Sistemas de equacoes do 1º Grau Lista 2 (1)

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU
Existem vários métodos de resolução entre os quais:
1) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra
EXEMPLO 1
Seja o sistema
X + Y = 5
X - Y = 1
Da primeira equação podemos tirar que:
x + y = 5 sendo assim passando o y para o outro lado do sinal de igual e invertendo os sinais fica: x= 5-y
já que x vale ou é igual (5 -y) substituindo o valor de x na outra equação do sitema temos :
X – y = 1
(5 –y) – y = 1
-y –y = 1 -5
-2y= -4
y = -4 / -2
y= 2
Substituindo y por 2 em x = 5 – y
____________________x = 5 -2
____________________x = 3
portando o resultando do sistema é ( 3,2)
EXEMPLO 2
Seja o sistema
X – 2y = 3
2x – 3y = 5
Sendo assim da primeira equação tiramos
X – 2y = 3 __________ x = 3 + 2y
Substituindo o valor de x na segunda equação :
2x – 3y = 5
2(3 + 2Y) – 3y = 5
6 + 4y – 3y = 5
4y – 3y = 5 – 6
y = -1
Substituindo y por -1 em :
x = 3 + 2y
x = 3 + 2 (-1)
x = 3 – 2
x = 1
logo a solução é ( 1 , -1)
2) MÉTODO DA ADIÇÃO
Este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. É necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos .
EXEMPLO 1
Seja o sistema
X + y = 5
x – y = 1
Somando-se membro a membro as duas equações:
x + y = 5
x – y = 1
-----------
2x = 6
x= 6/2
x= 3
Substituindo esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo na primeira)
x + y = 5
3 + y = 5
y= 5 – 3
y = 2
logo a solução é : (3,2)
EXEMPLO 2
Seja o sistema
4x - y = 2
3x + 2y = 7
Neste caso, não temos coeficientes simétricos. Vamos então multiplicar todos os termos da primeira equação por 2:
8x - 2y = 4
3x + 2y = 7
-----------
11x = 11
x = 11/11
x = 1
Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas (por exemplo, na segunda):
3x + 2y =7
3.1 + 2y + 7
3 + 2y = 7
2y = 7-3
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Solução (1,2)
EXEMPLO 3
Seja o sistema
4x + 2y = 16
5x - 3y = 9
4X + 2Y = 16 ( vamos multiplicar essa equação por 3)
5x – 3y = 9 ( vamos multiplicar essa equação por 2)
Observe
Somando membro a membro as equaçãos
12x + 6y = 48
10x - 6y = 18
----------------
22x = 66
x= 66/22
x = 3
Substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo, na primeira)
4x + 2y = 16
4.3 + 2.y= 16
12 + 2y = 16
2y = 16 – 12
2y = 4
y = 4/2
y = 2
solução (3,2)
EXERCICIOS
A) Calcule os sistemas
1) x - 3y = 1
_2x +5y = 13________ (R:4,1)
2) 2x + y = 10
__x + 3y = 15________ (R:3,4)
3) 3x + y = 13
__2x - y = 12________ (R:5,-2)
4) 2x + 7y = 17
__5x - y = -13________ (R:-2,3)
5) 2x + y = 4
__4x - 3y = 3________ (R:3/2,5)
6) x + y = 2
_3x + 2y = 6________ (R:2,0)
7) x/2 + y/3 = 3
____x - y = 1________ (R:4,3)
8) x - y =5
__x +y = 7________ (R:6,1)
9) x - y =2
_2x +y = 4________ (R:2,0)
10) x + y =3
__2x +3y = 8________ (R:1,2)
11) x - 3 = 0
__2x - y = 1________ (R:3,5)
12) 3x + y =5
___2x +y = 4________ (R:1,2)
13) x = y - 2
__2x +y = -1________ (R:-1,1)
14) x - y -2 = 0
__2x +y – 7= 0________ (R:3,1)
15) x + y = 7
___x -y = 1________ (R:4,3)
16) x + y = 6
___2x +y = 4________ (R:-2,8)
17) 2x + y = 5
___x + 2y = 4________ (R:2,1)
18 ) x + y = 11
___x - y = 3________ (R:7,4)
19) x - y = 16
___x +y = 74________ (R:45,29)
20) x - y = 1
___x +y = 9________ (R:5,4)
21) 2x - y = 20
___2x +y = 48________ (R:17,14)
22) x + y = 1
___x - y = 7__________ (R:4, -3)
23) x + y = 3
___x - y = -5_________ (R:-1,4)
24) x + y = 5
___x- y = -5_________ (R: 0,5)
25) Se x e y é a solução do sistema
x + y = 4
x+ 2y = 6
então x - y é:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 0 (X)
26) Se x e y é a solução do sistema
a + b = 3
2a+ b = 5
então a - b é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 3
e) 1 (X)
27) Qual a solução do sistema de equações abaixo?
x – y = 3
2x + y = 9
a)(1,0)
b)(2,3)
c)(3,2)
d)(4,1) (X)
e)(5,3)
28) A solução do sistema
2x + y = 10
x + 3y = 15 é
a) x=3 e y=4 (X)
b) x=3 e y=5
c) x=2 e y=4
d) x=1 e y=5
e) x=5 e y=3
29) Se x e y é a solução do sistema
x + 3y = 9
3x+ 2y = 6
então x - y é:
a) 0 (X)
b) 3
c) 6
d) 9
B) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM SISTEMAS
1) Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7 (R:25,18)
2) Um marceneiro recebeu 74 tabuas de compensado. Algumas com 6 mm de espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas atingiram uma altura de 50 cm. Quanta tabua de 8mm ele recebeu? (R: 28)
3) Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos e 150 rodas. Calcule o numero de carros e de motocicletas estacionadas. (R:32,11)
4) Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou um prova com 50 perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou? (R: 36)
5) Pedro e Paulo tem juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Paulo eles ficarão com quantias iguais. Quanto cada um deles tem? (R: 45,36)
6) Descubra dois números inteiros que somados dão 88, sabendo que um é igual ao triplo do outro (R:66,22)
7) Num quintal há 100 animais entre galinhas e coelhos. Sabedo que o total de pés é 320, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal? (R 40,60)
8) Num estacionamento há 80 veiculos, entre motos e carros. Se o total de rodas é 190, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? ( R:65,15)
9) Um teste é composto de 40 questões. Para cada questão respondida certa são atribuidos três pontos (+3) Para cada questão respondida errada são descontados dois pontos (-2) Ilda respondeu a todas as questões desse teste e fez um total de 75 pontos .quantas questões foram respondidas certas? ( R: 31)
10) Um caminhão carrega 5000 pacotes de açucar de 2 kg e de 5 kg num total de 15 400 kg. Quantos pacotes de 2 kg e 5 kg esse caminhão está transportando ? (R: 3200,1800)
11) Ache dois números que a soma deles é 354 e a diferença entre eles é 128. ( R: 241,113)
SISTEMAS SIMPLES DO 2° GRAU
Vamos resolver sistemas que possuem uma equação do 1° grau e outra do 2° grau polo método da substituição .
Exemplo
a)x - y = 1
__x . y = 6
Isolando x na equação x - y = 1, temos x = 1 + y
substituindo esse valor de x em x .y = 6 , obtemos,
(1+ y) .y = 6
y + y² = 6
y² + y - 6 = 0
resolvendo essa equação do 2° grau temos:
solução ( 2 e -3)
b) x + y = 7
___x². y² = 25
Isolando x na equação x + y = 7, temos x = 7 - y
substituindo esse valor de x em x². y² = 25, obtemos
(7 - y)² + y² = 25
49 - 14y + y² + y² = 25
2y² - 14y + 49 - 25 = 0
2y² - 14y + 24 = 0
resolvendo essa equação do 2° grau temos:
solução [(3 e 4) e (4 e 3)]
Exercícios
1)x + y = 7______ (R:2,5 ou 5,2)
__x .y = 10
2)x + y = 5______ (R:2,3 ou 3,2)
__x .y = 6
3) x - y = 9______ (R:2,-7 ou -7,2)
__x .y = -14
4) x - y = 3______ (R:6,3 ou -3,-6)
__x²+ y² = 45
5) x - y = 1______ (R: 4,3 ou -3,-4)
__x²+ y² = 25
b) x - y = 0______ (R: 2,2 ou -2,-2)
__5x²- y² = 16