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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2014 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: ATENC¸A˜O! • Identifique a prova, colocando nome, matr´ıcula, polo e data. • E´ permitido o uso de calculadoras. • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis, mas as • Devolva a folha de respostas ao responsa´vel. respostas devera˜o estar a caneta. • E´ proibido o uso de corretivo nas resposas. Questa˜o 1 [2,5 pts] Deseja-se realizar uma pesquisa no campus de uma grande universidade com o objetivo de se estimar a proporc¸a˜o p de alunos que possuem laptop. (a) [1,0 pt] Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p. Qual e´ o tamanho amostral necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,04, com n´ıvel de confianc¸a de 95%? (b) [0,5 pt] Se for utilizada uma amostra aleato´ria de 750 alunos, a margem de erro sera´ maior ou menor que 0,04, mantidas as demais condic¸o˜es do item anterior? Responda sem fazer qualquer ca´lculo adicional . (c) [1,0 pt] Em uma amostra aleato´ria de 1000 alunos, 416 informaram possuir laptop. Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o populacional de todos os alunos desse campus que possuem laptop. Soluc¸a˜o (a) 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96 � = 0, 04 = 1, 96× √ 0, 5× 0, 5 n ⇒ √n = 1, 96 0, 04 × 0, 5⇒ n = 600, 25 (b) Como 750 > 600, 25, a margem de erro sera´ menor. (c) p̂ = 416 1000 = 0, 416 � = 1, 96× √ 0, 416× 0, 584 1000 = 0, 03055 IC: (0, 416− 0, 03055; 0, 416 + 0, 03055) = (0, 38545; 0, 44655) Questa˜o 2 [1,0 pt] Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizar o paraˆmetro apropriado. (a) O peso me´dio deve ser, no ma´ximo, 300 g. (b) A idade me´dia tem que ser pelo menos 30 anos. (c) A proporc¸a˜o de itens defeituosos tem que ser menor que 1%. (d) O nu´mero me´dio de alunos tem que ser 30. Soluc¸a˜o (a) afirmativa dada: µ ≤ 300 H0 : µ = 300 complementar: µ > 300 H1 : µ > 300 (b) afirmativa dada: µ ≥ 30 H0 : µ = 30 complementar: µ < 30 H1 : µ < 30 (c) afirmativa dada: p < 0, 01 H0 : p = 0, 01 complementar: p ≥ 0, 01 H1 : p < 0, 01 (d) afirmativa dada: µ = 30 H0 : µ = 30 complementar: µ 6= 30 H1 : µ 6= 30 Questa˜o 3 [1,0 pt] Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia, determine se a hipo´tese nula deve ser rejeitada, ou na˜o. (a) P = 0, 0043 α = 0, 01 (b) P = 0, 0670 α = 0, 05 (c) P = 0, 1590 α = 0, 05 (d) P = 0, 0150 α = 0, 025 Soluc¸a˜o (a) P < α⇒ rejeita-se H0. (b) P > α⇒ na˜o se rejeita H0. (c) P > α⇒ na˜o se rejeita H0. (d) P < α⇒ rejeita-se H0. Questa˜o 4 [1,0 pt] Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de Student determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas: (a) P(t(12) > t) = 0, 99 Sol: t = −2, 681 (b) P(t(19) > t) = 0, 05 Sol: t = 1, 729 (c) P(|t(16)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 235 (d) P(|t(8)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 108 Questa˜o 5 [2,0 pts] Para cada uma das situac¸o˜es a seguir, especifique a estat´ıstica de teste e a regia˜o cr´ıtica para o teste das hipo´teses dadas sobre a me´dia de uma populac¸a˜o normal: (a) H0 : µ = 40 n = 10 σ = 3, 6 α = 0, 05 H1 : µ 6= 40 Curso de Administrac¸a˜o 2 (b) H0 : µ = 15 n = 18 s = 2, 3 α = 0, 01 H1 : µ < 15 (c) H0 : µ = 6 n = 67 s = 1, 1 α = 0, 10 H1 : µ > 6 (d) H0 : µ = 100 n = 16 s = 14, 2 α = 0, 10 H1 : µ > 100 Soluc¸a˜o (a) Z = √ 10 X − 40 3, 6 ∼ N(0, 1) RC : |Z| > 1, 96 (b) T = √ 18 X − 15 2, 3 ∼ t(17) RC : T < −2, 567 (c) T = √ 67 X − 6 1, 1 ∼ t(66) ≈ N(0, 1) RC : |Z| > 1, 28 (d) T = √ 16 X − 100 14, 2 ∼ t(15) RC : T > 1, 341 Questa˜o 6 [2,5 pts] Uma empresa de cosme´ticos alega que a quantidade de algas marinhas especiais contidas em frascos de 400g e´, no mı´nimo, 58 g. Uma amostra de 23 frascos acusou uma me´dia x = 52 e desvio-padra˜o s = 18. (a) [1,5 pts] Ha´ alguma evideˆncia para se refutar a afirmativa da empresa? Justifique sua resposta, realizando um teste de hipo´tese apropriado com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%. Certifique-se de especificar claramente as hipo´teses nula e alternativa, a estat´ıstica de teste e a regia˜o cr´ıtica, bem como a sua conclusa˜o em linguagem na˜o te´cnica. (b) [0,5 pt] Ache limites para o valor P associado a esse teste de hipo´tese. (c) [0,5 pt] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a verdadeira quantidade de algas marinhas especiais contida em frascos de 400 g dessa empesa. Soluc¸a˜o (a) afirmativa dada: µ ≥ 58 H0 : µ = 58 complementar: µ < 58 H1 : µ < 58 T0 = √ 23× X − 58 18 ∼ t(22) RC : T0 < −2, 074 t0 = √ 23× 52− 58 18 = −0, 33 Como t0 ≮ −2, 074, na˜o se rejeita H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a afirmativa da empresa seja correta. Curso de Administrac¸a˜o 3 (b) Vamos utilizar a simetria da distribuic¸a˜o t. Na tabela, na linha correspondente a 22 graus de liberdade, vemos que o valor observado de −t0 = 0, 33 e´ menor que a menor abscissa apresentada, que e´ 1,061, correspondente a p = 0, 15. Assim, podemos dizer que P > 0, 15. ( O valor exato e´ P = 0, 3723.) (c) IC: ( 52− 2, 074× 18√ 23 ; 52 + 2, 074× 18√ 23 ) = (44, 216; 59, 784) Note que o intervalo de confianc¸a conte´m o valor 58! Curso de Administrac¸a˜o 4
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