RAZÃO E PROPORÇÃO

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Cálculo I – Fundamentos e Aplicações 
Orlando Frizanco 
1 
 
4 RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
Quatro números racionais A, B, C e D, diferentes de zero, nessa ordem, 
formam uma proporção quando: 
 
D
C
B
A

 
 
Onde os números A, B, C e D são denominados termos. 
 Os números A e B são os dois primeiros termos; 
 Os números C e D são os dois últimos termos; 
 Os números A e C são os antecedentes; 
 Os números B e D são os consequentes; 
 A e D são os extremos; 
 B e C são os meios. 
A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, 
denominada constante de proporcionalidade K da razão. 
 
K
D
C
B
A

 
 
A razão entre A e B é representada por 
BABA
B
A
:;;
, sendo 
0B
. 
 
Exemplo. 
 
67,2
15
40
3
8
 K
 
 
4.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
 
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
DACB
D
C
B
A
.. 
 
 
Exemplo. 
 
12122*63*4
3
2
6
4

 
 
A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um elemento 
desconhecido na proporção. 
 
Exemplo. 
 
Calcular o valor de x na proporção
8
32
4

x
. 
Solução: Aplicando a propriedade fundamental, vem: 
 
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2 
 
16
8
128
128832.48.
8
32
4
 xxxx
x
 
 
4.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma 
delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a 
outra também diminui na mesma proporção. 
 
Exemplo. 
 
Peso e Altura: Quando aumenta a altura da pessoa, o peso também aumenta. 
 
Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que 
expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K 
tal que: 
 
K
Y
X

 
 
Exemplo. 
 
Em média, um SATÉLITE percorre 24.000 km em 1 hora, 48.000 km em 2 horas e 
72.000 km em 3 horas (km=quilômetro, h=hora). 
Para analisar as grandezas, pode ser preparada uma tabela da situação. 
 
Distância (km) Tempo (h) 
24.000 1 
48.000 2 
72.000 3 
 
Chamado de X a distância e de Y o tempo, observa-se que a razão 
Y
X
 é constante, 
ou seja: 
 
24000
3
72000
2
48000
1
24000

Y
X
 
 
Assim, verifica-se que X e Y são grandezas diretamente proporcionais e a 
constante de proporcionalidade vale 24000 (que é a velocidade do satélite). 
 
4.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma 
delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra 
aumenta na mesma proporção. 
 
 
Exemplo. 
 
Velocidade e tempo: Quando aumenta a velocidade, o tempo para percorrer 
determinada distância diminui. 
 
Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que 
expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal 
que: 
A pergunta é: tempo e 
distância são grandezas 
diretamente ou inversamente 
proporcionais? 
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3 
 
 
KYX * 
 
Exemplo. 
 
Um automóvel se desloca de uma cidade para outra, localizada a 120 km da 
primeira. Se o percurso é realizado em 1 hora, a velocidade média é de 120 km/h; em 2 
horas, a velocidade média é de 60 km/h; em 3 horas, a velocidade média é de 40 km/h. 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h) 
120 1 
60 2 
40 3 
 
Chamado de X a velocidade e de Y o tempo, observa-se que a razão inversa 
YX *
 
é constante. 
 
1203*402*601*120* YX
 
 
Assim X e Y são grandezas inversamente proporcionais e a constante de 
proporcionalidade vale 120. 
 
Exercícios. 
 
1) Verifique, aplicando a propriedade fundamental, se os números 8, 3, 32, 12, 
nesta ordem, formam ou não uma proporção. 
 
2) Verifique, aplicando a propriedade fundamental, se os números 12, 3, 20, 5, 
nesta ordem, formam ou não uma proporção. 
 
3) Qual é o valor numérico da razão entre os números ? 
 
4) Através da propriedade fundamental das proporções, calcule X na proporção 
. 
 
A pergunta é: velocidade e 
tempo são grandezas 
diretamente ou inversamente 
proporcionais? 
100
20
4
1
e
x
e
12
7
3
x
e
12
32
8
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5 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Utiliza-se regra de três simples na solução de problemas que envolvem 
grandezas proporcionais. É um algoritmo para resolver problemas que envolvem 4 
valores, dos quais se conhece apenas 3 deles. O 4º valor será calculado usando os 
outros três. 
 
A sequência do algoritmo é a seguinte: 
 
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas de grandezas de 
espécies diferentes em correspondência. 
 
2º) Analisar e identificar se as grandezas são direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 
Exemplos. 
 
a) Com uma barra de aço de 6,5 m2, uma fábrica produz 1300 parafusos. 
Aumentando esta área para 9 m2 qual será a quantidade de parafusos produzidos? 
 
Solução: 
1º) construção da tabela com as grandezas identificadas. 
 
Área (m
2
) Quantidade 
6,5 1300 
9 x 
 
2º) analisando as grandezas, usando setas, percebe-se que, quando a área 
aumenta, a quantidade de parafusos produzidos também aumenta. Logo estas grandezas 
são diretamente proporcionais. 
3º) como as grandezas são diretamente proporcionais, basta montar a proporção e 
resolver a regra de três simples, aplicando a regra fundamental das proporções. 
 
x
1300
9
5,6

 
 
1300*9*5,6 x
 
 
11700*5,6 x
 
 
5,6
11700
x
 
 
1800x
 
 
Resposta: Serão produzidos 1800 parafusos. 
 
b) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade 
média de 170 km/h fez um percurso em 20 s. Se a sua velocidade média fosse de 210 km/h, 
qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (km/h = quilômetro por hora, s = segundo). 
 
Solução: 
1º) construção da tabela com as grandezas identificadas. 
 
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5 
 
Velocidade 
(km/h) 
Tempo (s) 
170 20 
210 x 
 
2º) analisando as grandezas, usando setas, percebe-se que, quando a velocidade 
aumenta, o tempo para percorrer a mesma distância diminui. Logo estas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
3º) como as grandezas são inversamente proporcionais, basta montar a proporção, 
invertendo a razão de uma das grandezas e resolver a regra de três simples, aplicando a 
regra fundamental das proporções. 
 
x
20
170
210

 
 
20*170*210 x
 
 
3400*210 x
 
 
210
3400
x
 
 
2,16x
 
 
Resposta: O tempo gasto para o mesmo percurso será 16,2 segundos. 
Exercícios. 
 
1) Um automóvel se desloca com velocidade constante percorrendo 70 km em 1 
hora. Qual o tempo gasto para percorrer 120 km? 
 
2) Dois litros de gás exercem uma pressão de 0,6 atm. Cinco litros do mesmo gás, 
na mesma temperatura, exercerão que pressão? 
 
3) Um avião de guerra, deslocando-se a uma velocidade média de 1.850 km/h, faz 
um determinado percurso em 2,5 horas. Em quanto tempo faria este mesmo percurso se a 
velocidade utilizada fosse 2.100 km/h ? 
 
4) Um Satélite, deslocando-se a uma velocidade média de 20.000 km/h, faz um 
determinado percurso em 1,5 horas. Em quanto tempo faria este mesmo percurso se a 
velocidade utilizada fosse 25.000 km/h ? 
 
5) Uma equipe de técnicos, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obraem 15 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 6 horas, em que prazo essa 
equipe fará o mesmo trabalho? 
 
6) Uma bomba eleva 300 litros de água em 15 minutos. Quantos litros elevará em 1 
hora e 10 minutos? 
 
7) Na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi pendurado um 
corpo com a massa de 28 kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento 
da mola de 13 cm. Se for colocado um corpo com 50 kg de massa na extremidade dessa 
mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (kg=quilograma e 
cm=centímetro). 
 
8) Um satélite com a velocidade média de 21.200 km/h fez um certo percurso em 
20 s. Se a sua velocidade média fosse de 23.500 km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo 
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percurso? (km/h=quilômetro por hora, s=segundo). 
 
9) Uma equipe de técnicos, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra 
em 15 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 6 horas, em que prazo essa 
equipe fará o mesmo trabalho? 
 
10) Doze operários levaram 30 dias para executar uma obra. Quantos dias 
levarão 8 operários para executar a mesma obra? 
 
11) Num livro de 150 páginas há 20 linhas em cada página. Se fossem 30 linhas 
em cada página, quantas páginas teria o livro? 
 
12) Um terço de uma obra foi feita por 8 operários em 15 dias. Quanto tempo 
levará para terminar essa obra com 2 operários a mais? 
 
13) Com certa quantidade de cobre, fabricam-se 1.600 metros de fio com seção de 
9 mm². Se a seção for de 15 mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos? 
 
14) Uma área de piscina pode ser ladrilhada com 800 ladrilhos de 230 cm2 de área 
cada um. Quantas lajotas com área de 400 cm2, cada uma, são necessárias para recobrir a 
mesma área? 
 
15) Uma ponte foi construída em 50 dias por 6 operários que trabalharam num 
certo ritmo. Se fosse construída em 15 dias, no mesmo ritmo de trabalho, quantos 
funcionários deveriam ser contratados? 
 
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6 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
A regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas 
diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. 
 
Um método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela 
com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira 
situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. 
 
Em seguida, deve ser feita a análise de cada grandeza em relação a grandeza que 
contém a incógnita a ser calculada, visando identificar se são direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
Ao montar as proporções devem ser invertidas as que são inversas e resolver a 
regra de três composta. 
 
Segue um exemplo para clarear mais a explicação. 
 
Exemplo. 
 
a) Funcionando durante 8 dias, 4 máquinas produziram 600 peças de uma 
mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 10 máquinas 
iguais as primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 12 dias? 
 
Solução: 
 
Representando o número de peças pela letra X, de acordo com os dados do 
problema, deve ser organizada uma tabela, onde, para facilitar, a primeira coluna deverá 
conter a grandeza a ser calculada. 
 
 
No. de Peças No. de Máquinas No. de Dias 
600 4 8 
X 10 12 
 
Ao analisar o número de máquinas com relação ao número de peças verifica-se 
que, quando aumentar o número de máquinas, também aumentará o número de peças, logo 
são diretamente proporcionais estas duas grandezas. 
 
Ao analisar o número de dias com relação ao número de peças verifica-se que, 
aumentando o número de dias, também aumenta o número de peças, logo são diretamente 
proporcionais estas duas grandezas. 
 
Conclui-se, portanto, que as três grandezas são diretamente proporcionais e não 
haverá necessidade de inverter o sentido das proporções resultantes. 
 
Em seguida, montamos, com base na tabela acima, a proporção da regra de três a 
ser calculada. 
 
12
8
*
10
4600

x 
 
120
32600

x 
 
32*120*600 x 
 
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8 
 
x3272000 
 
x
32
72000
 
 
2250x 
 
Resposta: Serão produzidas 2.250 peças. 
 
 
Exemplos. 
 
b) Um motociclista, rodando 5 h por dia, percorre em média 700 km em 2 dias. 
Quantas horas deverá rodar por dia, para fazer 2.000 km em 5 dias, considerando que a 
velocidade média é a mesma em ambas as situações? (h=hora, km=quilômetro). 
 
Solução: 
 
Representando a quantidade de horas pela letra X, de acordo com os dados do 
problema, pode ser organizada a seguinte tabela, onde, para facilitar, a primeira coluna 
deverá conter a grandeza a ser calculada. 
 
No. horas / 
dia 
Distância 
percorrida 
No. de Dias 
5 700 2 
X 2000 5 
 
Ao analisar a grandeza distância percorrida com relação ao número de horas/dia 
verifica-se que, quando aumentar a grandeza percorrida, também aumentará o número de 
horas/dia, logo estas grandezas são diretamente proporcionais entre si. 
 
Ao analisar a grandeza número de dias, com relação ao número de horas/dia para 
percorrer 700 km, verifica-se que, aumentando o número de dias, diminui o número de 
horas/dias necessários, portanto, são inversamente entre si proporcionais estas duas 
grandezas. Observa-se que foi preciso considerar os mesmos 700 km para chegar a esta 
conclusão. 
 
Conclui-se, portanto, que as duas primeiras grandezas são diretamente 
proporcionais e o número de dias é inversamente proporcional à quantidade de horas/dia, 
portanto, será preciso inverter a proporção desta grandeza. 
 
Em seguida, monta-se, com base na tabela acima, a proporção da regra de três a 
ser calculada. 
 
2
5
*
2000
7005

x
 
 
4000
35005

x
 
 
3500*4000*5 x
 
 
x350020000
 
 
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Orlando Frizanco 
9 
 
x
3500
20000
 
 
7,5x
 
 
Resposta: Deverá rodar 5,7 horas por dia, durante os 5 dias. 
 
Exercícios. 
 
1) Em uma fábrica de Antenas, 6 homens montam 20 Antenas em 4 dias. Quantas 
Antenas serão montadas por 4 homens em 16 dias? 
 
2) Dois técnicos levam 9 dias para montar uma Torre de Transmissão de 15 metros 
de altura. Trabalhando 3 técnicos e aumentando a altura para 20 metros, qual será o tempo 
necessário para montar a Torre de Transmissão? 
 
3) Três operários, em 12 dias de trabalho, fizeram 162 m2 de parede em uma 
construção, trabalhando 8 horas por dia. Em quantos dias de trabalho farão 200 m2 de 
parede se trabalharem 6 horas por dia? 
 
4) Trabalhando 10 horas por dia, 28 operários construíram um muro de 30 metros 
de comprimento. Quantos metros poderão construir 33 operários, trabalhando 7 horas 
durante 16 dias? 
 
5) Um técnico de telecomunicações ganhou R$ 1500,00 trabalhando 8 horas dia, 
durante 20 dias. Se trabalhasse 10 horas por dia durante 28 dias, quanto ganharia? 
 
6) Funcionando durante 3 dias, 6 máquinas produziram 450 peças de um produto. 
Quantas peças desse mesmo produto serão produzidas por 4 máquinas iguais as primeiras, 
se essas máquinas funcionarem durante 5 dias? 
 
7) Em uma fábrica de Antenas, 6 homens montam 15 Antenas em 3 dias. Quantas 
Antenas serão montadas por 10 homens em 5 dias? 
 
8) Dois técnicos levam 8 dias para montar uma Torre de Transmissão de 12 metros 
de altura. Trabalhando 3 técnicos e aumentando a altura para 15 metros, qual será o tempo 
necessário para montar a Torre de Transmissão? 
 
9) Três torneiras iguais enchem um tanque de 2500 litros de capacidade, em 10 
horas. Fechando uma das torneiras, em quanto tempoas outras despejarão 1700 litros no 
tanque? 
 
10) Na instalação de uma rede de computadores, que deverá ficar pronta em 15 
dias, estão trabalhando 10 tecnólogos, 6 horas por dia. Embora tenham sido dispensados 2 
tecnólogos, o gerente resolve terminar o trabalho em 12 dias. Quantas horas por dia os 
tecnólogos restantes deverão trabalhar? 
 
11) Três trabalhadores colhem 150 caixas de maçãs, em 4 dias, trabalhando num 
certo ritmo. Quantas caixas de maçãs, iguais a estas, serão colhidas em 5 dias, por seis 
trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita? 
 
12) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 3 dias, a uma velocidade 
média de 70 km/h, viajando-se 8 horas por dia. Viajando a velocidade média de 80 km/h, 
durante 6 horas por dia, em quantos dias pode-se fazer a mesma viagem?