EP01 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP01 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
bem vindo ao Curso de Licenciatura em Matema´tica da UFF/UNIRIO/CEDERJ/UAB. Voceˆ agora
e´ parte de uma universidade pu´blica, que lhe oferece formac¸a˜o de excelente qualidade.
Segue algumas orientac¸o˜es para seu estudo na disciplina Geometria Plana.
Inicialmente, e´ importante que voceˆ consulte o Guia da Disciplina de Geometria Plana e o
Cronograma da disciplina para obter informac¸o˜es, instruc¸o˜es e a programac¸a˜o semanal.
Observe no Cronograma que a coluna Calenda´rio informa a semana de aula, e o per´ıodo (22/07/2013
a 28/07/2013):
Calenda´rio T´ıtulo da Aula Conteu´dos
Semana 1 Postulado, teorema, aˆngulos, bissetriz de um aˆngulo,
22/07 a 28/07 Conceitos Ba´sicos mediatriz, sistema de unidades angulares, triaˆngulos,
Aula 01 - vol 1 per´ımetro, aˆngulos interno e externo.
Procure no livro texto a aula 1, referente a Conceitos Ba´sicos. Leia tambe´m o prefa´cio do livro.
Geometria Ba´sica - Volume 1 - Mo´dulo 1.
Autores : Dirce Uesu Pesco e Roberto Geraldo Tavares Arnaut.
Ale´m do livro texto, toda semana estara´ disponivel na Plataforma os Exerc´ıcios Programados,
abreviado para EP, que sa˜o exerc´ıcios para complementar o conteu´do daquela semana, geralmente
contendo quatro questo˜es.
Resolva os exerc´ıcios do livro texto e do correspondente EP da semana. Assim voceˆ mante´m sua
programac¸a˜o em dia, facilitando a sua organizac¸a˜o nos estudos.
A programac¸a˜o da disciplina tambe´m inclui as Atividades extras. Sa˜o elas: Atividade Eletroˆnica
(AE) e/ou Atividade Presencial (AtP). Sa˜o atividades para estimular o uso de novas tecnologias
e presenc¸a nas tutorias.
As Atividades Eletroˆnicas (AE) podera˜o ser aplicadas nos laborato´rios no Polo ou anexada na Pla-
taforma. A cada cinco atividades eletroˆnicas executadas com sucesso sera˜o acrescidos 0,5 ponto na
respectiva avaliac¸a˜o presencial AP.
A Atividade Presencial (AtP) e´ um teste, aplicado pelo tutor da disciplina, que devera´ ser efetuado
individualmente no final do per´ıodo da tutoria, com durac¸a˜o ma´xima de 15 minutos. O acu´mulo de
cinco dessas atividades efetivadas com sucesso, resultara´ em boˆnus de 0,5 ponto na nota da avaliac¸a˜o
presencial correspondente.
Para mais informac¸o˜es consulte o Guia da Disciplina de Geometria Plana e o Cronograma da disci-
plina que esta˜o dispon´ıveis na Plataforma : http://www.cederj.edu.br/fundacao/
Geometria Plana – EP01 Tutor 2
ou por
graduacao.cederj.edu.br
E´ importante ter sempre em ma˜os o Cronograma da disciplina para sua orientac¸a˜o e programac¸a˜o
de estudo.
Caso ocorra algum problema no acesso as EPs pela plataforma, entre em contato imediatamente
com o seu Polo, ou pelo email geom.planauff@gmail.com
Bom estudo e Sucesso!! Conte sempre com nosso aux´ılio e est´ımulo. Roberto Geraldo Tavares Arnaut
Dirce Uesu Pesco
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do da semana referente a EP01, 22/07 a 28/07, voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro
de Geometria Ba´sica - Mo´dulo 1 - Volume 1,(autores: Arnaut, R.G.T e Pesco, D.U.),
Aula 1: Conceitos Ba´sicos.
Exerc´ıcio 1: O, A, B e C sa˜o quatro pontos de uma reta, sucedendo-se na ordem OABC e tais
que m(OA) = 3 cm, m(OB) = 5 cm e 4m(AB) +m(AC)− 2m(BC) = 6 cm. Calcule a distaˆncia
entre os pontos O e C.
Nota: m(AB) e´ a medida de A ate´ B.
Soluc¸a˜o: Considere O, A, B e C os quatro pontos de uma retasucedendo-se na ordem OABC
e tais que m(OA) = 3 cm, m(OB) = 5 cm. Denote m(BC) = x.
3 cm
B
x
2 cm
CO A
Temos que
4m(AB) +m(AC)− 2m(BC) = 6 ⇒ 4 · 2 + 2 + x− 2x = 6 ⇒ 10− x = 6
Enta˜o x = 4. Logo m(OC) = 3 + 2 + x = 5 + 4 = 9 cm.
Exerc´ıcio 2: AÔD e´ um aˆngulo raso e OB e OC decompo˜em esse aˆngulo em treˆs outros, tais que
BÔC = CÔD e AÔB =
BÔC
2
. Calcule os aˆngulos AÔB e BÔC.
Soluc¸a˜o: Considere AÔD um aˆngulo raso e OB e OC em treˆs outras, tais que
BÔC = CÔD e AÔB =
BÔC
2
Denote BÔC = a
D A
C
a
O
B
a
2
a
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – EP01 Tutor 3
Enta˜o
2a+
a
2
= 180◦ ⇒ 5a
2
= 180◦ ⇒ a = 72◦
Da´ı
AÔB =
72◦
2
= 36◦ e BÔC = 72◦
Exerc´ıcio 3: Dada a figura, determine o nu´mero de triaˆngulos formados por A, B, C, D, E, F
e G.
B C D E F G
A
Soluc¸a˜o: Sa˜o 15 os triaˆngulos:
ABC,ABD,ABE,ABF,ABG,ACD,ACE,ACF,ACG,ADE,ADF,ADG,AEF,AEG eAFG.
Exerc´ıcio 4: Determine o aˆngulo formado pelos ponteiros de um relo´gio a`s 4h10min.
Soluc¸a˜o:: Considere a figura, onde a e´ o aˆngulo entre os dois ponteiros e x e´ o aˆngulo que o
ponteiro das horas andou quando passou 10 minutos de 4 horas.
1
a
x
2
3
4
5
6
9
12
Temos que a cada 30◦ que o ponteiro das horas anda, o ponteiro dos minutos anda 360◦, ou seja
30◦ ↔ 360◦.
Note que 5′ ↔ 30◦, enta˜o 1′ ↔ 6◦ e 10′ ↔ 60◦.
Temos {
30◦ ↔ 360◦
x ↔ 60◦ ⇒ x =
30◦ · 60◦
360◦
= 5◦
Como a = 2 · 30◦ + x = 60◦ + 5◦ = 65◦, logo o aˆngulo formado pelos ponteiros de um relo´gio a`s
4h10min e´ de 65◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ