AULA_V_-_Matematica_Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PERCENTAGEM
JUROS
MONTANTES
TAXAS
Percentagem
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões 
como:
- Desconto de até 30% na grande liquidação de inverno;
- Os jovens perfazem um total de 50% da população 
brasileira;
- A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%;
- O rendimento da caderneta de poupança foi de 0,99% 
em dezembro;
Todas estas expressões envolvem uma razão especial 
chamada de percentagem.
Taxa percentual
Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 
12 de 15 questões apresentadas.
A razão entre o número de questões acertadas e o número 
total de questões é:
��
��
=
�
�
= 0,8 =
	
�
=
	
�
=...
Quando uma razão é apresentada com o consequente 100,
ela é chamada Razão centesimal
Quando substituimos o consequente 100 pelo símbolo %,
assim:
	
�
= 80%
Esse numeral é denominado taxa percentual ou centesimal.
Elementos do cálculo percentual
Vimos que:
12
15
=
80
100
Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de 
taxa, temos:
�����������
���������
=
����
100
Daí obtemos as seguintes definições:
Taxa (i) é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 
100.
Percentagem (p) é o valor que representa a quantidade tomada de outra, 
proporcionalmente a uma taxa.
Principal (P) é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
Genericamente:
�
�
=
�
100
Exemplos
1. Um vendedor tem 3% de comissão nos 
negócios que faz. Qual sua comissão numa 
venda de R$ 3600,00?
2. Em um colégio 26% dos alunos são meninas. 
Quantos alunos possui o colégio, se elas são 
em número de 182?
3. Um automóvel foi adquirido por R$ 15000,00 
e vendido com um lucro de R$ 4000. Qual a 
percentagem de lucro?
Regime Processo de funcionamento
Simples
Somente o principal rende 
juros.
Compostos
Após cada período, os juros 
são incorporados ao Capital, 
proporcionando juros sobre 
juros.
Juros representam a remuneração do Capital empregado em
alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados
segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo,
com algumas condições mistas.
JUROS
C Capital
n número de períodos
j
juros simples decorridos n 
períodos
J
juros compostos decorridos n 
períodos
r taxa percentual de juros
i
taxa unitária de juros (i = r / 
100)
P Principal ou valor atual
M
Montante de capitalização 
simples
S
Montante de capitalização 
composta
Notações comuns que serão utilizadas neste material
Compatibilidade dos dados
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos 
deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de 
modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam 
compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não 
ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de 
unidades.
Juros simples
Se n é o numero de períodos, i é a taxa unitária ao período 
e P é o valor principal, então os juros simples são calculados 
por:
j = P i n
Exemplo: Os juros simples obtidos por um 
capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% 
ao ano são dados por:
j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00
Montante simples
Montante é a soma do Capital com os juros. O 
montante também é conhecido como Valor 
Futuro. 
O montante é dado pela fórmula:
M = P + j = P (1 + i n)
Exemplo
Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, 
quantos meses serão necessários para dobrar 
um capital aplicado através de capitalização 
simples?
M=2P
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)
Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo:
n = 2/3 ano = 8 meses
Período Número de dias
De 10/01 até 31/01 21 dias
De 01/02 até 28/02 28 dias
De 01/03 até 31/03 31 dias
De 01/04 até 12/04 12 dias
Total 92 dias
Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa 
i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a 
dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá 
ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?
Contagem do tempo:
Fórmula para o cálculo dos juros exatos:
j = P r (d / 365) / 100
j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05
Juros compostos
Tempo Data Valor Principal Juros Montante
0 01/01/2004 1000,00 0 1000,00
1 01/02/2004 1000,00 50,00 1050,00
2 01/03/2004 1050,00 52,50 1102,50
3 01/04/2004 1102,50 55,13 1157,63
4 01/05/2004 1157,63 57,88 1215,51
5 01/06/2004 1215,51 60,78 1276,29
6 01/07/2004 1276,29 63,81 1340,10
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante 
(soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante 
t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.
Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 
2004 um empréstimo de R$ 1000,00 tenha sido feito a juros de 5% por um 
período de 6 meses. Poderiamos montar uma tabela para obter o valor 
total a ser pago em 01/06/2004.
S1=1000(1,05)
1 S2=1000(1,05)
2 S3=1000(1,05)
3 S4=1000(1,05)
4 S5=1000(1,05)
5
Juros Compostos são juros sobre juros
A situação apresentada acima, pode ser analisada 
do ponto de vista matemático, com P=1000,00 e 
i=5%=0,05. Assim:
Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação
De modo geral:
Sn = P (1+i)n
Onde:
Observação: Relembramos que a taxa e o número de 
períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com 
respeito à unidade de tempo.
Montante composto
A fórmula para o cálculo do Montante, em 
função do valor Principal P, da taxa i ao período 
e do número de períodos n, é dada por:
S = P (1+i)n
Exemplo:
Se a taxa de uma aplicação é de 15% ao ano, 
quanto tempo será necessário para dobrar o 
capital aplicado através de capitalização 
composta?
Taxas
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a 
realização de alguma operação financeira.
Taxas equivalentes:
São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo 
diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante 
num mesmo tempo.
EXEMPLO
Calcule o montante, em regime de juros compostos, relativo a um 
capital de R$ 1000,00, empregado:
1º) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano;
2º) durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês.
Em juros compostos, as taxas proporcionais não são
equivalentes.
O montante produzido pelo capital C, à taxa anual ��, durante 1
ano, tem de ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital
C, durante 12 meses, à taxa mensal ��, equivalente à taxa anual
de ��. Temos então:
�� = �(1 + ��)
�
��� = �(1 + ��)
��
�� =��� logo:
(1 + ��)
��= 1 + ��
Para outras frações do ano:
(1 + ��)
"#
 = (1 + ��)
�� = (1 + �$)
� = 1 + �%
� = 1 + ��
Não importando se a capitalização é simples ou 
composta, a taxa pode ser nominal ou efetiva:
Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o 
período de formação e incorporação dos juros 
ao Capital não coincide com aquele a que a taxa 
está referida.
Exemplos:
• 1200% ao ano com capitalização mensal.
• 450% ao semestre com capitalização mensal.
• 300% ao ano com capitalização trimestral.
Para resolvermos esse tipo de problema é
convencionado que a taxa por período de capitalização
seja proporcional à taxa nominal.
EXEMPLO:
Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de
300% ao ano capitalizada mensalmente, estamos
entendendo que a taxa é de 25% ao mês e que está
sendo aplicada mês a mês, porque:
i = 300/12 = 25
Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao
ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre,
aplicada a cada trimestre, porque:
i = 300/4 = 75
Considerando-se que a taxa por período de 
capitalização é proporcionalà taxa nominal, a taxa 
anual paga não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a 
taxa efetiva.
Por exemplo, quando oferecemos 6% ao ano e 
capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é 
como vimos, a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa 
anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo �&
a taxa efetiva, temos:
1 + �& = (1 + 0,03)
�
�& = 0,06090
isto é, a taxa efetiva é de: 6,09%a.a.
Sendo:
�	�	����	�+�����
�&	�	����	�,���-�
.	+	�ú���+	0�	��������1�çõ�4	����	5�	���í+0+	0�	����	�+�����
�7	�	����	�+�	���í+0+	0�	��������1�çã+	 �7 =
�
.
Como �& é equivalente a �7 	���+4:
1 + �& = (1 + �7)
7
Sendo �7 =
:
7
:
1 + �& = (1 +
�
.
)7
Exemplo 1
Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada 
semestralmente. Calcule a taxa efetiva.
EXEMPLO 2
Um banco emprestou a importância de R$ 
35000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco 
cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização 
semestral, qual a taxa efetiva anual e qual o 
montante a ser devolvido ao final de 2 anos?