Integral Tripla

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INTEGRAIS TRIPLAS 
 
Assim, como foram definidas as somas de simples e duplas de Riemann, também são 
definidas as somas triplas de Riemann que podem ser colocadas na forma de Integrais 
Triplas para funções de três variáveis independentes. Quando, por exemplo, se tem uma 
função  zyxf ,, pode definir-se uma caixa retangular, em torno desta, como mostra a figura 
a seguir, onde a caixa será o domínio D considerado, isto é, 
   szrdycbxazyxD  ,,/,, 3 
 
O domínio D será subdividido em sub-caixas onde cada uma terá um volume infinitesimal, 
zyxV  , para 1 ii xxx , 1 jj yyy , 1 kk zzz , formando-se assim a soma 
de Riemann como segue: 
 
    VzyxfzyxzyxfV l
i
m
j
n
k
ijkijkijk
l
i
m
j
n
k
ijkijkijk   ****** ,,,, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral Tripla de  zyxf ,, sobre o domínio D considerado é 
 
    Vz,y,xfimdVz,y,xf l
1i
m
1j
n
1k
*
ijk
*
ijk
*
ijkn,m,l
D
 
  
 . 
 
 
A integral tripla sempre existe se  z,y,xf for contínua, e escolhendo-se o ponto amostra 
 kji z,y,x para cada subcaixa, ao invés de um ponto qualquer  ijkijkijk z,y,x , a integral tripla 
pode ser escrita na forma mais simples 
 
    Vz,y,xfimdVz,y,xf l
1i
m
1j
n
1k
kjin,m,l
D
 
  
 . 
 
D
Z
X
Y
Z
X 
Y 
 zyxf ,,
X
Z
X
YY 
V
 1
Assim, quando a função  zyxf ,, é contínua no domínio retangular 
  szrdycbxazyxD  ,,/,, 3 , segundo o teorema de Fubini pode ser 
colocada na forma 
 
       sr dc ba
D
dxdydzz,y,xfdVz,y,xf , 
 
onde a integral iterada do lado direito desta última expressão indica que a primeira integração 
deve ser em x ( mantendo constantes y e z ), em seguida deverá ser integrado em y e 
finalmente em z . Embora existam cinco outras ordens possíveis, as quais deverão fornecer o 
mesmo resultado. 
 
Exemplo: 
01) Obter o volume da região R no espaço 3 definido pela função   222 zyxz,y,xf  
onde o domínio é dado por   1z0,xy0,zx1/z,y,xD 23  . 
 
Solução: 0,26388 . .Resposta V uv   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 02) Obter o volume da região R no espaço 3 definido pela função   2xyzz,y,xf  onde o 
domínio é dado por   3z0,2y1,1x0/z,y,xD 3  . 
Solução: 
 
    30 21 10 2
D
2 dxdydzxyzdVxyzV 
 
Então, Re 6,75 . .sposta V u v  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 - Aplicações de integrais triplas 
 
03) Obter o volume da região R no espaço 3 definido pela função   xz6z,y,xf  onde o 
domínio é dado por   10,0,0/,, 3  zzxyzxzyxD . 
 
Solução: Re 1 . .sposta V uv  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
04) Encontrar o volume da região R limitado pelas superfícies 22 3yxz  e 
228 yxz  
 
Solução: 
 
O volume é dado por  
D
dVzyxf ,, , 
 
a integral de   1,, zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 22 3yxz  e 228 yxz  . 
 
As superfícies apresentam a interseção 4283 222222  yxyxyx , assim: 
 
a projeção sobre o plano XY é uma elipse com a equação 42 22  yx , donde: 
 
limites de integração em y : 
2
4
2
4 22 xyxy  e 
2
4 2xy  . 
 
Quando na mesma equação 42 22  yx y for nulo, isto é, 0y  tem-se: 
 
limites de integração em x : 224  xx e 2x . 
 
Assim, 
 
 
        22 24 24 8 3
2
2
22
22
x
x
yx
yx
D
dzdydxdVV 
 
Então, Re 8 2 . .sposta V u v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
05) Encontrar o volume da região R limitado pelo cilindro 2yz  e o plano xy que é 
limitada pelos planos 0x  , 1x  , 1y  e 1y  . 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume é dado por  
D
dVzyxf ,, , 
 
a integral de   1,, zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 0z  e 2yz  . 
 
Limites de integração em y : 1y  e 1y  . 
 
Limites de integração em x : 0x  e 1x  . 
 
Assim, 
 
    10 11 y0
D
2
dzdydxdVV 
 
 
 
2Re . .
3
sposta V u v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Y
Z
 5
06) Encontrar o volume no primeiro octante da região R limitada pelos planos coordenados, 
pelo plano 2zy  e pelo cilindro 2y4x  . 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume é dado por  
D
dVzyxf ,, , 
 
a integral de   1,, zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 0z  e 2z  . 
 
Limites de integração em y : 0y  e 2y  . 
 
Limites de integração em x : 0x  e 2y4x  . 
 
Assim, 
 
    20 20 y40
D
2
dxdydzdVV 
 
Então, 32Re : . .
3
sposta V u v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y
Z
X 
 6
07) Calcule a integral tripla 
G
dVzxy 3212 , na caixa retangular 






20
30
21
z
y
x
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
 
 
2 3 2 2 3
2 3 2 3 2 4
1 0 0 1 0
2
(12 ) (12 ) (3 )
0G
xy z dV xy z dzdydx xy z dydx
 
        
 
 
Resposta: 648 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q
D
 7
08) Seja G a cunha do primeiro octante secionada do sólido cilíndrico y2 + z2  1 pelos 
planos y = x e x = 0. Calcule dVz
G
 . 
Resolução : Temos y2 + z2 = 1  z2 = 1 - y2  z = 21 y  z = 21 y 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = {(x,y) | 0 < x < 1, x< y < 1} 
 
 
Portanto . . . 



 










     

dxdyyzdxdydzzdAdzzyxfdVzyxf
yy y
R
yxg
yxgG
1
0 0
221
0 0
1
0
),(
),( 0
1
2
),,(),,(
2
2
1
 
 
x 
y 
1 
1 
x = y 
D Projeção no 
plano xy 
(1, 1, 0) 
(0, 1, 0) 
(0, 0, 1) 
z = 
2y1 
x = y 
x 
y 
z 
Q 
 8
= Resposta 
8
1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
09) Use a integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x2 + y2 = 9 
entre os planos z = 1 e x + z = 5. 
 
Resolução : 
 z 
 
 x + z = 5  z = 5 - x 
 
 y 
 
 3 
 G 
 z = 1 
  
 y x 
 
 
 x  : x2 + y2 = 9 -3 
 
 
 
Portanto, com   plano xy . . . 
 
2
2
93 5
3 19
y x
y
dzdxdy
 
  
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 36 u.v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 29 y x = -
29 y 
0
 10
10 ) Idem para o cálculo do tetraedro T limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e 
z = 0 . 
 
Resolução : 
 
 
 z 
 
 2 
 
 
 
 x = 2y T z= -x – 2y + 2 
 
 y 
  1 
 y 
 
 ( 1, 
2
1 , 0 ) 
 x 
 
  
 0,5 
 
 x 
 0 1 
 
 x = 2y  y = 
2
xPortanto, com   plano xy . . . 
 
VT = 
1 2 21 2
0 0
2
x
x y
xT
dV dzdydx
    
     
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
3
1 u.v . 
 
 
Para z = 0, temos : 
x + 2y =2  y = - 
2
x
 + 1