	
	
	2
	0
	-1
	
	
	
	
	
	- A=
	-2
	1
	-1
	
	- B=
	-3
	0
	-1
	
	
	
	
	
	
	-5
	-8
	-2
	
	
	-4
	-2
	-1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(- A)(- B)=
	16
	6
	6
	
	(AB)=
	16
	6
	6
	
	- (AB)=
	-16
	-6
	-6
	
	-3
	2
	2
	
	
	-3
	2
	2
	
	
	3
	-2
	-2
	
	22
	4
	15
	
	
	22
	4
	15
	
	
	-22
	-4
	-15
d) Se A e B = AT são matrizes quadradas, então AB = BA. Falso. Matrizes transpostas podem comutar sob certas condições, mas não são todas. Veja o exemplo. 
	
	1
	2
	3
	
	
	1
	2
	5
	A=
	2
	-1
	1
	
	B = At=
	2
	-1
	8
	
	5
	8
	2
	
	
	3
	1
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(AB)
	14
	3
	27
	
	(BA)
	30
	40
	15
	
	3
	6
	4
	
	
	40
	69
	21
	
	27
	4
	93
	
	
	15
	21
	14
e) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Verdadeiro. Observe que pela condição da existência do produto (número de linhas da primeira matriz ser igual ao número de colunas da segunda matriz), sendo as matrizes iguais, não poderia haver matriz onde seu número de linhas fosse diferente do de colunas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Dadas as matrizes 
 e 
 
 Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.
2) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes A e B.
 
 e 
3) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes A e B sejam iguais
 
 e 
4) Determine a matriz oposta da matriz identidade de 4ª ordem.
5) Verifique se a matrizA é oposta à matriz B.
 e 
6) Seja 
 e 
 calcule o valor de k.
7) Seja 
 e 
 existe k tal que P = kN? Justifique a sua resposta.
8) Sendo 
, 
 e 
 
 Resolva as equações matriciais abaixo, determinando o valor da matriz X.
X + A = 2B – C.
X – C = 2A + 3B.
X + 2B = 3A – C.
9) Sendo 
 e 
	a) Calcule AB b) Calcule BA c) Calcule A2 d) Calcule B2
10) Calcule x; y e z em cada um dos produtos de matrizes dados:
	a) 
 b) 
11) Seja dada a equação matricial:
	
 .
Identifique o tipo da matriz X.
Determine a matriz X.
12) Determine o produto da matriz pela matriz transposta em cada um dos itens abaixo.
	a) 
 b) 
13) Determine as inversas das matrizes:
	a) 
 b) 
 c) 
 d) 
14) Dadas as matrizes:
	 
; 
 e 
Se for possível, atribua valores numéricos para a e para b da matriz B para que A-1 = B. Justifique sua resposta.
Se for possível, atribua valores numéricos para b e para d da matriz C para que A-1 = C. Justifique sua resposta.
15) Dadas as matrizes: 
 e 
 determine a matriz X tal que X = A-1.B.
16) Verifique se existe o valor numérico para m da matriz 	
, para que ela seja a matriz inversa de 
. Justifique sua resposta.
Resoluções dos exercícios propostos
	1) y =3, x = 7 ou x = -7.
2) x = 1/3.
3) x = -1, y = 2 e z = 1.
4) 
5) 
 e 
A matriz A é oposta à B e a matriz B é oposta à A
6) k = 3
7) Não existe k nas condições pedidas, pois 10 = 2k, logo k = 5, substituindo verificamos que 
8) a) 
 b) 
 c) 
9) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
10) a) x = -3, y = 2 e z = 1.
 b) x = -
, y = -1 e z = 31.
11) a) X é uma matriz quadrada de 2ª ordem.
 b) 
	12) a) 
 b) 
13) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
14) a) a = 
 e b = 
 
 b) Não podemos determinar b e d.
15) 
16) m = 8, logo, não existe valor de m na matriz M tal que ele seja a inversa de N.
Repara que AB = AC não implica em B = C.
Verificando a condição de a = - d, que se ab + bd = -2 isso implicaria que –db + db = 0 = -2. Impossível. Logo só há a opção a = d.
500�
400�
�
1100�
1050�
�
100�
50�
�
50�
100�
�
50�
50�
�
3�
1�
3�
�
6�
5�
5�
�
1�
2�
3�
4�
�
2�
4�
6�
8�
�
3�
6�
9�
12�
�
1�
2�
3�
�
2�
4�
6�
�
3�
6�
9�
�
4�
8�
12�
�
Não é necessário encontrar todos os resultados. Basta procurar o elemento c23 da matriz C que é calculado pela operação da 2ª linha de A com a 3ª coluna de B.
Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz.
Processo de multiplicar linha de A pela coluna de C. Repare que A2x3, C3x1, logo AC2x1. 
Processo de multiplicar linha de B pela coluna de C. Repare que B2x3, C3x1, logo BC2x1. 
Processo de multiplicar linha de C pela coluna de D. Repare que C3x1, D1x2, logo CD3x2. 
Processo de multiplicar linha de D pela coluna de A. Repare que D1x2, A2x3, logo DA1x3.
Processo de multiplicar linha de D pela coluna de B. Repare que D1x2, B2x3, logo DB1x3. 
Basta multiplicar cada elemento pelo número que multiplica a matriz. Nos casos, 3 e (-1). 
Aplicação da multiplicação de matriz por número e depois produtos de matrizes. 
Observe que para haver comutatividade entre as matrizes transpostas é necessário que sejam quadradas, mas não é suficiente. Caso sejam simétricas, sempre comutam. E vice-versa.
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