ESPAÇO VETORIAL

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ESPAÇO VETORIAL 
Definição:
 Seja 
 um conjunto não vazio. Chamamos 
 de ESPAÇO VETORIAL SOBRE O CORPO DOS REAIS 
 se, e somente se, for munido de duas operações, adição e multiplicação por um elemento do corpo dos reais, e seus respectivos axiomas na forma descriminada a seguir: 
ADIÇÃO: 
, sendo que
 
 
 (comutativa)
 
 
 (associativa)
 
 
 (existência de elemento neutro 
)
 
 
 (existência de elemento oposto 
)
MULTIPLICAÇÃO POR UM REAL: 
, sendo que
 
�� EMBED Equation.3 (comutativa)
 
 
 (distributiva)
 
 
 (distributiva)
 
 
 (elemento neutro).
Exemplos: 
(conjunto dos números complexos),
 (conjunto dos vetores definidos por meio de segmentos orientados),
, 
 (conjunto das funções contínuas no intervalo 
Observações: 
Nas condições acima, os elementos de 
 são chamados de vetores, e os elementos de 
 são chamados de escalares.
Existe unicidade do vetor nulo e do vetor oposto. 
As operações relatadas nas definições acima serão sempre as já conhecidas, ou seja, “usuais”. No caso do 
 temos como vetores n-uplas 
 e as operações: 
 a) 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 
 b) 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Propriedades: Considere o espaço vetorial 
 Então,
1. 
2. 
3. 
 ou 
.
4. 
. 
 
 Definição. Diferença entre dois vetores de 
: 
5. 
;
 
.
6. 
 em 
 e 
 em 
, 
 . 
Definição:
 Seja 
em espaço vetorial sobre 
. Um SUBESPAÇO VETORIAL de 
 é um subconjunto 
, tal que:
 (a) 
 (b) 
 (c) 
. 
Observação: Todo subespaço vetorial também é um espaço vetorial sobre 
.
Exemplos:
1. 
espaço vetorial 
, temos os subespaços ditos impróprios ou triviais: 
 e 
.
2. 
 Seja 
. 
 Sabendo que 
�� EMBED Equation.3 ~ 
 obtemos o vetor genérico de S: 
.
 Verificando no vetor genérico as condições para subespaço
 i) 
~
.
 Logo, é possível 
;
 ii) Seja 
 e 
 
.
 Dessa maneira 
e 
 Então, 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 
�� EMBED Equation.3 .
 Logo, 
 iii) Seja 
 e 
 Então, 
�� EMBED Equation.3 
 Logo, 
 
 é sub-espaço vetorial do 
.
Observações: 
a. 
~
.
(equação vetorial paramétrica do plano)
b. Do vetor genérico 
, 
 Ao parcelar 
�� EMBED Equation.3 obtemos a
 combinação linear 
.
 Assim, podemos definir que 
 é um conjunto finitamente gerado, 
 e 
é um conjunto dos geradores de 
, tal que, 
.
3. 
.
 Não é subespaço vetorial do 
 (o vetor nulo 
, senão temos o absurdo
).
4. 
 Não é subespaço vetorial do 
 Observe que 
.
5. 
 Não é subespaço vetorial do 
 Observe que 
/
.
Determinação de uma BASE:
Definições:
 “Seja 
 um espaço vetorial finitamente gerado. O subconjunto finito 
 será uma base de 
 se, e somente se, 
 e 
 for linearmente independente.”
 “Um subconjunto 
 de um espaço vetorial 
é linearmente independente (L.I.) se, e somente se, 
, com os 
 em 
 só for possível para 
.”
	“Um subconjunto 
 de um espaço vetorial 
é linearmente dependente (L.D.) se, e somente se, 
 não é L.I.”. 
Observações: 
O conjunto vazio é convencionado L.I., pois caso contrário teria que valer um das duas definições anteriores e a segunda pressupõe elementos em 
.
Todo espaço finitamente gerado admite uma base.
Todo subespaço vetorial de um espaço vetorial finitamente gerado é também finitamente gerado.
Exercícios (fazer pela definição):
1. Verifique se é L.I. ou L.D. o subconjunto 
A. 
; 
B. 
;
C. 
 
D. 
2. Considere os vetores 
 e 
 no espaço vetorial 
, onde 
 Mostre que 
 é L.I. (matriz dos coeficientes tem que ser inversa, i.é, o sistema tem que ser de Cramer; e como o determinante dá zero,...)
3. Mostre que o conjunto 
de vetores do 
 é L.I., desde que 
 e 
. (escalonar)
4. Mostrar que se o conjunto 
 de vetores de um espaço vetorial 
 for L.I., então o conjunto 
 também será.
5. Mostrar que o conjunto de vetores 
de 
é L.D. sobre 
 mas L.I. sobre 
6. Mostrar que os conjuntos 
, e
de vetores de 
 são respectivamente L.I. e L.D. (fazer 
Propriedades: Seja um espaço vetorial 
 sobre 
. Então, 
Conjunto finito 
 é L.D.
 2. 
 é L.I.
 3. 
 é L.D. 
 um dos seus vetores é combinação linear dos outros.
Se 
 são subconjuntos finitos e não vazios de 
 e 
, então:
a) 
 L.D. 
 
 também é L.D.
b) 
 L.I. 
 
 também é L.I.
Teorema da invariância: Seja 
 um espaço vetorial finitamente gerado. Então duas
 bases quaisquer de 
 têm o mesmo número de vetores. 
 (ver exemplo 1.c)
Definição: 
 “Seja 
 um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se dimensão de 
 (dim
) o número de vetores de uma, qualquer, de suas bases, afirmando assim que 
 é um espaço de dimensão finita.”
 
Determine as Bases Canônicas e a Dimensão de espaços vetoriais sobre os reais para:
 por definição a base é o conjunto vazio e dim
Proposição: Seja 
 um subespaço vetorial de 
. Se dim
= dim
, então 
Processo Prático para Determinar uma Base de um subespaço de 
.
Exemplo: 
Ver exemplo efetuado em sala e fazer os exercícios 1.
Estudar os exercícios resolvidos e tentar resolver os propostos do livro.
Dimensão da Soma e Intersecção de dois Subespaços.
 Sejam 
 e 
 subespaços vetoriais de um espaço vetorial 
. Então definimos:
Soma de 
 com 
: 
 (também é um subespaço vetorial de 
)
Soma Direta de 
 com 
: 
, no caso em que 
.
 e 
 suplementares, ou 
 suplementar de 
, ou 
 suplementar de 
, quando 
(
 admite uma única decomposição 
)
Se 
 é de dimensão finita, então 
.
Exemplo: 
1. 
, onde 
 e 
.
2. 
 e 
Definições: 
Num espaço vetorial, Bases Ordenadas são bases cuja ordem de disposição dos vetores é fixada. 
Os escalares usados juntamente com uma base ordenada em uma combinação linear que geram um vetor 
 são chamados de coordenadas do vetor 
.
Assim, sendo 
 uma base ordenada de um espaço vetorial 
 temos 
,
onde as coordenadas de 
 é denotado pela matriz de ordem 
 
Mudança de Base
Seja 
 um espaço vetorial finitamente gerado de dimensão 
.
Considere duas bases de 
: 
 e 
.
Então existe uma única família de escalares 
 de maneira que
 (
), i.é, 
 
 
A matriz quadrada de ordem 
 chama-se matriz mudança da base B para a base C.
Observações: 
1. também pode-se indicar por 
2. 
, que, também, é a matriz mudança da base C para a base B.
3. 
 e 
(outra base de 
) 
 
4. 
 e 
 
 
 
 
(matrizmudança da base C para a base B)
( matriz mudança da base é sempre inversível)
5. Seja 
 e 
, respectivamente, a matriz de coordenadas do vetor 
 em relação
 a base 
 e em relação a base 
. Considerando 
 matriz mudança da base B para a base C, 
 temos: 
 
, ou equivalentemente, 
Exemplos:
1. Determine as coordenadas de vetor 
 do 
 em relação às bases: canônicas e 
 
.
2. Achar a matriz de mudança da base 
 para a base canônica do 
.
3. No espaço 
 considere as bases 
 e 
 relacionadas da seguinte
 maneira: 
 . Determine a matriz mudança de 
para 
 e de 
 para 
.
4. Considerando o exemplo anterior, se as coordenadas de um vetor 
 em relação à base 
 são 1, 1
 e 2, quais as coordenadas desse vetor em relação à base 
?
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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